高中數(shù)學(xué)放縮法

高考專題放縮法

縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種特別重要的方法。在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化

繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，經(jīng)常出現(xiàn)放縮之后得不出結(jié)論或得出相反結(jié)

論的現(xiàn)象。因此，運(yùn)用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必需依據(jù)欲證結(jié)論，

抓住題目的特點(diǎn)。駕馭放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要依據(jù)不同題目的類型，采納恰到好處的放縮方法,

才能把題解活，從而培育和提高自己的思維和邏輯推理實(shí)力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力。

數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題能有效地考查學(xué)生

綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的實(shí)力.本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題經(jīng)常用到

放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和.

先求和后放縮

例1.正數(shù)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)的和S“，滿意2月=?！?1,試求：

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)2,數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)的和為紇，求證：B?<-

aa

?n+l2

解；(1)由已知得4s〃=(%+1-，”22時(shí)，4s,1=(/_]+1>,作差得：4%=端+2%--2%_],

所以(見(jiàn)+《1)(%—。,1-2)=0,又因?yàn)椋?“｝為正數(shù)數(shù)列，所以%—即｛%｝是公差為2的等差數(shù)

列，由2，^=4+1,得q=l,所以

(2)a=」一=-------5------=-(—1-------),所以

a?a?+l(2n-l)(2rt+l)22/i-l2n+l

注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式.假如此數(shù)列的前”項(xiàng)和能干脆求和或者通過(guò)變形后求和，則采納先求和再放縮

的方法來(lái)證明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列(這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列｛a,』滿意

條件/=/(〃))求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來(lái)求和.

二.先放縮再求和

1.放縮后成等差數(shù)列，再求和

例2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛”“｝的前”項(xiàng)和為S“,且=2S”.

22

a+a',+

(1)求證：Sn<"'

⑵求證：+-Js7+—卜—

7272

解：(1)在條件中，令〃=1,得=2s[=2囚，67,>0/.ax=1,又由條件。；+%=2S”有

*

+a?+l=25?+1,上述兩式相減，留意到an+l=S?+1-S?得

所以，%=1+1X(N_1)=〃，(丁)

+5+1)2_an

所以

24

77+1

(2)因?yàn)椤╒J幾(>+1)<1+1,所以巖V〈二月，所以

2.放縮后成等比數(shù)列，再求和

例3.(1)設(shè)m心2,證明：/“一(_0〃之3+1).Q〃；

2

(2)等比數(shù)列｛｝中，ax=--,前〃項(xiàng)的和為，且A7,4,A8成等差數(shù)列.設(shè)b“二烏一,數(shù)列｛｝前〃項(xiàng)

21-??

的和為，證明：<-.

3

解：⑴當(dāng)”為奇數(shù)時(shí),于是，a2n-(-a)n=an(an+l)>(a+i)-a".

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4—121,且Na?,于是

1

(2).4—Aq=+為，4—4=一49，4+為=—%,2-

3.放縮后為差比數(shù)列，再求和

例4.已知數(shù)列｛4｝滿意：q=l,=(1+F)%(〃=1,2,3…).求證:

證明：因?yàn)?n+l=(1+57)"〃'所以％+1與a“同號(hào)，又因?yàn)椋?1>0,所以4>0,

Yl

即可+1一%=即"八+1>"”,所以數(shù)列｛6,｝為遞增數(shù)列，所以a“Nq=l,

12〃一1

即6+1-勺——2na"N—2n,累加得：ciri‘2+22+…+2…

令S“=；+2n—\11]。1

H---F1,所以S=—+—+■■■+—,兩式相減得：

222”T222232"

生」+111n-\,所以S“=2-7勺2+1，所以*23-巴n4-*1,

22'23112，i2"

2〃2〃2"一|N2〃T

故得《用>%23-k?

4.放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和

例5.在加(機(jī)/2)個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…中，若IWiVJW機(jī)時(shí)〉(即前面某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱與構(gòu)成一

個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列5+1)〃(〃-1)…321的逆序數(shù)為，如排列21

的逆序數(shù)％=1,排歹U321的逆序數(shù)%=6.

(1)求“4、05，并寫(xiě)出的表達(dá)式;

(2)令6“+■，證明2〃<仇+Z?2+…6“<2”+3,1,2,—.

4+i4

n(n+1)

解(1)由已知得知=1°，％=15,。〃="+5—1)H---i-2+l=———.

/八卬jan*〃H+2_/n〃+2個(gè)一

(2)因?yàn)?_^-+-2±L=----+----->2-----------=2/=1,2,???，

an+]an〃+2nV〃+2n

所以々+&+…+。〃>2〃.

又因?yàn)閍=」一+巴*=2+±--—

714-2nnn+2

所以仇+兒+???+&?=2n+2[(---)+(---)+---+(-———)]

1324n〃+2

綜上，2n<h1+b2+????！?lt;2"+3,〃=1,2,?一.

111

注：常用放縮的結(jié)論：(1)-一一—----------<-<---------------(^>2)

kk+1k(k+1)k2k(k-Y)k-\k

⑵.2(-j=—-)=—=,"<—r=<-j=—；-=2(■：■—>2)

\kJ%+1yjk.+y/k+ly/k\k+-yjk—\J——1\k

常見(jiàn)高考放縮法試題

1.設(shè)｛a,,｝,｛2｝都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對(duì)隨意的正整數(shù)"，都有凡a,川成等差數(shù)列，”,a,山為3成等比

數(shù)列.

(1)試問(wèn)｛4｝是否成等差數(shù)列？為什么？

(2)假如4=1,4=0,求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”.

2.已知等差數(shù)列｛%｝中，a2=8,S6=66.

(I)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

21

(II)設(shè)勿=--------，7；=4+4+??.+2，求證：H—.

311

3.已知數(shù)列｛七｝中“=2，a?=2-----(〃》2,〃eN+),數(shù)列｛"｝,滿意a=----------(neN+)

(1)求證數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由；

(3)記S,,=4+打+-“+勿，求，崛出二'也.

S〃+i

4.己知數(shù)列｛｝中，a>0,且尸J過(guò)券，

(I)試求場(chǎng)的值，使得數(shù)列｛｝是一個(gè)常數(shù)數(shù)列；

(II)試求團(tuán)的取值范圍，使得〉對(duì)任何自然數(shù)n都成立；

(III)若a=2,設(shè)=|l(〃=1,2,3,…)，并以表示數(shù)列｛｝的前〃項(xiàng)的和，求證：〈』.

2

5.(1)已知：XG(O+oo),求證一--<In"I<:；

x+1xx

(2)己知：neN^ji>2,求證：一+』+…+'<[n〃<1+工+…+―—。

23n2n-1

6.已知〃eN*,各項(xiàng)為正的等差數(shù)列｛%｝滿意

%?%=21q+%=10，又?jǐn)?shù)列｛Ig^｝的前n項(xiàng)和是

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證數(shù)列低｝是等比數(shù)列；

(3)設(shè)%試問(wèn)數(shù)列｛%｝有沒(méi)有最大項(xiàng)？假如有，求出這個(gè)最大項(xiàng)，假如沒(méi)有，說(shuō)明理由。

7.設(shè)數(shù)歹ij｛%｝前項(xiàng)和為與，且(3—m)s〃+2/m〃=m+3(neN+),,其中m為常數(shù)w3.

⑴求證:是等比數(shù)列；

若數(shù)列｛%｝的公比(m),數(shù)列｛〃｝滿意仇1)(〃eN+,〃N2),求證：《一%為等差數(shù)列,求為.

2

8.已知數(shù)列｛6｝滿意：a,=1,?2=1,且[3+(-1)"]a?+2-2a?+2[(-1)"-1]=0,nwN*.

(I)求生,a4,a5,牝的值與數(shù)列5,J的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)a=a2n_x-a2n,求數(shù)列｛b“｝的前〃項(xiàng)和5?；

9.設(shè)數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，(〃eN),4(x)=sin-(x-a?),xe[a,a]滿意：對(duì)于隨意的

nnn+t

be[0,1),，(x)=b總有兩個(gè)不同的根。

(1)試寫(xiě)出y=/(x),并求出的；

(2)求a”“-a”，并求出[an]的通項(xiàng)公式;

(3)設(shè)S”=4—生+%—%+…+(―1)"'，求S“o

10.已知數(shù)列｛%｝,其前〃項(xiàng)和滿意S“+1=2/lS,+l(/l是大于0的常數(shù))，且a=1,死4.

(1)求4的值；

(2)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

(3)設(shè)數(shù)列｛〃%｝的前〃項(xiàng)和為，試比較g與的大小.

11.已知數(shù)列｛｝中，a1=1,%=*_]+」一(n=2,3,4,???)

an-i

(I)求。2、4的值;

()證明當(dāng)n=2,3,4,…時(shí)，y/2n-1<alt<y/3n-2

12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛Cln)滿意條件：①〃]+生+〃3+〃4+。5=121；②-1----1----1----1---=25,求｛〃〃｝

的通項(xiàng)公式％.

13.已知函數(shù)f(x)=log3(+b)圖象過(guò)點(diǎn)4(2,1)和6(5,2).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)記4=3”,),〃eN*,是否存在正數(shù)4,使得(1+少0+

均成立，若存在，求出力的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.已知曲線C：y=L,C“：y=—5—(〃eN*)。從C上的點(diǎn)。“(x”,打)作x軸的垂線，交C”于點(diǎn)P”，

xx+2"

再?gòu)狞c(diǎn)E,作y軸的垂線，交C于點(diǎn)(x?+1,y川),

設(shè)$=l,a?=x?+1-x?,b?=y,「yn+l.

(I)求Q1,。2的坐標(biāo)；

()求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

()記數(shù)列｛明也,｝的前"項(xiàng)和為S,,,求證：s“<-

1.由題意，得2斤=%+4,用，(1)

(2)

(1)因?yàn)?>0也>0,所以由式(2)得見(jiàn)+產(chǎn)〃也+1，從而當(dāng)“N2時(shí)，a,,=b吁也,

代入式(1)得28=6,,_也,+6也打

即如“=〃-+〃+/〃22),故也｝是等差數(shù)列.

,式(2),易得出=3,&=|5/2,

(2)由q=l,4=與式(1)2

因此也｝的公差d=當(dāng)，歷

從而“=仇+(”-1)4=+

得%=g(〃+l)(〃+2)

(3)

[“=勺

又4=1也適合式(3),得

所以?=2=2己-

H+1J

an+\n

(、-

從而5“=2(1-撲1-，[+...+」=2-

3)nnIn+lyn+1

<d.

4+d=8

>6Z|—6,d=2

2.解：(I)|6a,+—(/=66-

1*2

an=2力+44

T111、1

而--是遞增數(shù)列，:.T>L=----=—>—.

[2〃+2jn,2366

3.(1)Z7===%

4T2%一]

an-\~1

而b.=——-——，

｛a｝是首項(xiàng)為4=」一=一9,公差為i的等差數(shù)歹u.

ax-12

(2)依題意有凡一1二(,而4=—g+(〃—l)?l=〃—3.5,

對(duì)于函數(shù)了=------,在x>3.5時(shí)，y>0,y'vO,在(3.5,+8)上為減函數(shù).

x-3.5

故當(dāng)〃=4時(shí)，氏=1+―1—取最大值3

77-3.5

而函數(shù)>=―'—在xV3.5時(shí)，y<0,y'=-------1~-<0,在(一8,3.5)上也為減函數(shù).

x-3.5(x-3.5)-

故當(dāng)〃=3時(shí)、取最小值，a3=-1.

/八/52幾一5、

<3)5?，b=n-3.5,

+1―T~n

+冊(cè)

4.(I)欲使數(shù)列｛｝是一個(gè)常數(shù)數(shù)列，則?3

(〃22)

留意到+后衛(wèi)＞0

因此，可以得出：1一，一T,-1--2,…，色一向有相同的符號(hào)7'

要使D對(duì)隨意自然數(shù)都成立,只須也一句＞0即可.

由欄口一佝＞0,解得：O〈a〈T

(III)用與(H)中相同的方法，可得

當(dāng)a)之時(shí)，〈對(duì)任何自然數(shù)〃都成立.

2

因此當(dāng)句二2時(shí)，L＜0

氏+…

2-國(guó)|+3-刈|+…+|—

1一念+色—國(guó)+…H—?

i--1-2-1

又:尸價(jià)￡”可解得哆

31

故<2一士二一

22

5.(1)令1H——t>由x>0,，t>l,x=-----

xt-\

原不等式等價(jià)于1一！<inf<r—l

令f(t)L

=1當(dāng)fe(l,+00)時(shí)，有尸(。>0,.?.函數(shù)f(t)在fe(l,+oo)遞增

t

.\f(t)>f(l)即1<

另令g(r)=lnr—l+；,則有“?)=*>o

g(t)在(l,+00)上遞增,，g(t)>g(l)=O

/占1/口1.x+11

綜上得----<In----<一

元+1xx

（2）由（1）令1,2,……（1）并相加得

即得—I--F…H—<In<1H---1—?+

6.(1)〃2+4=〃3+。5=1°，又。2'〃6=21

=3%=7

=74=3

氏二7

-r，則。〃=9一〃，4（）=-1與可＞。沖突;

以二3

(2)lgbx=Sj=21g3,/.bj=9,

當(dāng)〃22時(shí)，lg〃=S“—Sz=lg9x[K),歐.-.2=9x

〃=1時(shí)，bn=9=b｝f:,bn=9x1^—^,neN*

9

數(shù)列是以9為首項(xiàng)，二為公比的等比數(shù)列。

10

(3)1=9(〃+1“卡),設(shè)/(ZN2)是數(shù)列匕｝中的最大項(xiàng)，則

由，可得84后<9

lQ2T

二數(shù)列｛q,｝有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是％=G=8以(得)o

7.(1)由(3-m)sn+2man=m+3得(3-rn)sn+x+2man+x=加+3,

｛%｝是等比數(shù)列。

2m

(2)4=4=l,q=f(m)=-----neNn>2

771+3

（I）經(jīng)計(jì)算々3=3,%=；,4=5,。6=".

8.

當(dāng)正為奇數(shù)時(shí)，〃?2=%+2，即數(shù)列｛勺｝的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,

當(dāng)n為偶數(shù)，an+2=；/,即數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,

n(〃為奇數(shù))

因此，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=,1

《)2(〃為偶數(shù))

S?=1?1+3.(1)2+5.(1)3+..?+(2n-3).+(2n-1).(1)z,……(1)

gs〃=1.(；-+3?(夕+5.(g)4+???+(2〃-3).(g)〃+(2〃一l).(g嚴(yán)…⑵

⑴、(2)兩式相減，

得gs〃=l,；+2[g)2+(g)3H----F(^)H|—(2n-1)-(~)'+，

9.(1)9%=0,當(dāng)幾=1時(shí),f｛(x)=\sin(x-flj)|=|sinx|,xe[O,a2],

又???對(duì)隨意的匕￡[0』)，力(x)=b總有兩個(gè)不同的根，J%=〃

1]x

由(1),f2(x)=|sin—(x-a2)1=1sin—(x-^)|=|cos^]4,/]

???對(duì)隨意的Z?e[0,l),j\(x)=b總有兩個(gè)不同的根，???生=34

f3(x)=|sin-(x-6z3)|=|sing(x-34)|=|sing4|,xc[3乃MJ

??,對(duì)隨意的。￡[0,1),工(幻=人總有兩個(gè)不同的根，???%=64

mn(n-\)7i

由此可得an+l-an=n7r,an=-------

(1)當(dāng)〃=2k,keZ,S?&=卬一生+。3一。4+....+aik-\-a2k

wc,1,"?！恪?24+1)2&(n-l)(n+1)

當(dāng)〃=2%+1,Z￡Z,Szk+\=S2k+a2k+l=-k~7v-\----------冗=------------n

10.(I)解：由=2入〃+1得

()由s?+1=2Sn+1整理得Sz+1=2(S“+1),

???數(shù)列｛Sa+1｝是以Si+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

?.?當(dāng)1時(shí)a,=l滿意凡=2'-',：.an=2"-'.

①一②得一7；=1+2+22+…+2"<+2"T一〃-2",

則7；=〃?2"—2"+1.

.?.當(dāng)1時(shí)，^-5,=—工<0,當(dāng)〃=2時(shí)，4―S,=--<0.

2222

即當(dāng)1或2時(shí)，g-S“<O,g<S”.

當(dāng)〃>2時(shí)，"一S">0,">S0.

22

11.(I)=1+1=2,

%

131”分

（）當(dāng)k=2,3,4,5,…時(shí)，

12.設(shè)等比數(shù)列的公比為s由已知條件,

Q

3〃32

-2

qH—F%+〃3夕+%q121①

J

得rq

-2

￡

q111

4

H---T-H.....-d--------1--------=25.②

3

a'aa3qQ3g-

①+②得：a,,所以a3=—.①X②，得/+4+1+工+」=55,

255qq~

即(4+,)2+(4+3—56=0.夕+l=7或q+'=—8.(舍去)

qqqq

,17±3A/5

由qH—=7得：g~2—7q+l=0q=-------

Q2

[…+尸解得/a=2,

13.（1）由己知，得＜

10g3(5a+b)=2/?=—!?

,og3(2/:-,)

(2)atl=3=2/?-l.nGN*

設(shè)存在正數(shù)k,使得(1+‘)(1+-!-)……(1+—)>k[2n+l對(duì)一切neN*均成立,

?1?2??

則k<_1—(1+—)(1+—)?(1+—).記F(n)=>1一

(1H—)(1+—)????

V2n+16a2an<2/1+1

-(1+—),則尸(〃+1)=l=(1+—)(1+—).?…(1+—)(1+—).

V2Tl+3Q]a2an"同

F（n+l）＞F（n）,/.尸（刀）是隨〃的增大而增大,

2/3

〃EN*,???當(dāng)〃=1時(shí)，F(xiàn)(/z)min=F(l)=^

k＜-,即4的最大值為馬叵.

33

232

14.（1）由題意得知0a」），＜（1，§），e2（p-）

（2）???Q〃（z，y〃），?！?］（%—，4+］），點(diǎn)匕的坐標(biāo)為（x〃，％+i）

???Q3在曲線c上…“U，Y

又P“在曲線C“上，y,m=-1—

Xa+2

x分

()X"=(x?-%?_1)+(x?_,-x?_2)++(x2-X])+]7

例題講解部分

2

1.【2008年湖南理】已知函數(shù)/(x)=ln2(l+x)-上一.

1+x

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若不等式(l+L)"+a〈e對(duì)隨意的〃eN*都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

n

求〃的最大值.

解：(I)函數(shù)/(X)的定義域是(—1,+8),

設(shè)g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,則g'(x)=2In(l+x)—2x.

2-2x

令〃(元)=21n(l+x)-2x,則h'(x)=------2=----.

i+x1+x

當(dāng)一1vxv0時(shí)，hr(x)>0,h(x)在(一1,0)上為增函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，hf(x)<0,〃(x)在(0,+8)上為減函數(shù).

所以〃。)在工=0處取得極大值，而/i(x)=0,所以g'(x)v0(xw。)，

函數(shù)g(x)在(-1,+8)上為減函數(shù).

于是當(dāng)一1cx<0時(shí)，g(x)>g(0)=0,

當(dāng)%>0時(shí)，g(元)vg(0)=0.

所以，當(dāng)一IvxvO時(shí),r(無(wú))>0,/(此在(一1,0)上為增函數(shù).

當(dāng)無(wú)>0時(shí)，ff(x)<0,/(%)在(0,+8)上為減函數(shù).

故函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8).

(II)不等式(1+工)""4e等價(jià)于不等式(〃+a)]n(l+1)41.由1+,>1知，

nnn

設(shè)G(x)=,/、-L,xw(0,l],則

ln(l+x)x

2

由(I)知，lia+x)--匚40,即(l+x)ln2(l+x)-fwo.

1+x

所以6'。)<0,8?0,|],于是6*)在(0,1]上為減函數(shù).

故函數(shù)G(x)在(0,1]上的最小值為66=+一1.

所以a的最大值為「--1.

In2

1—x

2.山東省日照市2009屆高三模擬考試數(shù)學(xué)理科試題已知a>0,函數(shù)/(x)=—+lnx.

ax

(I)試問(wèn)在定義域上能否是單調(diào)函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(II)若/(X)在區(qū)間[1,+00)上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

（Ill）當(dāng)a=l時(shí)，設(shè)數(shù)列的前”項(xiàng)和為S“，求證：5“一1<八〃）—匕4<5,1（〃€/7*且〃22）

\nJn

（i）y（x）的定義域?yàn)椋╫,”o）,尸（%）=竺二，由r（x）=o得x=L......2分

解：ax~a

當(dāng)％￡（4,L）時(shí)，f\x）<0,/（X）遞減：

a

當(dāng)xe（±+8）時(shí)，f\x）>0,/（x）遞增.

a

所以y=/（%）不是定義域上的單調(diào)函數(shù)......................4分

（II）若/（幻在［L+O0）是單調(diào)遞增函數(shù)，貝1」/'（幻之0恒成立，即。恒成立.

X

.......................6分

即aN｛」｝max,XG［1,+OO）<1,\a>l............8分

(III)當(dāng)。=1時(shí)，由(II)知，/(x)=—^+lnx在工+o。)上為增函數(shù)，

x

1-r1

又當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>/(I),-----Flnx>0,即lnx>l——.

xx

令g(x)=%—1-Inx,則g'(x)=l——,當(dāng)％￡(l,+oo)時(shí)，gr(x)>0.

x

從而函數(shù)g（x）在［1,+00）上是遞增函數(shù)，所以有g(shù)（x）>g（l）=0,即得x-l>Inx

綜上有：1-—<lnx<x-l,(.v>1)........................10分

x

x+1xx

令1=1,2,…，〃-1,(〃wN*且〃22)時(shí)，不等式」一<In上也<也成立,

X+1XX

于是代入，將所得各不等式相加，得

111,111

即nn1--F...H<InH.V1H---F...H-----.

23n2n—\

1—iq

即S?-l<f(n)-----<S,I(〃eN*且〃>2)....................14分

n

3.2009屆山東省德州市高三第一次練兵（理數(shù)）已知函數(shù)/（乃=/-。111》在（1,2］是增函數(shù)，8*）=》-。正在

（0,1）為減函數(shù).

（1）求/（尤）、g（x）的表達(dá)式；（2）求證:當(dāng)1>0時(shí)，方程/（x）=g（x）+2有唯一解;

（3）當(dāng)6>-1時(shí)，若/（無(wú)）22加-匕?在xG（0,“內(nèi)恒成立，求b的取值范圍.

解：(1)f\x)=2x--,依題意/'(%)>0,%￡(1,2],即a<2x2,xe(l,2].

x

;上式恒成立,Aa<2①...................1分

又g'(x)=1%=，依題意g'(x)<0,XG(0,1),即a>2A/X,xG(0,1).

上式恒成立,/.67>2.②...................2分

由①②得。=2.3分

/(x)=x2-2Inx,g(x)=x-2yfx........................................4分

(2)由(1)可知，方程/Cx)=g(x)+2,即r—21nx—x+2五一2=0.

設(shè)〃(x)=x2-21n元一人+2?—2,則〃'(x)=2x-------14--^-,

xVx

令〃'(x)>0,并由x>0,得-l)(2xVx+2x+Vx+2)>0,解知x>1.............5分

令〃(幻v0,由%>0,解得Ovxvl..............................................6分

列表分析:

X(0,1)1(loo)

〃'(x)-0+

力(X)遞減0遞增

可知/i(x)在x=1處有一個(gè)最小值0,.......................................7分

當(dāng)x>()Hx*1時(shí),〃(x)>0,

???/i(x)=0在(08)上只有一個(gè)解.

即當(dāng)x>0時(shí)，方程/(%)=g(x)+2有唯一解.........................8分

??2

(3)設(shè)夕(%)=f_21nx-2Z?x+—?jiǎng)t0(幻=2%-------2b——-<0,...............9分

X"XX'

??.以工)在(0,1］為減函數(shù).??°(x)min=。⑴=1-2〃+120又b>7...........11分

所以：一1<人41為所求范圍....................12分

1—x

4.山東省試驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第三次診斷考試(數(shù)學(xué)理)已知函數(shù)/(x)=±」+lnx(注：ln2=0.693)

ax

(1)若函數(shù)/(x)在[1,+8)上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，若直線y="與函數(shù)y=/(x)的圖象在[；,2]上有兩個(gè)不同交點(diǎn),

求實(shí)數(shù)〃的取值范圍:

(3)求證：對(duì)大于1的隨意正整數(shù)幾111〃〉工+1+1+”?+，

234n

1—Xax—1

解：(1)因?yàn)閒(x)=--+in所以/(%)=絲h(4>0)

axax~

—I

依題意可得，對(duì)Vx€[1,+00)./'(x)=絲一>0恒成立，

ax~

所以對(duì)Vxe[l,+oo)4xTN0恒成立，

所以對(duì)立6[1,+8),。之,恒成立，a>(-)max,即aNl

XX

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/'(x)=J^■，若,/'(x)WO,/(x)單調(diào)遞減；

x2

若xe[1,2]./'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

故f(x)在x=1處取得微小值，即最小值/(1)=0

又/(g)=l—ln2,/(2)=ln2—；,

所以要使直線y=b與函數(shù)y=/(x)的圖象在[；,2]上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

實(shí)數(shù)b的取值范圍應(yīng)為(/⑴"(2)],即0』n2—J；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，由⑴可知，/(》)=上三+也光在[1,+8)上為增函數(shù)，

X

n

當(dāng)〃>1時(shí)，令％=——,則x>l,故/(x)>/(l)=0,

n-\

z?〃、n—1.〃1?〃rrrii〃1

即nnf(z----)=------------FIn-----=-----FIn--------->M0Hr以In------>—.

n-\〃n-\nn-\n-\n

n—\

」」,后」』—Q1

故1>—

122334n-\n

_,-r/日,2,3.4,,n1111

相力LI口丁得In—FIn—FIn—|■???+In----->—i----1----F...H—

123n-1234n

234n234n

又因?yàn)镮n—+ln—+ln—+??++ln-----=ln(---------???------)=Inn

123〃-1123n-\

所以對(duì)大于1的隨意正整書(shū)〃,ln〃>L+l+L+…+工

234n

5.山東省煙臺(tái)市2009屆高考適應(yīng)性練習(xí)(二)理綜試題數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S“為其前〃項(xiàng)和,

對(duì)于隨意“eN*,總有成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列他)的前〃項(xiàng)和為7；,且勿=里=，求證：對(duì)隨意實(shí)數(shù)xe(l,e](e

%

是常數(shù)，e=2.71828...)和隨意正整數(shù)〃，總有7；<2；

n+l

(3)在正數(shù)數(shù)列｛c“｝中，??+1=(c?),(?eN,).求數(shù)列｛%｝中的最大項(xiàng).

解：由已知：對(duì)于“wN*,總有2sli=4+七成立…(1)

2S“_|=a,-+a；」(〃22)...(2)..................................................1分

(1)—(2)得.?.2勺=q+片-%一。3

？，〃〃-1均為正數(shù)，-<*an-an-\=1(〃22)

??.數(shù)列｛2｝是公差為1的等差數(shù)列.............................3分

又〃=1時(shí)，2S1=%+〃；，解得q=l

an=n(n￡N*)..................................................................................5分

(2)證明：對(duì)隨意實(shí)數(shù)xe(l,e]和隨意正整數(shù)"，總有……6分