圓錐曲線與平面向量交匯問(wèn)題

1、圓錐曲線與平面向量交匯問(wèn)題熱點(diǎn)透視由于平面向量具有代數(shù)（坐標(biāo)）表示和幾何（有向線段）表示的特點(diǎn)，這就使其成為表述圓錐曲線問(wèn)題的重要載體。圓錐曲線與平面向量的交匯問(wèn)題是近幾年各省市新課程高考考查的熱點(diǎn)之一，這類問(wèn)題往往與向量、函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)相融合，具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，能有效考查學(xué)生的思維水平和綜合能力。下面結(jié)合近幾年的部分高考題，介紹高考對(duì)這類問(wèn)題考查的六大熱點(diǎn)，供復(fù)習(xí)參考。熱點(diǎn)1求圓錐曲線的方程例1如圖1，A,B,C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓的中心，ACBC，|BC|=2|AC|，求橢圓的方程。xyACBO 思路：建系，設(shè)點(diǎn)C

2、的坐標(biāo)，將向量間的關(guān)系（垂直關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系）轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式，從而確定橢圓的方程。 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，橢圓方程為。設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,n).ACBC，AC .BC=0，即(m2, n) (2m,2n)=0， 圖1m22m+n2=0(*)|BC|=2|AC|，|CO|=|AC|，即將m=1代入(*)得，n=1，C(1,1). 將x=1，y=1代入橢圓方程得，. 故橢圓方程為例2已知OFQ的面積S=2, 且。設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)Q， ，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線方程。思路：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式，再求目

3、標(biāo)函數(shù)的最小值，從而確定雙曲線的方程。解：設(shè)雙曲線方程為， Q（x0, y0）。 ， SOFQ=，。 =c(x0c)=。當(dāng)且僅當(dāng)，所以。類型2求待定字母的值例3設(shè)雙曲線C：與直線L：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線L與y軸交于點(diǎn)P，且PA=，求的值思路：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，再利用韋達(dá)定理，通過(guò)解方程組求a的值。 解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA= x1=.聯(lián)立消去y并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)A、B是不同的兩點(diǎn)，0<a<且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=，即，消去x2得，=，a=，0<

4、;a<且a1，a=。類型3求動(dòng)點(diǎn)的軌跡例4如圖2 ，動(dòng)直線與y軸交于點(diǎn)A，與拋物交于不同的兩點(diǎn)B和C, 且滿足BP=PC， AB=AC，其中。求POA的重心Q的軌跡。思路：將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，消去參數(shù)獲得重心Q的軌跡方程，再運(yùn)用判別式確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，從而確定軌跡的形狀。ABCOPxy解：由得，k2x2+(2k1)x+4=0.由設(shè)P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （圖2）則x1+x2=, x1.x2=.由= = 由 =。 消去k得， x2 y6=0 (*) 設(shè)重心Q(x,y)，則，代入(*)式得，3x6y4=0。因?yàn)楣庶c(diǎn)Q的軌跡方程是3x6y4=0（），其

5、軌跡是直線3x6y4=0上且不包括點(diǎn)的線段AB。類型4證明定值問(wèn)題例5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，其中證明：為定值。思路：設(shè)A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系、和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再利用方程組、韋達(dá)定理、點(diǎn)在橢圓上滿足方程等證明定值。解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為代入橢圓方程中，化簡(jiǎn)得，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由 與共線，得，。又而于是。因此橢圓方程為設(shè)M(x, y), 由得，因M為橢圓上一點(diǎn)，所以 即 又，則 而代入得，=1，為定值。類型5探索點(diǎn)、線的存在性例6在

6、ABC中，已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D，ABC的垂心H分有向線段AD 設(shè)P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在點(diǎn)H，使成等差數(shù)列，為什么？思路：先將ACBH轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，由此獲得動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程；再將向量的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)（坐標(biāo)）關(guān)系，通過(guò)解代數(shù)方程組獲解。解： 設(shè)H(x, y), 由分點(diǎn)坐標(biāo)公式知H為垂心 ACBH，整理得，動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程為 。 ， ， 。假設(shè)成等差數(shù)列，則 即 H在橢圓上 a=2, b=, c=1，P、Q是焦點(diǎn)，即 由得， 聯(lián)立、可得，顯然滿足H點(diǎn)的軌跡方程，故存在點(diǎn)H（0，±），使成等差數(shù)列。類型6求相關(guān)量的取值范圍 例7

7、給定拋物線C：，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求l在軸上截距的變化范圍。思路：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再求出l在軸上的截距，利用函數(shù)的單調(diào)性求其變化范圍。解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，即 由得， 。 聯(lián)立、得，。而當(dāng)直線l垂直于軸時(shí)，不符合題意。因此直線l的方程為或直線l在軸上的截距為或由知，在上遞減的，所以 于是直線l在軸上截距的變化范圍是由上可見(jiàn)，解圓錐曲線與平面向量交匯題的關(guān)鍵是：設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將平面向量用坐標(biāo)表示，運(yùn)用相應(yīng)的平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則（加、減、乘、數(shù)乘向量）或運(yùn)算律或數(shù)量積的意義，將問(wèn)題中向量間的關(guān)系（相等、垂直、平行、和差、