建立空間直角坐標(biāo)系,解立體幾何題

1、建立空間直角坐標(biāo)系，解立體幾何高考題立體幾何重點(diǎn)、熱點(diǎn)：求線段的長度、求點(diǎn)到平面的距離、求直線與平面所成的夾角、求兩異面直線的夾角、求二 面角、證明平行關(guān)系和垂直關(guān)系等.常用公式：1、求線段的長度：AB 1ABx2y2z2x2x12y2y1 2z2z1 2|PM n|2、求P點(diǎn)到平面 的距離：PN ：，（N為垂足，M為斜足，n為平面 的法向量） |n|,n為的法向量）3、求直線1與平面所成的角：|sin | LPM n| ,（ pm i, m |PM| |n| AB CD|4、求兩異面直線 AB與CD的夾角：COS -=|AB| |CD|*dr1nl n215、求二面角的平面角：|cos |

2、=,（ n1 , n2為二面角的兩個面的法向量）|»|電|S射影6、求二面角的平面角cos ,（射影面積法）S7、求法向量：找；求：設(shè) a,b為平面 內(nèi)的任意兩個向量，n （x, y,1）為 的法向量,a n 0則由方程組 -,可求得法向量n .b n 0高中新教材9(B)引入了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算這一內(nèi)容，使得空間立體幾何的平行、 垂直、角、距離等問題避免了傳統(tǒng)方法中進(jìn)行大量繁瑣的定性分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行定量分析，使問題得到了大大的簡化。而用向量坐標(biāo)運(yùn)算的關(guān)鍵是建立 一個適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。一、直接建系。當(dāng)圖形中有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線時，可以利用這三條直線直接建

3、例1. (2002年全國高考題)如圖，正方形ABCD ABEFB勺邊長都是1,而且平面ABCD ABE曰:相垂直。點(diǎn)M在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM=BN =a0 a 威)。(1)求MN勺長；(2)當(dāng)a為何值時，MN勺長最小；(3)當(dāng)MNS小時，求面MNAt面MN所成二面角a的大小。解：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA、BE、BC為x、y、z軸建立如圖所示的空I可直角坐標(biāo)系 B-xyz ,由 CM=BN=a M( a , 0, 1 a ),N ( a , a , 0)2222MN =(0 , a ,21)MN | 八ga1)2(等)2V 22(a -)2 1(0 a 12 ) 22(2

4、)由(1) I MN =J(a 導(dǎo) 1L,.21MN所以，當(dāng)a二上時,2即M、N分別移動到AC、BF的中點(diǎn)時，MN的長最小，最小值為 2(3)取MN勺中點(diǎn)P,連結(jié)AP、BP,因?yàn)?AM=AN BM=BN 所以AP,MN BP!MN / APB即為二面角a的平面角。MN的長最小時 M(L 0, 1),N (1, 1, 0)2222 1由中點(diǎn)坐標(biāo)公式P(-,2PA=(-,-,241一,413cos /PA麗=(-2，PA PBPB1面MNAf面MN斷成二面角a的大小為兀-arccos -3例2.(1991年全國高考題)如圖，已知ABCD1邊長為4的正方形，E、F分別是 AB、AD的中點(diǎn)，GCL面A

5、BCD且GC=2求點(diǎn)B到平面EFG的距離。解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz ,由題意 C (0, 0, 0), G (0, 0, 2), E (2, 4, 0), F (4, 2, 0), B (0, 4, 0). GE= (2, 4,-2), GF = (4, 2,-2), BE= (2, 0, 0)設(shè)平面EFG的法向量為n = (x, y, z),則n，GE , n ± GF ,2x 4y 2z 0得 4x 2y 2z 0 ,令 z=1,得 x=1 , y=1 , 33即=(L 1, 1),33GC在n方向上的射影的長度為BE= 2 1111-,-),又 A (1,

6、0, 0), B (0, 0, 0)44(1)解:/、/、/、/ /、1N C，0，1)，.，0，2)，B(°，1，2)"(0，0，2)，M(a，例3. (2000年二省一市高考題)在直三棱柱 ABC- A1B1G中CA=CB=1 / BCA=90,棱 A A1=2, M、N分別是 A1B1、A1 A 的中點(diǎn)。求 BN 的長； (2) 求 cos BA1,CB1; (3)求證：AB,GM建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz,則C (0, 0, 0), B (0, 1, 0), ;)(1)BN =(1, -1 , 1),故 BN =73 ；(2) CB1 = (0, 1,

7、2), BA = (1,-1 , 2)二 cosBA,CB;BA1BA1CB1CB；14 =2/30、6 J510(3) A1B= (-1 , 1,-2),一 11 c、C1M 二(二，二，0)221 1 ,A1B ? C1M = -1 X+1X +(-2) X 0=01122A 1B± C1M、利用圖形中的對稱關(guān)系建系有些圖形雖然沒有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，但是圖形中有一定的對 稱關(guān)系（如：正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐等），我們可以利用圖形的對稱性建立 空間直角坐標(biāo)系來解題。例4. （2001年二省一市高考題）如圖，以底面邊長為2a的正四棱錐V-ABC面 中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)建

8、立空間直角坐標(biāo)系 O-xyz,其中Ox/ BG Oy AB, E為VC的中點(diǎn)， 高OV為h 。(1)求 cos BE,DE ;（2）記面BCV為a ,面DVCB ,若/ BE/二面角a-VC-B的平面角，求/ BED解：（1）由題意B (a, aD (-a , -a , °)E (-a . BE= (- 3a2DE = (a, 3a 222a-)h)0), a h)22cos BE, DE2 BE DEBEDE3a2 3a2 h2= 丁 丁 T 5a2h25a2h2.24 24=6a2 h210 a2 h2(2) V (0, 0, h), C (-a, a, 0) . VC = (-

9、a , a, - h )又/ BE皿二面角a -VC- B的平面角BE ± VC , DE ± VC22一 =a2=0222 h2 a =2 3a2即 BE - VC =a-222代入 cos BE,DE6a2 h2 _ 122-=-二10 a h 31即 / BED=： -arccos 一3三、利用面面垂直的性質(zhì)建系。有些圖形沒有互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，但是有兩個互相垂直的平面， 我們可以利用面面垂直的性質(zhì)定理， 作出互相垂直且相交于一點(diǎn)的三條直線，建立空間直角坐標(biāo)系。例5. (2000年全國高考題)如圖，正三棱柱ABC- ABC的底面邊長為a,側(cè)棱長為,2 a

10、o(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出 A、B、A、G的坐標(biāo)；(2)求ACi與側(cè)面AB BiAi所成的角。解：(1)如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為y軸，以AA所在直線為 z軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與 ABBA垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。由已知得：A (0, 0, 0), B (0, a, 0), Ai (0, 0, 72 a), C (-立 a, - , V2 a)（2）取AB的中點(diǎn)M,于是有M （0,72 a),連 AM、MC有Mc1=(- ：a，0，0)，且 AB= (0, a, 0), AA1 = (0, 0, 2a a)由于 MC11 . AB =0, MC； AA1

11、=0,故 MC，平面 AB BA。 A Ci與AM所成的角就是AC與側(cè)面AB BA所成的角。AC1 = (- a , , V2 a), AM = (0, , */2 a),2222Q 2AC； AM =0+a-+2a2 = -a-, 44AC1 =3a- a4 2a2 3 ,f a 2 3aAM =t 2a =4 42-a23cos AC；, AM = 4=1 3a 3a 22菽與而所成的角，即AC與側(cè)面AB BA1所成的角為30°。例6. （2002年上海高考題）如圖，三棱柱 OAB- OA1B,平面OBEO,平面OAB / OOB=60 / AOB=9。且 OB= O（=2, O

12、A='3。求：（1）二面角O-AB-。的大??；（2）異面直線A1B與A Q所成角的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）解：（1）如圖，取OB的中點(diǎn)D,連接OD,則OD±OBv平面OBBOL平面OAB O1DX面 OAB過D作AB的垂線，垂足為E,連結(jié)OE,則OELOB /DEO為二面角O-AB-O的平面角。由題設(shè)得OD=J3OA . 21sin / OBA=:=OA2 OB2721DE=DBsin/OBAH7v 在 Rt A ODE 中，tan/DE O= <7/DE O=arctan，7 ,即二面角 O - AB- O 的大小為 arctan <7 0（2）以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB所在直線為x、y軸，過點(diǎn)。且與平面AO® 直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則 O （0, 0, 0）, O （0, 1,於）,A （超,0, 0）, Ai （<3, 1,屈）,B （0