無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課有答案

1、第十二章 無窮級(jí)數(shù)習(xí)題課一、 本章主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲審斂法，絕對(duì)收斂與條件收斂。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)（逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、和函數(shù)的連續(xù)性），泰勒級(jí)數(shù)，函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)及冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)及其收斂定理。二、 本章重點(diǎn)用定義判別級(jí)數(shù)的收斂，P-級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，萊布尼茲型級(jí)數(shù)的審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域與收斂半徑，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)收斂定理。三、 例題選講例1：判別級(jí)數(shù)的斂散性。（用定義） 解：原式=級(jí)數(shù)的部分和， 所以原級(jí)數(shù)收斂，且收斂于。例2：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） ， （2） ， （3）（4）

2、，（5），（）（6）解：（1）因?yàn)?，所以，?， 有 ，由比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂。（2）因?yàn)?，又收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂。（3）用根值法 ，所以原級(jí)數(shù)收斂。（4）所以 有比較法知，原級(jí)數(shù)收斂。（5）比值法：，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。所以，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。（6），所以原級(jí)數(shù)收斂。例4：判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：，又，知級(jí)數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，即級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。因?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)減少，由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)條件收斂。例3：證明級(jí)數(shù)收斂。證：設(shè)，則原級(jí)數(shù)為，又，即在內(nèi)單調(diào)下降，從而，且，由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。例4：設(shè)數(shù)列為單調(diào)增加的有界正數(shù)列，證明級(jí)數(shù)收斂。證明：因?yàn)閿?shù)列為

3、單調(diào)增加有上界，所以極限存在。設(shè)，考慮而級(jí)數(shù)存在，由比較審斂法知，原級(jí)數(shù)收斂。例5：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收斂半徑為，收斂區(qū)間。時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，收斂。所以收斂域?yàn)?。?）令，原級(jí)數(shù)為 因?yàn)?，所以收斂半徑。又時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故其收斂域?yàn)椋涸儆?，解得原?jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤＃?），所以收斂半徑，收斂區(qū)間為：，即當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。得原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤＠?：求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù)（1） ，（2） ，（3）（2），所以收斂半徑。又時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤ＴO(shè)級(jí)數(shù)的和函為，對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分得， ， 對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得， 。（3）易求級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。記?jí)數(shù)的和函為，因?yàn)?，所?， 即， 對(duì)上式兩端求導(dǎo)得： 故有， 當(dāng)時(shí)，由所給級(jí)數(shù)知。因此例7 把級(jí)數(shù) 的和函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)。解：記級(jí)數(shù)的和函為，即 ， 例8 求級(jí)數(shù)的和。例9 設(shè)，試將展開成的冪級(jí)數(shù)。解：所以， 。例10 求函數(shù)的傅立葉展開式。解：分段連續(xù)，滿足展開定理?xiàng)l件， ，另求： ，另求： 所以函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)為：。例11 已知函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，（1） 求的傅立葉級(jí)數(shù)；（2） 證明；（3） 求積分的值。解：（1）所以有由收