動(dòng)點(diǎn)最值基本模型

1、動(dòng)點(diǎn)最值基本模型原創(chuàng)： 向北 向北數(shù)學(xué) 2018-05-14從合肥各區(qū)的?？季韥?lái)看，最值問題仍是2018中考第10或14題的熱門。本文以瑤海蜀山廬陽(yáng)二模卷中最值問題為例，對(duì)最值問進(jìn)行簡(jiǎn)要分類和例析，歡迎指正。一、最值類型1.飲馬型：即將軍飲馬型，通常為兩條線段之和的最值問題，利用對(duì)稱性質(zhì)將其中一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用兩點(diǎn)之間線段最短（或三角形三邊關(guān)系）得到結(jié)果。（本公眾號(hào)有“【解題模型】將軍飲馬”）2.小垂型：即小垂回家型，通常為一條線段的最值問題，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線，利用垂線段最短的性質(zhì)得到結(jié)果。3.穿心型：即一箭穿心型，通常為一條線段的最值問題，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓或弧，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得

2、到結(jié)果。（本公眾號(hào)有“一箭穿心，圓來(lái)如此一文”）4.轉(zhuǎn)換型：即一加半型，通常為一條線段與另一條線段一半的和的最值問題，即將那半條線段利用三角形中位線或30°的對(duì)邊等知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再利用飲馬或小垂或穿心。5.三邊型：即三角形三邊關(guān)系關(guān)系型，通常利用兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊求其最大（?。┲怠?.結(jié)合型：即以上類型的綜合運(yùn)用，大多為飲馬+小垂【如包河一模20題】【瑤海一模第10題】、小垂+穿心【如廬陽(yáng)二模第10題】、飲馬+穿心【如瑤海二模第10題】飲馬+轉(zhuǎn)換【如蜀山二模第10題】等二、分類例析一、飲馬型例1：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，CE=3, DE=1, 點(diǎn)P

3、在AC上，則PE+PD的最小值是_ .解析：如圖例2：如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為_.解析：如下圖二、小垂型例3：如圖，在RtABC中，C90°，AC8，BC6，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PDAC于點(diǎn)D，PECB于點(diǎn)E，連接DE，則DE的最小值為_.解析：如下圖三、穿心型例4：如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，ABC=120°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN翻折得到AMN，連接AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是_. 解析：如下圖四、轉(zhuǎn)換型例5:如圖

4、，P為菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且P到A、B兩點(diǎn)的距離相等，若C=60°，CD=4，則的最小值為_解析：因?yàn)镻到A、B兩點(diǎn)的距離相等，所以P 在AB的垂直平分線上，又因菱形ABCD中C為60°，所以ABD為等邊三角形，AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)D,如下圖由ADP=30度，可將PD的一半進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即過點(diǎn)P作AD的垂線。如圖，即B、P、F三點(diǎn)共線，且BFAD時(shí)最短 五、三邊型例6：如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為_

5、解析：如下圖因?yàn)锳B為定長(zhǎng)，所以取其中點(diǎn)E，則OE為定值，在ODE中，DE為定值，OE為定值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到OD的最大值。例7：如圖，已知ABC中，ACB=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D在AC上，且AD=6，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至AD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，連結(jié)CF，則線段CF的取值范圍.解析： 解法一：瓜豆原理，點(diǎn)F的軌跡為圓，一箭穿心便可以求出其取值范圍。解法二：如下圖，取AB的中點(diǎn)M，連接FM,CM，由斜邊上的中線等于斜邊的一半得CM為定值，由三角形中位線得FM為定值，所以在CFM中，三邊關(guān)系可得到CF的取值范圍.例8：如圖，BA=1，BC=2，以AC為一邊做正方形AE

6、DC，使E，B兩點(diǎn)落在直線AC的兩側(cè)，當(dāng)ABC變化時(shí)，求BE的最大值.解析：將AEB以點(diǎn)A中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ACB,如下圖所示，連接BB，所以BC=BE，在BBC中，BB為定值，BC為定值，三角形三邊關(guān)系即可得到BC的最大值，即BE的值.6. 結(jié)合型例9：如圖，正方形ABCD中，AB=4, E為CD邊的中點(diǎn)，F(xiàn)、G為AB、AD邊上的點(diǎn)，且AF=2GD, 連接E、DF相交于點(diǎn)P，當(dāng)AP為最小值時(shí)，DG=_解析：由AF=2GD，AD=2DE，得AFDDGE.如下圖GEDF, 那么線段AP中，A點(diǎn)為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，由DPE為直角，所以P的軌跡為一以DE中點(diǎn)為圓心的一段弧。如下圖由一

7、箭穿心可得到AP的最小值為A,P,M三點(diǎn)共線，而此時(shí)，由DMPFAP可得到AP=AF即可得到結(jié)果.三、?？挤治觥緩]陽(yáng)二模第10題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6,0),B(0,8),點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x的正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于點(diǎn)E、F，則線段EF的最大值為_如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(6,0),B(0,8),點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)D在x的正半軸上，且CD=6，以CD為直徑在第一象限作半圓，交線段AB于點(diǎn)E、F，則線段EF的最大值為_解析：線段EF由于半圓的變化而變化，所以應(yīng)將其作為弦的變化來(lái)看，而弦長(zhǎng)又與弦心距存在變量之間的關(guān)系，所以首先作

8、出弦心距.如下動(dòng)圖，所以當(dāng)PQ最小時(shí)，EF最大。方法一：穿心小垂（P點(diǎn)為以O(shè)點(diǎn)圓心，OP為半徑的弧上）求出OQ的最值，即PQ的最小值，再由勾股定理和垂徑定理可求得EF.方法二：三邊+小垂（三角形OPQ）求出OQ的最值解析：由拋物線解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，所以O(shè)AP=30°，如下圖【瑤海二模第10題】如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E,F分別為AD,DC邊上的點(diǎn)，且EF=2,點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn).則PA+PG的最小值為（ ）A.3 B.4 C.25 D.5解析：因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，EF=2，所以點(diǎn)G的軌跡為以D為圓心DG為半徑的弧， 【飲馬+穿心】即A，P，G，D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PG最?。≒A+PG=P