平面向量的數(shù)量積及復(fù)數(shù)答案

1、平面向量的數(shù)量積及復(fù)數(shù)1.考綱點擊（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算;（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系;（5）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題;（6）會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.2.熱點提示（1）平面向量數(shù)量積的運算,模與夾角.平行與垂直問題的高考命題的熱點,多以選擇.填空題的形式出現(xiàn),屬中低檔題,但靈活多變;（2）可與三角函數(shù).解析幾何等知識綜合命題,是高考的另一個熱點.【考綱知識梳理】（1）兩個非零向量的夾角已知

2、非零向量.與.,作,則_叫與的夾角;（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與,它們的夾角為,則·=_叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）.規(guī)定;向量的投影：_,稱為向量在方向上的投影.投影的絕對值稱為射影;（3）數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積.（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：_.乘法公式成立_;平面向量數(shù)量積的運算律交換律對實數(shù)的結(jié)合律分配律向量的夾角：_.當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時,=00,當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時,同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知兩個向量,則·=_.（6）垂直：如果與的夾角為900

3、則稱與垂直,記作.兩個非零向量垂直的充要條件：·O_,平面向量數(shù)量積的性質(zhì).（7）平面內(nèi)兩點間的距離公式設(shè),則或.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為.,那么 _(平面內(nèi)兩點間的距離公式).(8) 向量的夾角：_.【熱點難點精析】（一）平面向量的數(shù)量積的運算及向量的模問題1.向量的數(shù)量積有兩種計算方法,一是利用公式·=·cos來計算,二是利用·=來計算,具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇,同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.2.利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,要掌握此類問題的處理方法：(1);(2) ;(3)若則.（二）平面向量的垂直問題1

4、.非零向量2.當(dāng)向量,是非坐標(biāo)形式時,要把,用已知的不共線的向量表示.注：把向量都用坐標(biāo)表示,并不一定都能夠簡化運算,要因題而異.（三）平面向量的夾角問題1.當(dāng),是非坐標(biāo)形式時,求,的夾角.需求得及,或得出它們的關(guān)系.2.若已知,的坐標(biāo),則可直接利用公式注：平面向量,的夾角1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1）復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實部和虛部。若b=0,則a+bi為實數(shù)，若b0,則a+bi為虛數(shù)，若a=0且b0，則a+bi為純虛數(shù)。（2）復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).（3）共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛a=c，b=-d(a,b

5、,c,dR).。（4）復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面。X軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)。（5）復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記敘|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=。2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）(a,bR);（2）復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量（a,bR）。3、復(fù)數(shù)的運算（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;減法：z1- z

6、2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;乘法：z1· z2=( a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法：(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何、C，有+=+，（+）+=+（+）。注：任意兩個復(fù)數(shù)不一定能比較大小，只有這兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。【熱點難點精析】一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)數(shù)的分類2、處理有關(guān)復(fù)數(shù)概念的問題，首先要找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實部與虛部（若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，則應(yīng)通過代數(shù)運算化為代數(shù)形式），然后根據(jù)定義解題。二、復(fù)數(shù)相等1、a+bi=c+di.2、利用復(fù)數(shù)相等可實現(xiàn)復(fù)數(shù)問題

7、實數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。注：對于復(fù)數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z= a+bi(a,bR)。三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算1、在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度：（1）（4）（5）（6）2、復(fù)數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運算過程中，要熟透i的特點及熟練應(yīng)用運算技巧。例1已知點A、B、C的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），()。(1)若，求角的值； (2)若=1，求的值.解：(1)=(cos3, sin),

8、=(cos, sin3). =。=。由=得sin=cos.又，=.(2)由· =1,得(cos3)cos+sin (sin3)=1 sin+cos=. 又. 由式兩邊平方得1+2sincos= , 2sincos=, 例2已知定點A(0,1)，B(0,1)，C(1,0)。動點P滿足：。(1)求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；(2)當(dāng)?shù)淖畲笾岛妥钚≈怠?解：(1)設(shè)動點的坐標(biāo)為P(x,y),則(x,y1)，(x,y+1)，(1x,y)·k|2，x2+y21k(x1)2+y2 即(1k)x2+(1k)y2+2kxk1=0。若k=1，則方程為x=1，表示過點（1，0）是平

9、行于y軸的直線。 若k1，則方程化為：，表示以(,0)為圓心，以為半徑的圓。 (2)當(dāng)k=2時，方程化為(x2)2+y2=1。22(x,y1)(x,y+1)(3x,3y1)，|2|。又x2+y24x3，|2|(x2)2+y21，令x2cos，ysin。則36x6y2636cos6sin+466cos(+)+46466,466，|2|max3，|2|min-3。例當(dāng)實數(shù)m為何值時，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1) 純虛數(shù)；（2）為實數(shù)；（3）對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的第二象限內(nèi)。（1）若z為純虛數(shù)，則解得m=3（2）若z為實數(shù)，則解得m=-1或m=-2（3）若z的對應(yīng)點在第二象限

10、，則解得-1<m<1-或1+<m<3.即（1）m=3時，z為純虛數(shù)；（2）m=-1或m=-2時，z為實數(shù)；（3）-1<m<1-或1+<m<3時，z的對應(yīng)點在第二象限內(nèi)。例已知集合M=（a+3）+（b2-1）i,8,集合N=3，（a2-1）+(b+2)同時滿足MNM，MN，求整數(shù)a,b或或由得a=-3,b=±2,經(jīng)檢驗，a=-3,b=-2不合題意，舍去。a=-3，b=2由得a=±3, b=-2.又a=-3,b=-2不合題意，a=3,b=-2;由得,此方程組無整數(shù)解。綜合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。一、選擇題： 1設(shè)i，

11、j是互相垂直的單位向量，向量a(m1)i3j，bi(m1)j，(ab)(ab)，則實數(shù)m的值為()A2B2 C D不存在2設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)(xab)·(axb)的圖象是一條直線，則必有()Aab Bab C|a|b| D|a|b|3向量a(1,1)，且a與a2b方向相同，則a·b的范圍是()A(1，) B(1,1) C(1，) D(，1)4已知ABC中， a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC等于()A30° B150° C150° D30°或150°5平面上O，A，B三點不共線

12、，設(shè)則OAB的面積等于()A. B. C. D.6在RtABC中，C90°，AC4，則等于()A16 B8 C8 D16二、填空題：7已知向量a，b滿足|b|2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是_1_8已知平面向量，|1，|2，(2)，則|2|的值是_9已知|a|2，|b|，a與b的夾角為45°，要使ba與a垂直，則_2_.10在ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM2，則)的最小值是_-2_三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)11已知|a|，|b|1，a與b的夾角為45°，求使向量(2ab

13、)與(a3b)的夾角是銳角的的取值范圍解：由|a|，|b|1，a與b的夾角為45°，則a·b|a|b|cos45°×1×1.而(2ab)·(a3b)2a26a·b2a·b3b226.設(shè)向量(2ab)與(a3b)的夾角為，則cos>0，且cos1，(2ab)·(a3b)>0，26>0，>2或<3.假設(shè)cos1，則2abk(a3b)(k>0)，解得k2.故使向量2ab和a3b夾角為0°的不存在所以當(dāng)>2或<3時，向量(2ab)與(a3b)的夾角是銳角1

14、2設(shè)在平面上有兩個向量a(cos，sin)(0°<360°)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當(dāng)向量ab與ab的模相等時，求的大小解：(1)證明：因為(ab)·(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab與ab垂直(2)由|ab|ab|，兩邊平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0，而|a|b|，所以a·b0，則·cos·sin0，即cos(60°)0，60°k·180°90°

15、;，即k·180°30°，kZ，又0°<360°，則30°或210°.13已知向量a(cos()，sin()，b，(1)求證：ab；(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t，使xa(t23)b，ykatb滿足xy，試求此時的最小值解：(1)證明：a·bcos()·cossin()·sinsincossincos0.ab.(2)由xy，得x·y0，即a(t23)b·(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)a·b0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t，t2t32.故當(dāng)t時，有最小值.一、 選擇題1、復(fù)數(shù)的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）2、已知集合M=1,，N1，3，MN1,3，則實數(shù)m的值為（ ）（A） 4 （B）1 （C）4或1 （D）1或63、設(shè)復(fù)數(shù)則是是純虛數(shù)的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件4、設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件那么的最大值是（ ）（A）3 （B）4 （C） （D）5、復(fù)平面上的正方形的三個頂點表示的復(fù)數(shù)有三個為那么第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）6、集合ZZ，用列舉