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文檔簡介

1、習題2.1.18 記是全體無理數(shù)的集合，在實數(shù)集上規(guī)定子集族.（1）驗證是上的拓撲；（2）驗證滿足公理，但不滿足公理；（3）驗證是滿足公理的可分空間；（4）證明在上誘導的子空間拓撲是離散拓撲，從而是不可分的；（5）說明不滿足公理。證明：（1） 所以和都含在中 中任意多個成員的并集仍在中 中兩個成員的交集仍在中綜上所述：是上的拓撲 （2）任取一個有理數(shù)，則在中存在一個開鄰域 這樣我們就可以在中找到一個與不相交的開集，令有理數(shù) 則為的一個開鄰域 且 滿足公理 由題意可知是閉集， 如果是的任意一個開鄰域 因為為全集，所以的開鄰域總會與的開鄰域相交 因此在中，與不存在不想交的開鄰域，故不滿足公理（3）

2、，做的一組可數(shù)鄰域 則是的一個可數(shù)鄰域 對的任一開鄰域，為中開集 當充分大，所以是的一個可數(shù)鄰域基 說明滿足公理 顯然 ，的任一開鄰域 所以所以是的可數(shù)稠密子集，所以是可分的（4）設 是的開集 有是的開集 的每個子集都是的開集 是離散拓撲空間，不可數(shù) 從而是不可分的（5）假如滿足公理 公理具有遺傳性則也要滿足公理 空間是可分空間 則是可分的與不可分矛盾了 不滿足公理1.1.9 設和都是拓撲空間的子集，并且是開集.證明.證明：對，即且 令是的任一開鄰域 則也是的開鄰域 因為 所以 即 所以，所以1.1.10 設都是的閉集，并且.證明是的閉集是的閉集.證明： 有 又是的閉集 是的開集 從而是的開集

3、 是的閉集 因為是的閉集 故，存在的閉集，使，而 所以是的閉集（有限多個閉集的并還是閉集）1.1.13 設是中的一個序列.證明：存在正整數(shù)，使得當，.證明：顯然的 假設當時，不成立 那么可找到的無窮子序列， 為的一個開鄰域 因為 對的開鄰域 會 與矛盾 所以存在正整數(shù)，使得當，1.1.15 證明：是拓撲空間的稠密子集的每個非空開集與相交非空.證明：因為是的稠密子集 所以 故對，的每個開鄰域與都有交點 從而的每個非空開集與相交非空 因為的每個非空開集與相交非空 故對，的每個開鄰域與都有交點 所以，即 又因為，所以 所以是的稠密子集1.1.16 若是的稠密子集，是的稠密子集，則也是的稠密子集.證明：令是的任一非空開集 因為是的稠密子集 所以 從而是的非空開集 又因為是的稠密子集，則所以也是的稠密子集1.2.1 設是映射，證明下列條件互相等價：（1）是連續(xù)映射；（2）對的任何子集，；（3）對的任何子集，.證明：欲證 即，要有 設為的任一開鄰域 因為是連續(xù)映射 所以為開

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