專訓(xùn)一證比例式或等積式的技巧

1、專訓(xùn)一：證比例式或等積式的技巧名師點(diǎn)金：證比例式或等積式，若遇問題中無平行線或相似三角形時(shí)，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到等比例線段；若比例式或等積式中的線段分布到兩個(gè)三角形或不在兩個(gè)三角形中，可嘗試證這兩個(gè)三角形相似或先將它們轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形中再證其相似，若在兩個(gè)明顯不相似的三角形中，可運(yùn)用中間比代換 構(gòu)造平行線法1如圖，在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：AE·CFBF·EC.(第1題) 構(gòu)造相似三角形法2如圖，已知ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長線上有一點(diǎn)E，且ADCE，DE交AC于點(diǎn)F，試證明：AB·DFBC&

2、#183;EF.(第2題)3如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.求證：BP·CPBM·CN.(第3題) 三點(diǎn)定型法4如圖，點(diǎn)D，E分別是ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，A35°，C85°，AED60°.求證：AD·ABAE·AC.(第4題) 等比過渡法5如圖，CE是RtABC斜邊上的高，在EC的延長線上任取一點(diǎn)P，連接AP，作BGAP于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)D.求證：CE2DE·PE.(第5題)專訓(xùn)二：巧用“基本圖形”探索相似條件名師點(diǎn)金：幾何圖形大多數(shù)由基本圖形復(fù)

3、合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速、準(zhǔn)確識(shí)別相似三角形，從而順利找到解題思路和方法；相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖：(1)平行線型(2)相交線型(3)子母型(4)旋轉(zhuǎn)型 平行線型1如圖，在ABC中，BE平分ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EDBC交AB于點(diǎn)D.(1)求證：AE·BCBD·AC；(2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的長(第1題) 相交線型2如圖，點(diǎn)D，E分別為ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)O，且，試問ADE與ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由(第2題) 子母型3如圖，在ABC中，BAC90°，ADBC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED的延

4、長線交AB的延長線于點(diǎn)F.求證：.(第3題) 旋轉(zhuǎn)型4如圖，已知DABEAC，ADEABC.求證：(1)ADEABC；(2).(第4題)專訓(xùn)三：利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點(diǎn)金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法 證明兩線段的數(shù)量關(guān)系1如圖，已知在ABC中，DEBC，BE與CD交于點(diǎn)O，直線AO與BC邊交于點(diǎn)M，與DE交于點(diǎn)N.求證：BMMC.(第1題) 證明兩線段的位置關(guān)系類型1證明兩線段平行2如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一點(diǎn)，連接CD，D

5、ECD，DECD，連接CE，AE.求證：AEBC.(第2題)類型2證明兩線垂直3在ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AC2AB·AD，BC2BA·BD，求證：CDAB.(第3題)4如圖，已知矩形ABCD，ADAB，點(diǎn)E，F(xiàn)把AB三等分，DF交AC于點(diǎn)G，求證：EGDF.(第4題)專訓(xùn)四：巧作平行線構(gòu)造相似三角形的技巧名師點(diǎn)金：解有關(guān)相似三角形題目時(shí)，常常遇到要證(或求)的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形時(shí)，我們通?？梢宰髌叫芯€構(gòu)造出相似三角形，從而使問題得以解決 巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形1如圖，在ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，

6、BD分別交AE，AF，AC于點(diǎn)P，Q，D，求BPPQQD.(第1題) 過頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形2如圖，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BFAF32，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，求BEEC的值(第2題)3如圖，過ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E.求證：AEED2AFFB.(第3題) 過一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形4如圖，在ABC中，ABAC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使ADAE，直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)P.求證：.(第4題)專訓(xùn)五：圖形的相似中的五種熱門考點(diǎn)名師點(diǎn)金：相似是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一

7、，而對(duì)于成比例線段、相似三角形的判定與性質(zhì)、位似圖形等都是命題的熱點(diǎn) 比例線段及性質(zhì)1下列各組長度的線段，成比例線段的是()A2 cm，4 cm，4 cm，8 cmB2 cm，4 cm，6 cm，8 cmC1 cm，2 cm，3 cm，4 cmD2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm2若0，則_.3如圖，樂器上的一根弦AB80 cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C到端點(diǎn)A的距離約為_(2.236，結(jié)果精確到0.01)(第3題) 平行線分線段成比例4如圖，若ABCDEF，則下列結(jié)論中，與相等的是()A. B. C. D.(第4題)(第5

8、題)5如圖，在RtABC中，ACB90°，ABC60°，以AC為邊向三角形外作正方形ACDE，連接BE交AC于F，若BF cm，則EF_.6如圖，在ABC中，AMMD41，BDDC23，求AEEC的值(第6題) 相似三角形的性質(zhì)與判定7已知ABCDEF，若ABC與DEF的相似比為34，則ABC與DEF的面積之比為()A43 B34C169 D916(第8題)8在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AEED31，CE的延長線與BA的延長線交于點(diǎn)F，則SAEFS四邊形ABCE為()A34 B43C79 D979若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為14，周長之差為6，則這兩個(gè)相似多邊形

9、的周長分別是_10如圖，ABC是直角三角形，ACB90°，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F.(1)求證：FD2FB·FC；(2)若FB5，BC4，求FD的長(第10題)11如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，BE平分DBC交DC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的延長線上一點(diǎn)，且CECF，BE的延長線交DF于點(diǎn)M.(1)求證：BMDF；(2)若正方形ABCD的邊長為2，求ME·MB.(第11題) 相似三角形的應(yīng)用12一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測(cè)量一路燈的高度CD.如圖，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與影子長AE

10、正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB1.25 m，已知李明直立時(shí)的身高為1.75 m，求路燈的高度CD.(結(jié)果精確到0.1 m)(第12題)13某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BACD，BC20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm，8 cm.為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF的長應(yīng)為多少？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì))(第13題) 圖形的位似(第14題)14如圖，已知正方形ABCD，以點(diǎn)A為位似中心，把正方形ABCD的各邊縮小為原來的一半，得正方形A

11、BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_15如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)O和ABC的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作ABC和ABC位似，且相似比為12；(2)連接(1)中的AA，求四邊形AACC的周長(結(jié)果保留根號(hào))(第15題)答案專訓(xùn)一1證明：過點(diǎn)C作CMAB交DF于點(diǎn)M，CMAB，.CMFBDF.又CMAD，.D為AB的中點(diǎn)，.即AE·CFBF·EC.2證明：過點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，.DGFECF，ADGABC.，.ADCE，.即AB·DFBC·EF.點(diǎn)撥：過某一點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出“A”型或“X”

12、型的基本圖形，通過相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成線段的比，從而解決問題(第3題)3證明：如圖，連接PM，PN.MN是AP的垂直平分線，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等邊三角形，BC1360°.2460°.56120°.又67180°C120°.57.BPMCNP.，即BP·CPBM·CN.4證明：A35°，C85°，B180°AC180°35°85°60°.AED60°，AEDB.又AA，ADEACB.，即AD·ABAE·

13、AC.5證明：BGAP，PEAB，AEPBEDAGB90°.PPAB90°，PABABG90°.PABG.AEPDEB.即AE·BEPE·DE.又CEAB，ACBC，CEABEC90°且CABACE90°，CABCBE90°.ACECBE.AECCEB.，即CE2AE·BE.CE2DE·PE.專訓(xùn)二1(1)證明：EDBC，.A是公共角，ADEABC.BE平分ABC，DBEEBC.EDBC，DEBEBC.DBEDEB.DEBD.，即AE·BCBD·AC.(2)解：設(shè)hADE表示

14、ADE中DE邊上的高，hBDE表示BDE中DE邊上的高，hABC表示ABC中BC邊上的高SADE3，SBDE2，.ADEABC，.DE6，BC10.2解：相似理由如下：容易看出ADE與ABC是相交線型基本圖形中的兩個(gè)三角形A為公共角，BOECOD，DOECOB，BOECOD，DOECOB.EBODCO，DEOCBO.ADEDCODEO，ABCEBOCBO.ADEABC，ADEABC.3證明：BAC90°，ADBC于點(diǎn)D，BACADB90°.又CBAABD(公共角)，ABCDBA.，BADC.ADBC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，DEECEA.BDFCDEC.BDFBAD.又FF，

15、DBFADF.(第3題)技巧點(diǎn)撥：當(dāng)所證等積式或比例式運(yùn)用“三點(diǎn)定型法”不能定型或能定型而不相似，條件又不具備等線段時(shí)，可考慮用中間比“搭橋”，稱為“等比替換法”，有時(shí)還可用“等積替換法”，如圖，在ABC中，ADBC于點(diǎn)D，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，求證：AE·ABAF·AC，可由兩組“射影圖”得AE·ABAD2，AF·ACAD2，AE·ABAF·AC.4證明：(1)DABEAC，DAEBAC.又ADEABC，ADEABC.(2)ADEABC，.DABEAC，ADBAEC.專訓(xùn)三1證明：DEBC，NEOMBO，ENOBMO.NE

16、OMBO.同理可得.DEBC，ANEAMC，AENACM.ANEAMC.同理可得，.MC2BM2.BMMC.2證明：過點(diǎn)C作COAB于點(diǎn)O，DECD，DECD，ECDCED45°.ACB90°，ACBC，CABB45°.CABCED.又AOCEDC90°，ACOECD.又ACEECOOCDECO45°，ACEOCD.ACEOCD.CAECOD90°.又ACB90°，CAEACB180°.AEBC.3證明：AC2AB·AD，.又AA，ACDABC.ADCACB.又BC2BA·BD，.又BB，BCD

17、BAC.BDCBCA.ADCBDC.BDCADC180°，ADCBDC90°.CDAB.4證明：設(shè)AEEFFBADk，則ABCD3k.CDAB，F(xiàn)AGDCG，AGFCGD.AFGCDG，.設(shè)FG2m，則DG3m，在RtAFD中，DF2AD2AF25k2，DFk.DFFGDG2m3m5m.5mk.mk.FGk.，.又AFDGFE，AFDGFE.EGFDAF90°.EGDF.專訓(xùn)四1解：連接DF，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BEEFFC.D是AC的中點(diǎn)，ADCD.DF是ACE的中位線DFAE，且DFAE.DFPE.BEPBFD，BPEBDF.BEPBFD.BF2B

18、E，BD2BP.BPPD.DFAE，APQFDQ，PAQDFQ.APQFDQ.設(shè)PEa，則DF2a，AP3a.PQQDAPDF32.BPPQQD532.2解：過點(diǎn)C作CGAB交AE的延長線于點(diǎn)G.CGAB，DAFG.又D為CF的中點(diǎn)，CDDF.在ADF和GDC中，ADFGDC(AAS)AFCG.BFAF32，ABAF52.ABCG.BECG，BAEG.ABEGCE.3證明：過點(diǎn)B作BNCF交AD的延長線于點(diǎn)N.，ECDNBD.又CDEBDN，EDCNDB.BDCD，EDDNEN.AEED2AFFB.4證明：過點(diǎn)C作CFAB交DP于點(diǎn)F，PFCPDB，PCFB，PCFPBD.ADCF，ADEEFC.ADAE，ADEAED.AEDCEP，EFCCEP.ECCF.專訓(xùn)五1A2.43.49.44 cm4.D5.3 cm(第6題)6解：過D點(diǎn)作DNAC，交BE于N，如圖所示易知DMNAME，BDNBCE.，.，.·×.7D8.D9.6，1210(1)證明：E是RtACD的斜邊的中點(diǎn)，DEEA.A1.12，2A.FDCCDB290°2，F(xiàn)BDACBA90°A，F(xiàn)DCFBD.又F是公共角，F(xiàn)BDFDC.FD2FB·FC.(2)解：FB5，BC4，F(xiàn)C9.FD2FB&#