比估計(jì)與回歸估計(jì)

1、Chap5比估計(jì)與回歸估計(jì)教學(xué)要求：重難點(diǎn)：引語(yǔ)：（請(qǐng)學(xué)生回顧）前面介紹過(guò)的目標(biāo)量有四個(gè)類型：總體均值、總體總量、總體比例、兩個(gè)指標(biāo)的總數(shù)或均值的比值，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣中討論的目標(biāo)都是前三類，且它們本質(zhì)上是一類，相互之間可類推。本章討論第四類目標(biāo)量比值的估計(jì)，這是第一個(gè)問(wèn)題。比如服裝消費(fèi)支出占總支出的比值，在校兒童對(duì)全體兒童的比重。其次前面所用的估計(jì)量是簡(jiǎn)單估計(jì)，它只涉及所估計(jì)的指標(biāo)本身。如果有另一個(gè)與關(guān)系密切（比例關(guān)系或線性回歸關(guān)系）的指標(biāo)可作為輔助變量，來(lái)構(gòu)造另一類估計(jì)量，即比估計(jì)量或回歸估計(jì)量，來(lái)提高估計(jì)精度，這是第二問(wèn)題。如調(diào)查每月每戶平均消費(fèi)，消費(fèi)通常與每戶人口數(shù)密切相關(guān)，可

2、用每戶人口數(shù)作為輔助變量，先估計(jì)每月每戶平均消費(fèi)與每戶人口數(shù)的比值，然后利用已知的每戶平均人口，就可得到每月每戶平均消費(fèi)的估計(jì)值。由于這兩個(gè)問(wèn)題之間存在密切的內(nèi)在關(guān)系，因此放在這一章節(jié)一起討論。5.1比估計(jì)1. 基本概念考慮到有兩個(gè)指標(biāo)量和，不妨將總體記為，對(duì)應(yīng)樣本為，如果要估計(jì)的是總體比值，則總體比值可用樣本的比值進(jìn)行估計(jì)，該估計(jì)量稱為比值估計(jì)量當(dāng)調(diào)查指標(biāo)僅為，為輔助變量時(shí)，在或已知時(shí)，和可用分別進(jìn)行估計(jì)，稱為比（比率）估計(jì)量這三者通稱為比估計(jì)量，它們之間只相差一個(gè)常數(shù)，相互之間可推導(dǎo)，研究時(shí)只選擇一個(gè)即可2. 性質(zhì)我們知道簡(jiǎn)單估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)，其均值誤差等于其方差但對(duì)于比估計(jì)量卻不具有無(wú)偏

3、性，而是漸近無(wú)偏其均值誤差與方差有差異，但偏倚不大可證：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)n很大時(shí)，簡(jiǎn)要證明：當(dāng)n很大時(shí)，代入上式分母中，有所以，當(dāng)n很大時(shí)此時(shí)對(duì)每個(gè)總體單元，令，對(duì)每個(gè)樣本單元有，則其總體均值和樣本均值分別為因而所以，當(dāng)n很大時(shí)此方差的估計(jì)量可采用或說(shuō)明：這兩個(gè)方差估計(jì)量很難比較誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣，對(duì)不同總體有不同結(jié)論。類推可得：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)n很大時(shí)，, ， ,【例1】（馮例5.3）交通運(yùn)輸統(tǒng)計(jì)中有三個(gè)重要的指標(biāo)，即運(yùn)量、周轉(zhuǎn)量與平均運(yùn)距，其中平均運(yùn)距是總周轉(zhuǎn)量除以運(yùn)量所得的商。為估計(jì)公路載貨汽車的平均運(yùn)距，在總體中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取32輛貨車，記錄每輛車在一個(gè)月內(nèi)的運(yùn)量xi(單位噸)與周轉(zhuǎn)

4、量yi (單位噸公里)，如P130表5.3所示，試估計(jì)平均運(yùn)距R并給它的90%的置信區(qū)間。解：,故平均運(yùn)距的估計(jì)值為為求方差估計(jì)值，令f1，R的90%的置信區(qū)間為3. 比估計(jì)與簡(jiǎn)單估計(jì)的比較簡(jiǎn)單估計(jì)法以樣本均值估計(jì)總體均值，比估計(jì)以估計(jì)，兩者的估計(jì)方差為由于樣本方差和樣本協(xié)方差是總體方差和總體協(xié)方差的無(wú)偏估計(jì)，所以的一個(gè)近似估計(jì)是即其中是指標(biāo)與的總體相關(guān)系數(shù)比估計(jì)優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)的條件是 (*)其中：，分別是總體Xi和Yi的變異系數(shù).*式說(shuō)明在估計(jì)時(shí)，如果有與指標(biāo)相關(guān)系數(shù)較大的輔助指標(biāo)，而且的變異系數(shù)比較小，則用比估計(jì)法的有利的即的變異系數(shù)與的變異系數(shù)相當(dāng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)大于時(shí)，比估計(jì)比簡(jiǎn)單估計(jì)更優(yōu)5

5、.回歸估計(jì)有效運(yùn)用比估計(jì)的一個(gè)前提是與輔助變量X基本上成（正）比例關(guān)系，即Yi對(duì)Xi的回歸直線通過(guò)原點(diǎn)。若Yi對(duì)Xi的回歸直線不通過(guò)原點(diǎn)，為了進(jìn)一步提高精度，則應(yīng)使用回歸估計(jì)。對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，總體均值和總量的（線性）回歸估計(jì)量定義為：其中是樣本均值，可以是：(1)事先設(shè)定的常數(shù)；(2)從樣本中計(jì)算得到的某一特定統(tǒng)計(jì)量，如樣本回歸系數(shù)。下面例舉幾種回歸估計(jì)的特殊情況。(1)當(dāng)時(shí)的回歸估計(jì)量稱為差估計(jì)量（difference estimator） ：(2)當(dāng)時(shí)，即為簡(jiǎn)單估計(jì)量。(3)當(dāng)時(shí)，則即比估計(jì)量。我們知道簡(jiǎn)單估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)，而比估計(jì)是漸近無(wú)偏的，也就是說(shuō)為設(shè)定常數(shù)與為某一統(tǒng)計(jì)量對(duì)回歸估計(jì)在

6、性質(zhì)上有很大的不同，下面分別進(jìn)行討論。為設(shè)定常數(shù)令是設(shè)定常數(shù)，易證回歸估計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)。求它的方差時(shí)，可視為的樣本均值，所以可用簡(jiǎn)單估計(jì)量的方差公式：由于樣本方差和樣本協(xié)方差是總體方差和總體協(xié)方差的無(wú)偏估計(jì)，因此的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)是的不同取值會(huì)影響值，若取值合理，就小，否則就大。若要最小，則最小。對(duì)求導(dǎo)，則，即為對(duì)的總體回歸系數(shù)時(shí)，取得最小值為樣本回歸系數(shù)對(duì)的總體回歸系數(shù)一般是未知的，自然人們常用其樣本回歸系數(shù)b，估計(jì)，此時(shí)總體均值的回歸估計(jì)為可以證明，當(dāng)n大時(shí)，以估計(jì)是近似無(wú)偏的；其均方誤差近似為理論上的最小值，即此式中的可用以下樣本殘差方差進(jìn)行估計(jì)：所以的一個(gè)近似估計(jì)式為回歸估計(jì)與簡(jiǎn)單估計(jì)和

7、比估計(jì)的比較將回歸估計(jì)(為樣本回歸系數(shù)b時(shí))與比估計(jì)及簡(jiǎn)單估計(jì)的方差作大樣本比較。(1)當(dāng)樣本量n大時(shí)，回歸估計(jì)的方差為而簡(jiǎn)單估計(jì)的方差而，故有也就是說(shuō)，在大樣本下，回歸估計(jì)優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)，除非，兩者效果才一樣。(2)對(duì)于比估計(jì)，我們知道當(dāng)n大時(shí)，它的方差近似為回歸估計(jì)量?jī)?yōu)于比估計(jì)量的條件為：注：上述結(jié)論是在大樣本時(shí)得到的，當(dāng)n不太大時(shí)，還要考慮到回歸估計(jì)及比估計(jì)的偏倚。實(shí)際上，小樣本時(shí)，回歸估計(jì)的偏倚有可能比比估計(jì)的大，因此就總的均方誤差而言，并不是總是回歸估計(jì)最小。結(jié)論：（）小樣本時(shí)，比估計(jì)可能比回歸估計(jì)更優(yōu)（）大樣本時(shí)，除非B=R，否則回歸估計(jì)優(yōu)于比估計(jì)。經(jīng)驗(yàn)作法（孫教材）：當(dāng)輔助變量的變

8、異系數(shù)與指標(biāo)的變異系數(shù)之比在之間時(shí)，而兩者相關(guān)系數(shù)時(shí)，采用回歸估計(jì)比采用簡(jiǎn)單估計(jì)或比估計(jì)有較高的精度【例2】某系統(tǒng)共有N=687個(gè)單位，為預(yù)計(jì)當(dāng)年全系統(tǒng)的工資總量，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)n=26個(gè)單位的樣本，下表是這些單位當(dāng)年擊傷一年工資總額數(shù)。已知上一年全系統(tǒng)工資總額為70523.16萬(wàn)元。試采用比估計(jì)和回歸估計(jì)法（取樣本回歸系數(shù)b）估計(jì)當(dāng)年全系統(tǒng)的工資總額及估計(jì)的近似標(biāo)準(zhǔn)差。解：，方法：比估計(jì)作為比較，的簡(jiǎn)單估計(jì)量為比估計(jì)的設(shè)計(jì)效應(yīng)方法：回歸估計(jì)法樣本回歸系數(shù)為求方差估計(jì)，先求樣本殘差方差回歸估計(jì)法的設(shè)計(jì)效應(yīng)可見(jiàn)，回歸估計(jì)法與比估計(jì)的設(shè)計(jì)效應(yīng)非常接近（因?yàn)锽與R的估計(jì)值非常相近），精度都比

9、簡(jiǎn)單估計(jì)高5.3分層比估計(jì)回顧：l 在分層抽樣一章中講過(guò)定理：總體均值的估計(jì)用各層均值的估計(jì)加權(quán)平均得到，即。和該定理的推論：對(duì)分層簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若各層均值采用簡(jiǎn)單估計(jì)，則總體均值分層簡(jiǎn)單估計(jì)為l 前節(jié)比估計(jì)的思想是用樣本的比值估計(jì)總體比值，即，總體均值的比估計(jì)是若將比估計(jì)的思想和技術(shù)用于分層隨機(jī)樣本，有兩種可行的方法：l 一種是先對(duì)每一層使用比估計(jì)，然后進(jìn)行加權(quán)平均，得到整個(gè)總體的估計(jì)量的比估計(jì)，這種方法稱為分別比估計(jì)；l 另一種是對(duì)兩個(gè)指標(biāo)和各自都作分層簡(jiǎn)單估計(jì)（即推論的作法），然后用它們構(gòu)造比估計(jì)，這種方法稱為聯(lián)合比估計(jì)（或組合比估計(jì)）。、分別比估計(jì)（separate ratio est

10、imator）對(duì)分層簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若各層均值采用比估計(jì)，則總體均值的分別比估計(jì)定義為由于當(dāng)每一層的樣本量都比較大時(shí)，各層的比估計(jì)是近似無(wú)偏的，所以也是近似無(wú)偏的。且其均方誤差近似為該方差的一個(gè)近似無(wú)偏估計(jì)為、聯(lián)合比估計(jì)（combined ratio estimator）對(duì)分層簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，先求兩個(gè)指標(biāo)和的總體均值的分層簡(jiǎn)單估計(jì)：則總體均值的聯(lián)合比估計(jì)定義為其中當(dāng)總樣本量n比較大時(shí)，是近似無(wú)偏的，且其均方誤差近似為的一個(gè)近似估計(jì)為注意：這個(gè)式中的是總體比而不是分別比估計(jì)相應(yīng)公式中的層i.,其它一樣。3.兩種比估計(jì)的比較（適用場(chǎng)合）：先比較兩者的方差：注意式中在比估計(jì)適用的場(chǎng)合都比較小，如當(dāng)與關(guān)系

11、是通過(guò)原點(diǎn)的一條直線時(shí)（完全正相關(guān)），。由此可得結(jié)論：（）當(dāng)每層的時(shí)，兩種比估計(jì)效果一樣。（）每一層的樣本量都比較大，每層的與相關(guān)系數(shù)較大，且相差較大時(shí)，分別比估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合比估計(jì)。（）分別比估計(jì)要求每一層的樣本量都比較大，因此僅當(dāng)層數(shù)較多，而各層樣本量不夠大時(shí)，才采用聯(lián)合比估計(jì)。5.分層回歸估計(jì)與比估計(jì)情形一樣，對(duì)于分層隨機(jī)樣本，也有兩種形式的回歸估計(jì)，一種是先對(duì)每一層使用回歸估計(jì)，然后進(jìn)行加權(quán)平均，得到整個(gè)總體的估計(jì)量的回歸估計(jì)，這種方法稱為分別回歸估計(jì)；另一種是對(duì)兩個(gè)指標(biāo)和各自都作分層簡(jiǎn)單估計(jì)，然后用它們構(gòu)造回歸估計(jì)，這種方法稱為聯(lián)合回歸估計(jì)（或組合回歸估計(jì)）。分別回歸估計(jì)（separat

12、e regression estimator） 對(duì)分層隨機(jī)樣本，總體均值的分別回歸估計(jì)定義為（）當(dāng)h為事先取定的值時(shí)，該估計(jì)量為無(wú)偏估計(jì)量，且其方差為該方差是的多元函數(shù)，可證當(dāng)h取時(shí)，達(dá)最小值（）當(dāng)h不能事先取定時(shí)，通常取為從樣本中計(jì)算得到的此時(shí)當(dāng)各層的樣本量nh很大時(shí)，以估計(jì)是近似無(wú)偏的；其方差近似為理論上的最小值，即它的一個(gè)近似估計(jì)為式中樣本殘差方差.聯(lián)合回歸估計(jì)（combined regression estimator）對(duì)分層隨機(jī)樣本，先求兩個(gè)指標(biāo)的總體均值的分層簡(jiǎn)單估計(jì)： 則總體均值的聯(lián)合回歸估計(jì)定義為（）當(dāng)事先取定時(shí)，該估計(jì)量為無(wú)偏估計(jì)量，且其方差為該方差是的一元函數(shù)，可證當(dāng)取時(shí)，

13、達(dá)最小值（）當(dāng)不能事先取定時(shí)，通常取為從樣本中計(jì)算得到的 b此時(shí)當(dāng)總樣本量n很大時(shí)，以估計(jì)是近似無(wú)偏的；其方差近似為理論上的最小值，即它的一個(gè)近似估計(jì)為3.兩種回歸估計(jì)的比較（適用場(chǎng)合）：分別回歸估計(jì)的最小方差為.聯(lián)合回歸估計(jì)的最小方差式中注：上式中只需代入得恒成立由此可知：（）當(dāng)每層的時(shí)，兩種回歸估計(jì)效果一樣。（）每一層的樣本量都比較大，每層的與相關(guān)系數(shù)較大，且相差較大時(shí)，分別回歸估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合回歸估計(jì)。（）分別回歸估計(jì)要求每一層的樣本量都比較大，因此僅當(dāng)層數(shù)較多，而各層樣本量不夠大時(shí)，才采用聯(lián)合回歸估計(jì)。【例】（馮例.）已知某市年年底中央直屬單位（）專業(yè)技術(shù)人員總數(shù)人，市屬單位（）專業(yè)技術(shù)人

14、員總數(shù)人，欲通過(guò)抽樣調(diào)查，估計(jì)年年底全市專業(yè)技術(shù)人員的總數(shù)抽樣按中直單位與市直單位分層隨機(jī)抽取，前者抽n1=15個(gè)單位，后者抽n2=個(gè)單位，數(shù)據(jù)如下表。中直單位(i=1)市直單位(i=2)jxijyijjxijyij121522418794210821110212313236757143596243823934141751801895657702663267768388756617208227881282884245998101938421021722810148165112158220113904291231833412971041345746113103107142342481428429

15、015465472151251251667471417357385182182341981986820146162對(duì)上述數(shù)據(jù)按分別比估計(jì)、聯(lián)合比估計(jì)、分別回歸估計(jì)、聯(lián)合回歸估計(jì)四種方法對(duì)年年底全市專業(yè)技術(shù)人員的總數(shù)作出估計(jì)，并給出各估計(jì)量的精度。解：先將樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的中間結(jié)果列如下表：中直單位(h=1)市直單位(h=2)Nh152035Wh0.0990462220.9009537780.0592592590.049185668Xh75650315612391262560.3703704257.0130293550.6666667249.6532.066666723

16、3.6298594.23816136678154296.56842290611.166757708.410531.0349580251.068493151bh1.0271567031.06283715998.0326205433.25450918（）分別比估計(jì)（）聯(lián)合比估計(jì)(3)分別回歸估計(jì)(4)聯(lián)合回歸估計(jì)與分層簡(jiǎn)單估計(jì)進(jìn)行比較：估計(jì)方法估計(jì)值估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差分別比估計(jì)415521607聯(lián)合比估計(jì)4154331675分別回歸估計(jì)415331160聯(lián)合回歸估計(jì)415381672分層簡(jiǎn)單估計(jì)380848.869814.635.5各種估計(jì)量的比較與選擇（小結(jié)）比估計(jì)與簡(jiǎn)單估

17、計(jì)的比較：在有輔助變量時(shí)，若的變異系數(shù)與的變異系數(shù)相當(dāng)，且相關(guān)系數(shù)大于時(shí)，比估計(jì)比簡(jiǎn)單估計(jì)更優(yōu)回歸估計(jì)與簡(jiǎn)單估計(jì)的比較：在大樣本下，除非相關(guān)系數(shù)，否則回歸估計(jì)優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì) 比估計(jì)與回歸估計(jì)的比較：在大樣本下，除非與的總體回歸系數(shù)B=R，否則回歸估計(jì)優(yōu)于比估計(jì)小樣本時(shí)，考慮總的偏差，比估計(jì)可能比回歸估計(jì)更優(yōu)分別估計(jì)與聯(lián)合估計(jì)的比較：l 對(duì)分層抽樣，當(dāng)每一層的樣本量都比較大，每層的與相關(guān)系數(shù)較大，且或相差較大時(shí)，分別估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合估計(jì)，無(wú)論是比估計(jì)還是回歸估計(jì)。l 對(duì)分層抽樣，僅當(dāng)層數(shù)較多，而各層樣本量不夠大時(shí)，才采用聯(lián)合回歸估計(jì)。作業(yè)： 5.4(1)要求用比估計(jì)和回歸估計(jì)兩種方法 5.9實(shí)踐題:利用上次實(shí)驗(yàn)中收集的本班學(xué)生的身高、體重?cái)?shù)據(jù)，試選擇本章所介紹的比估計(jì)或回歸