最值綜合題幾何全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題幾何大題題型分類匯編解析

1、2019全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸大題幾何綜合7、 最值綜合題1.（2019紹興）有一塊形狀如圖的五邊形余料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90°，C135°，E90°，要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一條邊在AE上，并使所截矩形材料的面積盡可能大（1）若所截矩形材料的一條邊是BC或AE，求矩形材料的面積（2）能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由解：（1）若所截矩形材料的一條邊是BC，如圖1所示：過點(diǎn)C作CFAE于F，S1ABBC6×530；若所截矩形材料的一條邊是AE，如圖2所示：過點(diǎn)E作EF

2、AB交CD于F，F(xiàn)GAB于G，過點(diǎn)C作CHFG于H，則四邊形AEFG為矩形，四邊形BCHG為矩形，C135°，F(xiàn)CH45°，CHF為等腰直角三角形，AEFG6，HGBC5，BGCHFH，BGCHFHFGHG651，AGABBG615，S2AEAG6×530；（2）能；理由如下：在CD上取點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FMAB于M，F(xiàn)NAE于N，過點(diǎn)C作CGFM于G，則四邊形ANFM為矩形，四邊形BCGM為矩形，C135°，F(xiàn)CG45°，CGF為等腰直角三角形，MGBC5，BMCG，F(xiàn)GDG，設(shè)AMx，則BM6x，F(xiàn)MGM+FGGM+CGBC+BM11x，SAM

3、×FMx（11x）x2+11x（x5.5）2+30.25，當(dāng)x5.5時，S的最大值為30.25 2.（2019紹興）如圖，矩形ABCD中，ABa，BCb，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點(diǎn)P，記kMN：EF（1）若a：b的值為1，當(dāng)MNEF時，求k的值（2）若a：b的值為，求k的最大值和最小值（3）若k的值為3，當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，MPE60°，MPEF3PE時，求a：b的值解：（1）如圖1中，作EHBC于H，MQCD于Q，設(shè)EF交MN于點(diǎn)O四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)HAB，MQBC，ABCB，F(xiàn)HMQ，EFMN，EON90

4、6;，ECN90°，MNQ+CEO180°，F(xiàn)EH+CEO180°FEHMNQ，EHFMQN90°，F(xiàn)HEMQN（ASA），MNEF，kMN：EF1（2）a：b1：2，b2a，由題意：2aMNa，aEFa，當(dāng)MN的長取最大時，EF取最短，此時k的值最大最大值，當(dāng)MN的最短時，EF的值取最大，此時k的值最小，最小值為（3）連接FN，MEk3，MPEF3PE，3，2，F(xiàn)PNEPM，PNFPME，2，MENF，設(shè)PE2m，則PF4m，MP6m，NP12m，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時，點(diǎn)M恰好與B重合作FHBD于HMPEFPH60°，PH2m，F(xiàn)H2

5、m，DH10m，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N與C重合，作EHMN于H則PHm，HEm，HCPH+PC13m，tanHCE，MEFC，MEBFCBCFD，BD，MEBCFD，2，綜上所述，a：b的值為或3.（2019益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB4，BC6若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動（1）當(dāng)OAD30°時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；（3）當(dāng)點(diǎn)A移動到某一位置時，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求

6、此時cosOAD的值解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CEy軸于點(diǎn)E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90°，又OAD+ADO90°，CDEOAD30°，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30°，ODAD3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3+2）；（2）M為AD的中點(diǎn)，DM3，SDCM6，又S四邊形OMCD，SODM，SOAD9，設(shè)OAx、ODy，則x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，將xy代入x2+y236得x218，解得x3（負(fù)值舍去），OA3；（3）OC的最大值為8，如圖2，M為AD的中點(diǎn)，OM3，CM5，OCOM+CM8

7、，當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時，OC有最大值8，連接OC，則此時OC與AD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)O作ONAD，垂足為N，CDMONM90°，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD4.（2019淮安）如圖，在ABC中，ABAC3，BAC100°，D是BC的中點(diǎn)小明對圖進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB將線段PB繞點(diǎn)P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到BPE小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD

8、的右側(cè)請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：（1）當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時，如圖所示BEP50°；連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是ECAB（2）請?jiān)趫D中畫出BPE，使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動時，求AE的最小值解：（1）如圖中，BPE80°，PBPE，PEBPBE50°，結(jié)論：ABEC理由：ABAC，BDDC，ADBC，BDE90°，EBD90°50°40°，AE垂直平分線段BC，EBEC，ECBEBC40°，ABAC，BAC100&

9、#176;，ABCACB40°，ABCECB，ABEC故答案為50，ABEC（2）如圖中，以P為圓心，PB為半徑作PAD垂直平分線段BC，PBPC，BCEBPE40°，ABC40°，ABEC（3）如圖中，作AHCE于H，點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值A(chǔ)B35.（2019巴中）如圖，在菱形ABCD中，連結(jié)BD、AC交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H，以點(diǎn)O為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點(diǎn)M求證：DC是O的切線若AC4MC且AC8，求圖中陰影部分的面積在的條件下，P是線段BD上的一動點(diǎn)，當(dāng)PD為何值

10、時，PH+PM的值最小，并求出最小值解：過點(diǎn)O作OGCD，垂足為G，在菱形ABCD中，AC是對角線，則AC平分BCD，OHBC，OGCD，OHOG，OH、OG都為圓的半徑，即DC是O的切線；AC4MC且AC8，OC2MC4，MCOM2，OH2，在直角三角形OHC中，HOCO，OCH30°，COH60°，HC，S陰影SOCHS扇形OHMCHOHOH22；作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)N，連接HN交BD于點(diǎn)P，PMNP，PH+PMPH+PNHN，此時PH+PM最小，ONOMOH，MOH60°，MNH30°，MNHHCM，HN=HC=2，即：PH+PM的最小值為2，PD

11、=OP+OD=26.（2019河北）如圖，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30°，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B，E在AD異側(cè)，I為APC的內(nèi)心（1）求證：BADCAE；（2）設(shè)APx，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當(dāng)ABAC時，AIC的取值范圍為m°AICn°，分別直接寫出m，n的值解：（1）在ABC和ADE中，（如圖1） ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x當(dāng)ADBC時，APAB3最小，即PD633為PD的最大值（3）如圖2，設(shè)BAP，則APC

12、+30°，ABACBAC90°，PCA60°，PAC90°，I為APC的內(nèi)心AI、CI分別平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180°（IAC+ICA）180°（PAC+PCA）180°（90°+60°）+105°090°，105°+105°150°，即105°AIC150°，m105，n1507.（2019廣州）如圖，等邊ABC中，AB6，點(diǎn)D在BC上，BD4，點(diǎn)E為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），CDE關(guān)于DE的軸對

13、稱圖形為FDE（1）當(dāng)點(diǎn)F在AC上時，求證：DFAB；（2）設(shè)ACD的面積為S1，ABF的面積為S2，記SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時求AE的長解：（1）ABC是等邊三角形ABC60°由折疊可知：DFDC，且點(diǎn)F在AC上DFCC60°DFCADFAB；（2）存在，過點(diǎn)D作DMAB交AB于點(diǎn)M，ABBC6，BD4，CD2DF2，點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)F在DM上時，SABF最小，BD4，DMAB，ABC60°MD2SABF的最小值6×（22）66S最大值2×

14、3（66）36（3）如圖，過點(diǎn)D作DGEF于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EHCD于點(diǎn)H，CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為FDEDFDC2，EFDC60°GDEF，EFD60°FG1，DGFGBD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1BGEHBC，C60°CH，EHHCECGBDEBH，BGDBHE90°BGDBHEEC1AEACEC78.（2019南通）如圖，矩形ABCD中，AB2，AD4E，F(xiàn)分別在AD，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF所在的直線對稱，P是邊DC上的一動點(diǎn)（1）連接AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形；（2）當(dāng)PEF的周長最小時，求的值；（3）連接B

15、P交EF于點(diǎn)M，當(dāng)EMP45°時，求CP的長證明：（1）如圖：連接AF，CE，AC交EF于點(diǎn)O四邊形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ADBCAEOCFO，EAOFCO，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于EF所在的直線對稱AOCO，ACEFAEOCFO，EAOFCO，AOCOAEOCFO（AAS）AECF，且AECF四邊形AFCE是平行四邊形，且ACEF四邊形AFCE是菱形；（2）如圖，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對稱點(diǎn)H，連接EH，交CD于點(diǎn)P，此時EFP的周長最小，四邊形AFCE是菱形AFCFCEAE，AF2BF2+AB2，AF2（4AF）2+4，AFAECFDE點(diǎn)F，點(diǎn)H關(guān)于CD對稱CFCHADBC（3）如

16、圖，延長EF，延長AB交于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EHBC于H，交BP于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BOFN于點(diǎn)O，由（2）可知，AECF，BFDEEHBC，AABC90°四邊形ABHE是矩形ABEH2，BHAEFH1EF，ADBCBFNAENBN3，NFAN5，NENN，BONA90°NBONEABO，NOEMPBMO45°，BOENOBMBMO45°BOMOMEENNOMOABEHBNMGEMEGGHEHEGEHCDBGHBPCCP9.（2019貴港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90°，將ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到ABC，記旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)90°

17、180°時，作ADAC，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E（1）如圖1，當(dāng)CAD15°時，作AEC的平分線EF交BC于點(diǎn)F寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；求證：EA+ECEF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個動點(diǎn)，連接PA，PF，若AB，求線段PA+PF的最小值（結(jié)果保留根號）（1）解：旋轉(zhuǎn)角為105°理由：如圖1中，ADAC，ADC90°，CAD15°，ACD75°，ACA105°，旋轉(zhuǎn)角為105°證明：連接AF，設(shè)EF交CA于點(diǎn)O在EF時截取EMEC，連接CMCEDACE+CAE45°+15°60°，CEA120°，F(xiàn)E平分CEA，CEFFEA60°，F(xiàn)CO180°45°75°60°，F(xiàn)COAEO，F(xiàn)OCAOE，F(xiàn)OCAOE，COEFOA，COEFOA，F(xiàn)AOOEC60°，ACF是等邊三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60°，CEM是等邊三角形，ECM60°，CMCE，F(xiàn)CAMCE60°，F(xiàn)CMACE，F(xiàn)CMACE（ASA），F(xiàn)MAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如圖2中，連接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延長線于M由可知，EAFEAB75