圓補充知識集合

1、關(guān)于圓的定理一切割線定理證明: 設(shè)ABP是O的一條割線，PT是O的一條切線，切點為T，則PT的平方=PA·PB 證明：連接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) P=P(公共角) PBTPTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似) 則PB：PT=PT：AP 即：PT的平方=PB·PA二割線定理為圓冪定理之一，其他二為： 切割線定理 割線定理 相交弦定理 證明：如圖 直線ABP和CDP是自點P引的O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD 證明:連接AD、BC A和C都對弧BD 由圓周角定理，得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也

2、就是AP·BP=CP·DP三概念相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）相交弦說明幾何語言： 若弦AB、CD交于點P 則PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 幾何語言： 若AB是直徑，CD垂直AB于點P， 則PC2=PA·PB（相交弦定理推論）如何證明證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得AD，CB。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） PACPDB，PAPDPCPB，PA

3、83;PBPC·PD 注：其逆定理可作為證明圓的內(nèi)接三角形的方法. P點若選在圓內(nèi)任意一點更具一般性。四弦切角弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角      PCA=PBC(PCA為弦切角） 弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. (弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明 證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作TP的平行線交BC于D， 則TCB=CDA TCB=90-OCD BOC=180-2OCD    ,BOC=2TCB（弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧

4、的圓心角的度數(shù)的一半） BOC=2CAB TCB=CAB（弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角） 證明已知：AC是O的弦，AB是O的切線，A為切點，弧是弦切角BAC所夾的弧. 求證：.（弦切角定理） 證明：分三種情況：      （1）圓心O在BAC的一邊AC上 AC為直徑，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 為半圓, CAB=90=弦CA所對的圓周角    B點應(yīng)在A點左側(cè)（2）圓心O在BAC的內(nèi)部. 過A作直徑AD交O于D, 若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E 那么，連接EC、ED、EA 則有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CA

5、B （弦切角定理）      （3）圓心O在BAC的外部, 過A作直徑AD交O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等 應(yīng)用舉例      例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點A，CBA=60° , AB=a 求BC長. 解：連結(jié)OA，OB. 在中, C=90 BAC=30° BC=1/2a(中30°角所對邊等于斜邊的一半）     

6、 例2：如圖，AD是ABC中BAC的平分線，經(jīng)過點A的O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn). 求證：EFBC. 證明：連DF. AD是BAC的平分線BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC      例3：如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O直徑，CDAB于D，MN切O于C， 求證：AC平分MCD，BC平分NCD. 證明：AB是O直徑 ACB=90 CDAB ACD=B， MN切O于C MCA=B， MCA=ACD， 即AC平分MCD， 同理：BC平分NCD.總結(jié)：圓的直徑連接兩

7、頭（一端在圓上，一端在直徑上）這個角是直角這叫垂徑定理 圓周角定理 是多少乘圓面積或周長=這個扇行的面積或那條弧360圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能夠與原來的重合 2頂點在圓心的角叫做圓心角圓心到弦的距離叫做弦心距 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)稱為圓冪定理） 切線長定理 垂徑定理 圓周角定理 弦切角定理 四圓定理 3在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等 4在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等 5把整個圓周等分成360

8、份，每一份弧是1°的弧圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等 6.圓是中心對稱圖形，即圓繞其對稱中心(圓心)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原來圖形重合，這一性質(zhì)不難理解圓和其他中心對稱圖形不同，它還具有旋轉(zhuǎn)不變性，即圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合 7.垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 8.（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 9.圓的兩條平行弦所夾的弧相等 10.(1)一條弧所對的圓周角等于它所對

9、的圓心角的一半. (2)同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等. (3)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑. (4)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 11.(1)圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸. (2)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧. (3)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. (4)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弦. (5)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧. (6)圓的兩條平行弦所夾的弧度

10、數(shù)相等. 12.圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 13.平分弦(不是直徑)的直徑垂直與弦,并且平分弦所對的兩條弧. 14.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等,所對的弦的弦心距也相等. 15.在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧相等,所對的圓心角相等,所對的弦的弦心距也相等. 16.同一個弧有無數(shù)個相對的圓周角. 17.弧的比等于弧所對的圓心角的比. 18.圓的內(nèi)接四邊形的對角互補或相等. 19.不在同一條直線上的三個點能確定一個圓. 20.直徑是圓中最長的弦. 21.一條弦把一個圓分成一個優(yōu)弧和一個劣弧.關(guān)于相似三角形射影定理直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比