偏微分方程和一階線性偏微分方程解

1、第一章 偏微分方程和一階線性偏微分方程解本章介紹典型的幾個偏微分方程。給出了最簡單的偏微分方程（一階線性偏微分方程）解的特征線方法。典型的偏微分方程：擴散方程，；波動方程，。這是本課程討論的主要兩類方程。偏微分方程的各類邊值條件也是本章討論的一個重點。1.1 一維空間中的偏微分方程例1 （剛性污染流的方程） 假設(shè)均勻直線管道中的水流含污染物質(zhì)的線密度是（即處在時刻的污染物的密度）。如果流速是，問題：滿足什么樣的方程？解 如圖，在內(nèi)的流體，經(jīng)過時間，一定處于。所含污染物應(yīng)相同，即，由此，從而，?！綞nd】可見偏微分方程是一個至少為兩元的函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程。例2 （擴散方程） 假設(shè)水流靜止

2、，在時間內(nèi)，流經(jīng)處的污染物質(zhì)（不計高階無窮?。┡c該處濃度的方向?qū)?shù)（濃度變化）成正比，比例系數(shù)為：，所以，在時間段內(nèi)，通過的污染物為。在時刻和，在內(nèi)的污染物分別為和，由物質(zhì)守恒定律由，的任意性，再由，的任意性，?！緀nd】例3 （弦振動方程）假設(shè)（1）弦的兩端固定（非本質(zhì)的假設(shè)），弦長為，線密度為；（2）外力作用下在平衡位置附近作微小的垂直振動；（3）弦上各點張力方向與弦的切線方向一致，大小服從Hooke定律。問題：建立滿足的方程。解 選定弦的一段，（此處），考慮其在時間段內(nèi)的運動情況。點處的張力記為。沿水平方向合力為；沿垂直方向合力為。顯然，水平方向合力為零（假設(shè)2：弦只在垂直方向有運動），

3、即。垂直方向合力為。由牛頓第二運動定理，因此。記，則得到標準的波動方程，。注：如果弦上有外力作用，則，記，則非齊次的波動方程為?！緀nd】1.2 平面和空間上的偏微分方程例1 （三維空間中的擴散方程）假設(shè)污染流體充滿三維空間的某區(qū)域，是其密度。任取簡單區(qū)域，相應(yīng)的邊界。假設(shè)，在時間內(nèi)，流出的流與密度關(guān)于處的法向?qū)?shù)成正比，即，因此在流出曲面的流量為；同時，該區(qū)域在的流量變化又可表示為。利用守恒定律和時間的任意性，。由高斯公式推論，所以。由的任意性，?！緀nd】熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)類似。例2 （二維膜振動方程）均勻鼓膜上任意截取區(qū)域，在平面上的投影為。作用于的張力的垂直分量近似等于沿的法向張力。因此垂

4、直方向總合力為。由此，由二維的高斯公式，。因此，這里。【end】1.3 方程的初始和邊界條件對常微分方程，要完全確定方程的解就必須知道初始條件。而對偏微分方程，還必須給定適當?shù)倪吔鐥l件。以弦振動問題而言，方程是在弦之內(nèi)部的點滿足的條件，邊界可能是固定的，也可能自由的，等等。假如邊界是，則可能的條件：1），（固定邊界）（Dirichlet 條件）2），（在端點的垂直方向自由滑動），或更一般（Neumann條件）3）（弦的一端固定在彈性支承上）（Robin條件）在高維空間，相應(yīng)的邊界條件為1）Dirichlet 條件：（是邊界）2）Neumann條件：3）Robin條件：1.4 一階線性偏微分方程

5、解的特征線方法對一階齊次線性偏微分方程，從幾何觀點看，如果滿足該方程，則由函數(shù)確定的平面上的向量場，與方程系數(shù)構(gòu)成的向量場正交。稱由向量場作為切向所確定的曲線為方程的特征線。 例如，當，為常數(shù)，則過任意給定的點的特征線為直線，方程為。之所以稱其為特征線，是因為沿該直線函數(shù)取常數(shù)值。以為常數(shù)為例，特征線上的任意一點可表示為，其中是參數(shù)，由此，即。利用特征線的該性質(zhì)，在給定適當?shù)某跏蓟蜻吔鐥l件后就可確定方程的解。例1 求解方程。解 特征線，即，沿該直線，是常數(shù)。所以，或?qū)憺?。【end】例2 求解方程。解 特征線方程，其解為。所以，或?！緀nd】例3 （流方程的解）考慮一端具有穩(wěn)定的流速的無限長管道的流，解 特征線方程，過的特征線。所以，。當時，；當時，。所以，方程的解為?！緀nd】第一章 習題1. 對平面擴散方程，若