高中數學數列復習-題型歸納-解題方法整理

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上數列典型例題分析【題型1】 等差數列與等比數列的聯系例1 （2010陜西文16）已知an是公差不為零的等差數列，a11，且a1，a3，a9成等比數列.（）求數列an的通項;（）求數列2an的前n項和Sn.解：（）由題設知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通項an1+（n1）×1n.()由（）知=2n，由等比數列前n項和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.小結與拓展：數列是等差數列，則數列是等比數列，公比為，其中是常數，是的公差。（a>0且a1）.【題型2】 與“前n項和Sn與通項an”、常用

2、求通項公式的結合例2 已知數列an的前三項與數列bn的前三項對應相同，且a12a222a32n1an8n對任意的nN*都成立，數列bn1bn是等差數列求數列an與bn的通項公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*) 當n2時，a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*) 由題意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，數列bn1bn的公差為2(4)2，bn1bn4(n1)×22n6，法一（迭代法）bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8) n27n1

3、4(nN*)法二（累加法）即bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小結與拓展：1）在數列an中，前n項和Sn與通項an的關系為：.是重要考點；2）韋達定理應引起重視；3）迭代法、累加法及累乘法是求數列通項公式的常用方法?！绢}型3】 中項公式與最值（數列具有函數的性質）例3 （2009汕頭一模）在等比數列an中，an0 (nN），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3與as的等比中項為2。（1）求數列an的通項公式；（2）設bnlog2 an，數列bn的前n項和為Sn當最大時

4、，求n的值。解：（1）因為a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3與a5的等比中項為2，所以，a3a54而q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以， （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以4為首項，1為公差的等差數列。所以， 所以，當n8時，0，當n9時，0，n9時，0，當n8或9時，最大。小結與拓展：1）利用配方法、單調性法求數列的最值；2）等差中項與等比中項。2、 數列的前n項和1.前n項和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。2.數列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差

5、數列求和公式；2）等比數列求和公式；3）可轉化為等差、等比數列的數列；4）常用公式:；。（2）分組求和法：把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新組合，使其轉化成等差數列或等比數列，然后由等差、等比數列求和公式求解。（3）倒序相加法：如果一個數列an，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法。如：等差數列的前n項和即是用此法推導的。（4）裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。適用于其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。如：1）和（其中等差）可裂項為：；2）。（根式在分母上時可考慮

6、利用分母有理化，因式相消 求和）常見裂項公式：（1）；（2）；（3）；3.典型例題分析【題型1】 公式法例1 等比數列的前項和S2p，則_.解：1）當n=1時，；2）當時，。 因為數列為等比數列，所以從而等比數列為首項為1，公比為2的等比數列。故等比數列為首項為1，公比為的等比數列。小結與拓展：1）等差數列求和公式；2）等比數列求和公式；3）可轉化為等差、等比數列的數列；4）常用公式:（見知識點部分）。5）等比數列的性質：若數列為等比數列，則數列及也為等比數列，首項分別為、，公比分別為、?！绢}型2】 分組求和法例2 （2010年豐臺期末18）數列中，且點在函數的圖象上.（）求數列的通項公式；（

7、）在數列中，依次抽取第3，4，6，項，組成新數列，試求數列的通項及前項和.解：（）點在函數的圖象上，。，即數列是以為首項，2為公差的等差數列，。（）依題意知：=.小結與拓展：把數列的每一項分成多個項，再把數列的項重新組合，使其轉化成等差數列或等比數列，然后由等差、等比數列求和公式求解?！绢}型3】 裂項相消法例3 （2010年東城二模19改編）已知數列的前項和為，設（）證明數列是等比數列；（）數列滿足，求。證明：（）由于， 當時， 得 所以 又， 所以因為，且，所以所以故數列是首項為，公比為的等比數列 解：（）由（）可知，則（） 小結與拓展：裂項相消法是把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余

8、有限幾項，可求和。它適用于其中是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。如：1）和（其中等差）可裂項為：；2）。（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消求和）（5）錯位相減法：適用于差比數列（如果等差，等比，那么叫做差比數列）即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。如：等比數列的前n項和就是用此法推導的. （6）累加（乘）法（7）并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求。5.典型例題分析【題型4】 錯位相減法例4 求數列前n項的和.解：由題可知的通項是等差數列

9、2n的通項與等比數列的通項之積設 （設制錯位）得（錯位相減） 【題型5】 并項求和法例5 求10029929829722212解：10029929829722212(100 99)(9897)(21)5050.【題型6】 累加（乘）法及其它方法：歸納、猜想、證明；周期數列的求和等等例6 求之和.解：由于 （找通項及特征）（分組求和）6.歸納與總結以上8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。3、 數列的通項公式1.數列的通項公式

10、一個數列an的 與 之間的函數關系，如果可用一個公式anf(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數列的通項公式2.通項公式的求法（1）（1）定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目；有的數列可以根據前幾項觀察出通項公式。（2）公式法：在數列an中，前n項和Sn與通項an的關系為： (數列的前n項的和為).（3）周期數列由遞推式計算出前幾項，尋找周期。（4）由遞推式求數列通項類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(

11、逐商相乘法)求解。（2）由和確定的遞推數列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，這就是疊（迭）代法的基本模式。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。解法：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。3.典型例題分析【題型1】 周期數列例1 若數列滿足，若，則=_。答案：。小結與拓展：由遞推式計算出前幾項，尋找周期?！绢}型2】 遞推公式為，求通項例2 已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，小結與拓展：在運用累加法時,要特別注意項數,計算時項數容易出錯.【題型3】 遞推公式為，求通項例3 已知數列滿足，求。解：由條件知，分別

12、令，代入上式得個等式累乘之，即又，小結與拓展：在運用累乘法時,還是要特別注意項數,計算時項數容易出錯.【題型4】 遞推公式為（其中p，q均為常數，），求通項例4 在數列中，當時，有，求的通項公式。解：設，即有，對比，得，于是得，數列是以為首項，以3為公比的等比數列，所以有。（5）構造法 構造法就是在解決某些數學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯想出一種適當的輔助模型，如某種數量關系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉換，產生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造”.若已知條件給的是數列的遞推公式要求出該數列的通項公式，此類題通常較難，但使用構造法往往給人耳目一新的感

13、覺.1）構造等差數列或等比數列由于等差數列與等比數列的通項公式顯然，對于一些遞推數列問題，若能構造等差數列或等比數列，無疑是一種行之有效的構造方法.2）構造差式與和式解題的基本思路就是構造出某個數列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式.3）構造商式與積式構造數列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數列通項公式的一種簡單方法.4）構造對數式或倒數式有些數列若通過取對數，取倒數代數變形方法，可由復雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.（6）歸納猜想證明法數學歸納法（7）已知數列前項之積Tn，一般可求Tn-1，則an（注意：不能忘記討論）.如：數列中，對所有的都有，則_.四、典型例題分析【題型5】 構造法：1）構造等差數列或等比數列例5 設各項均為正數的數列的前n項和為，對于任意正整數n，都有等式：成立，求的通項.解：， ，. 即是以2為公差的等差數列，且.小結與拓展：由于等差數列與等比數列的通項公式顯然，對于一些遞推數列問題，若能構造等差數列或等比數列，無疑是一種行之有效的構造方法.【題型6】 構造法：2）構造差式與和式解題的基本思路就是構造出某個數列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式。例6 設是首項為1的正項數列，且