一元高次方程的求解

1、一元高次方程 一元三次方程求解 其中是任意復數 若令，則三次方程簡化為 其中， 設表示簡化方程的根，則據根與方程系數的關系，得。 若令，。對于適當確定的立方根，卡當公式是，求解線性方程組，得到，于是，原三次方程的三個根為，。其中，（是虛數單位）。C、一元四次方程求解3. x4bx3+cx2+dx+e0設方程為x4bx3+cx2+dx+e0 (4)移項，得x4bx3=-cx2-dx-e，右邊為x的二次三項式，若判別式為0，則可配成x的完全平方 解這個三次方程，設它的一個根為y0，代入(5)，由于兩邊都是x的完全平方形式，取平方根，即得解這兩個關于x的二次方程，便可得到(4)的四個根顯然，若把(6

2、)的其他根代入(5)，會得出不同的方程，但結果是一樣的高中階段對于三次四次方程的求解很少涉及，我們遇到的一般是比較有規(guī)律的高次方程。當高次不等式 數學家們當然應當給出完美的理論來解決高次方程的求解問題。有關理論至少應當包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ 次方程的一般表達式是 而稱為次多項式，其中。當系數都是實數時，稱是次實多項式，當系數中至少有一個為復數時，稱為次復系數多項式。如果存在復數，使得，就稱是次方程的一個根，或稱為次多項式的一個根。 怎樣得到高次方程的近似根 盛松柏伽羅華找到了一個一元高次方程能否根式求解的判別方法，但是他還是沒有給出高次程的具體求解方法。那么，如何求得高次方

3、程的根呢？在一般情況下，求出精確根是很困難的，而且科學研究、工程技術季實際應用中，也沒有必要求出精確根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？設是的一個精確根，即，假設問題所要求的精確度為，也就是滿足的，或滿足的，稱為的一個近似根。 下面我們介紹一下求近似根的幾個常用方法：方法一：牛頓切線法取一個初始值，然后使用下述迭代公式 ，xyOx*f(xk-1)xk-1f(xk)xk其中是的一階導數。 牛頓切線法有明顯的幾何意義，如右圖，因為的根滿足，在直角坐標平面中，點恰是的曲線與Ox軸的交點，于是每次迭代所得的點正好是曲線上點的橫坐標。牛頓切線法其實就是過曲線上的一列點所作曲線

4、的切線與Ox軸的交點。方法二：牛頓割線法 在方法一中，只要給定一個初始點。而方法二中，我們給定兩個初始點。然后在每次迭代時，把作為下一次迭代的始值。 這類方法都是從已知的點通過相同的計算公式，求得下一個新點。數學上稱為迭代法。迭代法很適合于計算。只要初始值選取得好，以上兩種方法產生的無窮數列。 均能收斂于的根。方法三：二分法 先將分成N等份，得到N個等長的小區(qū)間，顯然每個小區(qū)間的長度。記第一個小區(qū)間為，其中，第個小區(qū)間為，則， 若對其中某些，有，則在中必有的一個根。然后對這些再分別用二分法，便能求出的一個近似根。 二分法很簡便，是工程師們喜歡的一種求全部相異近似單實根的方法。問題在于如何合適地

5、確定N，因為N太大，則工作量也會太大，而N太小時，會出現某個小區(qū)間內包含多個根，從而二分法會將這個小區(qū)間的根漏掉。方法四：劈因子法 先用求單實根的方法，求出的一個根，利用因式分解有，其中是（）次多項式。然后求的一個根，依次計算下去就有可能求出的所有實根。這里所說的有可能求出的所有實根，而不是一定，是因為在一般情況下，我們只能求得等的近似值，所以有可能會影響到后面所得根的精確性。方法五：林士諤趙訪熊法 林士諤與趙訪熊是我國兩位著名的數學家，在計算數學方面都有卓越的貢獻。林士諤趙訪熊法是求的復數根的一種好方法。 我們知道，二次多項式的根由給出，林士諤趙訪熊法就是求的二次因式的方法。該方法建立了一套求和的迭代方法，且可以避免復數運算。一旦求得和之后，就得到了的兩個根，且當時，可得到的一對共軛復根，然后再利用 ，其中是（）次多項式，繼續(xù)用同樣的方法求的實根或復根。該法也是一種劈因子法。 求高次方程的根的近似值，除了以上幾種方