計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問(wèn)題

1、計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問(wèn)題高等有趣，值得一探【題目】一游泳池道長(zhǎng)100米，甲乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員從泳道的兩端同時(shí)下水做往返訓(xùn)練15分鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運(yùn)動(dòng)員一共從乙運(yùn)動(dòng)員身邊經(jīng)過(guò)了多少次？【解答】從身邊經(jīng)過(guò)，包括 迎面和追上兩種情況。能迎面相遇【（8189）15100】200，取整是13次。第一次追上用100（8981）12.5分鐘，以后每次追上需要12.5225分鐘，顯然15分鐘只能追上一次。因此經(jīng)過(guò)13114次。如果甲乙從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，甲乙第n次迎面相遇時(shí)，路程和為全長(zhǎng)的2n-1倍，而此時(shí)甲走的路程也是第一次相遇時(shí)甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）?？偨Y(jié)：若兩人走

2、的一個(gè)全程中甲走1份M米， 兩人走3個(gè)全程中甲就走3份M米。（含義是說(shuō)，第一次相遇時(shí)，甲乙實(shí)際就是走了一個(gè)全程，第二次相遇時(shí)，根據(jù)上面的公式，甲乙走了 2x2-1=3個(gè)全程，如果在第一次相遇時(shí)甲走了m米，那么第二次相遇時(shí)甲就走了3個(gè)m米）下面我們用這個(gè)方法看一道例題。湖中有A，B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來(lái)回。兩人分別從A，B兩島同時(shí)出發(fā)，他們第一次相遇時(shí)距A島700米，第二次相遇時(shí)距B島400米。問(wèn)：兩島相距多遠(yuǎn)？【解】從起點(diǎn)到第一次迎面相遇地點(diǎn)，兩人共同完成1個(gè)全長(zhǎng)，從起點(diǎn)到第二次迎面相遇地點(diǎn)，兩人共同完成3個(gè)全長(zhǎng)，此時(shí)甲走的路程也為第一次相遇地點(diǎn)的3倍。畫(huà)圖可知，由3倍關(guān)系得到：

3、A，B兩島的距離為 7003400=1700米小學(xué)奧數(shù)行程問(wèn)題分類(lèi)討論2010-06-08 12:00:20 來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)資源 進(jìn)入論壇 行程問(wèn)題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一(計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過(guò)之后給予更加明確的分類(lèi)。一、一般相遇追及問(wèn)題。包括一人或者二人時(shí)(同時(shí)、異時(shí))、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問(wèn)題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=vt結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)圖(基本功)解答。由于只用到相遇追

4、及的基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無(wú)法展開(kāi)，但這是考試中最常碰到的，希望高手做更為細(xì)致的分類(lèi)。二、復(fù)雜相遇追及問(wèn)題。(1)多人相遇追及問(wèn)題。比一般相遇追及問(wèn)題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對(duì)象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問(wèn)題。解題思路完全一樣，只是相對(duì)復(fù)雜點(diǎn)，關(guān)鍵是標(biāo)準(zhǔn)畫(huà)圖的能力能否清楚表明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(2)多次相遇追及問(wèn)題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù)相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問(wèn)題。分為標(biāo)準(zhǔn)型(如已知兩地距離和兩者速度，求 n次相遇或者追及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問(wèn)題(少見(jiàn)，如已知兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí)相遇、追及的次數(shù)

5、)。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定，不能從路程入手，將會(huì)很繁，最好一開(kāi)始就用求單位相遇、追及時(shí)間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，無(wú)法具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見(jiàn)，所以不贅述)：?jiǎn)纬滔嘤鰰r(shí)間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時(shí)間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時(shí)間：Tn= t單程相遇(2n-1)第m次追及時(shí)間：Tm= t單程追及(2m-1)限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)= (Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)= (Tm+ t

6、單程追及)/2 t單程追及注：是取整符號(hào)之后再選取甲或者乙來(lái)研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問(wèn)題需要注意，不要把運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。簡(jiǎn)單例題：甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車(chē)的速度是每小時(shí)30千米，乙車(chē)的速度是每小時(shí)20千米，問(wèn)(1)第二次迎面相遇后又經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙追及相遇?(2)相遇時(shí)距離中點(diǎn)多少千米?(3)50小時(shí)內(nèi)，甲乙兩車(chē)共迎面相遇多少次?三、火車(chē)問(wèn)題。特點(diǎn)無(wú)非是涉及到車(chē)長(zhǎng)，相對(duì)容易。小題型分為：(1)火車(chē)vs點(diǎn)(靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人)s火車(chē)=(v火車(chē) v人)t經(jīng)過(guò)(2)火車(chē)vs線段(靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車(chē))s火車(chē)+s橋

7、=v火車(chē)t經(jīng)過(guò)和s火車(chē)1+s火車(chē)2=(v火車(chē)1v火車(chē)2)t經(jīng)過(guò)合并(1)和(2)來(lái)理解即s和=v相對(duì)t經(jīng)過(guò)把電線桿、人的水平長(zhǎng)度想象為0即可?；疖?chē)問(wèn)題足見(jiàn)基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車(chē)問(wèn)題一般不是問(wèn)題。(3)坐在火車(chē)?yán)铩１旧硭诨疖?chē)的車(chē)長(zhǎng)就形同虛設(shè)了，注意的是相對(duì)速度的計(jì)算。電線桿、橋、隧道的速度為0(弱智結(jié)論)。四、流水行船問(wèn)題。理解了相對(duì)速度，流水行船問(wèn)題也就不難了。理解記住1個(gè)公式(順?biāo)?靜水船速+水流速度)就可以順勢(shì)理解和推導(dǎo)出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順?biāo)?逆水船速)2，水流速度=(順?biāo)?逆水船速)2)，對(duì)于流水問(wèn)題也就夠了。技巧性結(jié)論如

8、下：(1)相遇追及。水流速度對(duì)于相遇追及的時(shí)間沒(méi)有影響，即對(duì)無(wú)論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段)與船速、水速、順行逆行無(wú)關(guān)。此結(jié)論所帶來(lái)的時(shí)間等式常常非常容易的解決流水落物問(wèn)題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個(gè)碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時(shí)出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同。客船出發(fā)時(shí)有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米?？痛谛旭?0千米后掉頭追趕此物品，追上時(shí)恰好和貨船相遇。求水

9、流速度。五、間隔發(fā)車(chē)問(wèn)題?？臻g理解稍顯困難，證明過(guò)程對(duì)快速解題沒(méi)有幫助。一旦掌握了3個(gè)基本公式，一般問(wèn)題都可以迎刃而解。(1)在班車(chē)?yán)铩＜戳▎?wèn)題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易。例題：A、B是公共汽車(chē)的兩個(gè)車(chē)站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點(diǎn)到11點(diǎn)從A、B兩站每隔30分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車(chē)。已知從A站到B站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問(wèn)8：30、9：00從A站發(fā)車(chē)的司機(jī)分別能看到幾輛從B站開(kāi)來(lái)的汽車(chē)?(2)在班車(chē)外。聯(lián)立3個(gè)基本公式好使

10、。汽車(chē)間距=(汽車(chē)速度+行人速度)相遇事件時(shí)間間隔-1汽車(chē)間距=(汽車(chē)速度-行人速度)追及事件時(shí)間間隔-2汽車(chē)間距=汽車(chē)速度汽車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔-31、2合并理解，即汽車(chē)間距=相對(duì)速度時(shí)間間隔分為2個(gè)小題型：1、一般間隔發(fā)車(chē)問(wèn)題。用3個(gè)公式迅速作答;2、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車(chē)的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫(huà)圖-盡可能多的列3個(gè)好使公式-結(jié)合s全程=vt-結(jié)合植樹(shù)問(wèn)題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車(chē)去小寶家聚會(huì)的路上注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車(chē)從后方超越小峰。小峰騎車(chē)到半路車(chē)壞了，于是只好坐出租車(chē)去小寶家。這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車(chē)也是每隔9分鐘超越一輛公交車(chē)，已知出租車(chē)的速度是小峰騎車(chē)速度的5倍，如果這

11、3種車(chē)輛在行駛過(guò)程中都保持勻速，那么公交車(chē)站每隔多少分鐘發(fā)一輛車(chē)?六、平均速度問(wèn)題。相對(duì)容易的題型。大公式要牢牢記?。嚎偮烦?平均速度總時(shí)間。用s=vt寫(xiě)出相應(yīng)的比要比直接寫(xiě)比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問(wèn)題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問(wèn)題。是一類(lèi)有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實(shí)相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問(wèn)題、幾何位置問(wèn)題(審題不仔細(xì)容易漏掉多種位置可能)、不等式問(wèn)題(針對(duì)“能否看到”問(wèn)題，即問(wèn)甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇，不展開(kāi)了。八、鐘表問(wèn)題。是環(huán)形問(wèn)題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針= 12v時(shí)針(1)總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走1

12、/12格，0.5;分針每分鐘走1格，6。時(shí)針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫(huà)圖總結(jié))。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時(shí)針)+格或角(差)格：x=x/12+(開(kāi)始時(shí)落后時(shí)針的格+終止時(shí)超過(guò)時(shí)針的格)角：6x=x/2+(開(kāi)始時(shí)落后時(shí)針的角度+終止時(shí)超過(guò)時(shí)針的角度)可以解決大部分時(shí)針問(wèn)題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。例題：在9點(diǎn)23分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度?從這一時(shí)刻開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分鐘，時(shí)針和分針第一次垂直?(3)壞鐘問(wèn)題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問(wèn)題

13、了，變成比例問(wèn)題了，有相應(yīng)的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有難度。九、自動(dòng)扶梯問(wèn)題。仍然用基本關(guān)系式s扶梯級(jí)數(shù)=(v人速度v扶梯速度)t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級(jí)”，唯一要注意的是t上或下要表示成實(shí)際走的級(jí)數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動(dòng)扶梯問(wèn)題。例題：商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了40級(jí)到達(dá)樓上，男孩走了 80級(jí)到達(dá)樓下。如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級(jí)數(shù)是女孩的2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)?十、十字路口問(wèn)題。即在不同方向上的行程問(wèn)題。沒(méi)有特殊的解

14、題技巧，只要老老實(shí)實(shí)把圖畫(huà)對(duì)，再通過(guò)幾何分析就可以解決。十一、校車(chē)問(wèn)題。就是這樣一類(lèi)題：隊(duì)伍多，校車(chē)少，校車(chē)來(lái)回接送，隊(duì)伍不斷步行和坐車(chē)，最終同時(shí)到達(dá)目的地(即到達(dá)目的地的最短時(shí)間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車(chē)速度(來(lái)回不同)、班級(jí)速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類(lèi)。(1)車(chē)速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)(最常見(jiàn))(2)車(chē)速不變-班速不變-班數(shù)多個(gè)(3)車(chē)速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)(4)車(chē)速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫(huà)圖-列3個(gè)式子：1、總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車(chē)的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間;2、班車(chē)走的總路程;3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車(chē)同時(shí)出發(fā)后回來(lái)接它的時(shí)間。最后會(huì)得到幾個(gè)路程段的比值

15、，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類(lèi)問(wèn)題可以得到幾個(gè)公式，但實(shí)話說(shuō)公式無(wú)法記憶，因?yàn)橄鄬?duì)復(fù)雜，只能臨考時(shí)抱佛腳還管點(diǎn)兒用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不要死記硬背。簡(jiǎn)單例題：甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車(chē)，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車(chē)恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離是多少千米?十二、保證往返類(lèi)。簡(jiǎn)單例題：A、B兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個(gè)人24天的食物和水。如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點(diǎn))?這類(lèi)問(wèn)題其實(shí)屬于智能應(yīng)用題類(lèi)。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間T(1)返回類(lèi)。(保證