《概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)》全套教學課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

第1章隨機事件與概率.pptx第2章隨機變量及其分布.pptx第3章隨機向量及其分布.pptx第4章隨機變量的數(shù)字特征.pptx第5章大數(shù)定律與中心極限定理.pptx第6章樣本與抽樣分布.pptx第7章參數(shù)估計.pptx第8章假設(shè)檢驗.pptx全套可編輯PPT課件一、什么是概率論與數(shù)理統(tǒng)計？（是兩門課）1.概率論——是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學科。它是數(shù)學的一個分支。2.數(shù)理統(tǒng)計——是以概率論為基礎(chǔ)，研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的學科。它也是數(shù)學的一個分支。二、什么是概率論與數(shù)理統(tǒng)計？（從總體上看）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計——是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學分支。三、數(shù)學包括哪些學科？概率論與數(shù)理統(tǒng)計163三、數(shù)學包括哪些學科？第1編概率論基礎(chǔ)

本教材第1編概率論基礎(chǔ)主要介紹隨機事件和概率、隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、多維隨機變量及其分布、大數(shù)定律與中心極限定理等內(nèi)容，供讀者掌握概率論的基礎(chǔ)內(nèi)容，并為進一步學習數(shù)理統(tǒng)計奠定基礎(chǔ)。第1章隨機事件與概率隨機事件及其運算事件的頻率與概率古典型概率幾何型概率目錄1.11.21.31.4

案例引導(dǎo)—轟炸目標

條件概率

事件的獨立性1.51.6案例引導(dǎo)—轟炸目標

我機三架飛往敵區(qū)轟炸某一目標，其中只有領(lǐng)航機配有導(dǎo)航儀器，無此儀器即不可能飛達目的地。飛達目的地上空后，三機獨立地各自完成轟炸任務(wù)。每架飛機可將目標炸毀的概率均為0.3。在飛行途中必須經(jīng)過敵方高射炮區(qū)，而每架飛機被擊落的概率為0.2。問題：目標被炸毀的概率是多少？1.1隨機事件及其運算

1.確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象

事前可以預(yù)知結(jié)果：即在某些確定的條件滿足時，某一確定的現(xiàn)象必然會發(fā)生，或根據(jù)它過去的狀態(tài)，完全可以預(yù)知其將來的發(fā)展狀態(tài)。這樣的現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象。

2.偶然性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象

事前不能預(yù)知結(jié)果：即在相同的條件下重復(fù)進行試驗時，每次所得到的結(jié)果未必相同，或即使知道它過去的狀態(tài)，也不能肯定它將來的狀態(tài)。這樣的現(xiàn)象為偶然性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象。下列現(xiàn)象中哪些是隨機現(xiàn)象？A.在一個標準大氣壓下,水在100℃時沸騰；B.明天的最高溫度;C.擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù)；D.天上不會掉餡餅；E.新生嬰兒體重。

F.種瓜得瓜，種豆得豆。1.1.1隨機試驗與事件I.隨機試驗

把對某種隨機現(xiàn)象的一次觀察、測量或一次科學實驗稱為一個試驗。如果這個試驗在相同的條件下可以重復(fù)進行，且每次試驗的結(jié)果事前不可預(yù)知，則稱此試驗為隨機試驗，也簡稱試驗，記為E。注：以后所提到的試驗均指隨機試驗。

隨機試驗舉例E1：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；E2：檢測工廠生產(chǎn)的手機零件是否合格；E3：觀察某城市某個月內(nèi)發(fā)生的火災(zāi)次數(shù)；E4：觀察某天的氣溫在20°C-25°C；E5：檢測某型號電子產(chǎn)品的使用壽命。

II.樣本空間

III.隨機事件

把樣本空間Ω的任意一個子集稱為一個隨機事件，簡稱事件。常用大寫字母A,B,C

等表示。特別地，如果事件只含一個試驗結(jié)果(即樣本空間中的一個元素)，則稱該事件為基本事件；否則為復(fù)合事件。

例1.1.1

擲一枚骰子，用A表示擲出“5點”，B表示“奇數(shù)點”，C表示“點數(shù)不超過3”，試寫出樣本空間，表示事件A,B,C，并指出哪些是基本事件？哪些是復(fù)合事件？解：樣本空間Ω={1,2,3，4,5,6}A={5}B={1,3,5}C={1,2,3}A是基本事件，B,C是復(fù)合事件。

注意:只要做試驗,就會產(chǎn)生一個結(jié)果,即樣本空間Ω中就會有一個點(樣本點

)出現(xiàn)。當結(jié)果

A時，稱事件A發(fā)生。(1)由于樣本空間Ω包含了所有的樣本點,且是Ω自身的一個子集。故,在每次試驗中Ω總是發(fā)生。因此,稱Ω為必然事件。(2)空集

不包含任何樣本點，但它也是樣本空間Ω的一個子集，由于它在每次試驗中肯定不發(fā)生，所以稱

為不可能事件。例1.1.3一批產(chǎn)品共10件，其中2件是次品，其余為正品，從中任取3件，則：A={恰有1件正品}，B={3件中有正品}，C={至少有2件正品}，D={3件都是次品}。從以上事件中指出必然事件和不可能事件。解：B是必然事件，D是不可能事件。

1.1.2

事件的關(guān)系與運算

I.事件之間的關(guān)系（1）事件的包含與相等。事件A包含于事件B:若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B,記成A?B。如圖1.1.1所示，如例1.1.1中，，則若A?B,且B?A，則稱事件A與B相等,記為A=B。（2）事件的和或并

對于兩個事件A與B,定義一個新事件C={A發(fā)生或B發(fā)生}，稱為事件A與B的和或并，記為C=A∪B或C=A+B,如圖1.1.2所示。

這里也就是說，事件A與B中至少有一個發(fā)生，事件C就會發(fā)生。如例1.1.1中C={1,2,3}，A∪C={1,2,3,5}無窮多個事件A1,A2,…的和C發(fā)生就是A1,A2,…,An中至少一個事件發(fā)生。C

發(fā)生就是A1,A2,…

中至少一個發(fā)生。

這里從“事件是樣本空間的子集”看，也就是說

是集合A與B中公共部分組成的新集合。

（3）事件的積或交。對于兩個事件A與B,定義一個新事件C={A與B都發(fā)生}，稱為事件A與B的積或交，記為C=A∩B或C=AB，如圖1.1.3所示。

無窮多個事件A1,A2,…的積C發(fā)生就是A1,A2,…,An都發(fā)生。C發(fā)生就是A1,A2,…都發(fā)生。（4）事件的差。對于兩個事件A與B,定義一個新事件C={A發(fā)生，B不發(fā)生}，稱為事件A與B的差，記為C=A-B，如圖1.1.5所示。

也就是指事件A中所包含的結(jié)果除去事件B中所包含的結(jié)果后剩下的部分。對立事件：稱為A的對立事件或補事件，記為，也表示A不發(fā)生，如圖1.1.6所示?？梢钥闯?，。例如在例1.1.1中，

,。

1.2事件的頻率與概率

由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)之比，其大小表示A發(fā)生的頻繁程度。頻率越大，事件A發(fā)生得越頻繁，也說明事件A發(fā)生的可能性越大。反之亦然。因此直觀的想法是用頻率來表示事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小，但是否可行，先看下面的例子。例1.2.1考慮“拋硬幣”試驗，歷史上有一些國外的數(shù)學家做過此試驗，若觀察硬幣幣值面朝上為事件A,其出現(xiàn)的次數(shù)及頻率

如表1.2.1所示：

試驗者

試驗次數(shù)

幣值面朝上出現(xiàn)的次數(shù)

頻率

D.Mogen204810610.5181C.D.Buffon404020480.5069K.Pearson1200059810.4984K.Pearson24000120120.5005表1.2.1

拋硬幣試驗數(shù)據(jù)結(jié)果表從表1.1可以看出，事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率具有隨機波動性，且當n較小時，隨機波動的幅度較大；隨著n的不斷增大，隨機波動的幅度也越來越小，

值越來越接近固定值0.5。字母頻率字母頻率字母頻率E0.1268L0.0394P0.0186T0.0978D0.0389B0.0156A0.0788U0.0280V0.0102O0.0776C0.0268K0.0060I0.0707F0.0256X0.0016N0.0706M0.0244J0.0010S0.0634W0.0214Q0.0009R0.0594Y0.0202Z0.0006H0.0573G0.0187

例1.2.2考察英語中特定字母出現(xiàn)的頻率，如表1.2.2所示：表1.2.2中也列出了英語中特定字母出現(xiàn)的頻率，這些頻率也具有穩(wěn)定性。表1.2.2

英語中特定字母出現(xiàn)的頻率從上面兩個例子可以看出,事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率

也在0與1之間隨機波動。當試驗次數(shù)n較小時，波動幅度較大。當試驗次數(shù)n充分大時，事件的頻率總在一個固定值附近擺動，而且試驗次數(shù)越多，一般說來擺動的幅度越小。這一性質(zhì)稱頻率的穩(wěn)定性，也就是反映統(tǒng)計的規(guī)律性，頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小，不會隨人們意志而改變。盡管每進行n次試驗，所得到的頻率可能各不相同,但只要n足夠大，頻率就會非常接近一個固定值——概率。

因此,概率可以通過頻率來“度量”,頻率是概率的近似,概率是頻率某種意義下的極限。

1.2.2事件的概率

由概率的定義，可以推出概率有如下性質(zhì)，方便概率的計算：性質(zhì)1P(?)=0，即不可能事件的概率為零。

性質(zhì)2若事件

兩兩互斥，則有：

即兩兩互斥事件之和的概率等于它們各自概率之和。性質(zhì)3

對任一事件A,均有P(A)=1-P(A)。性質(zhì)4對兩個事件A與B，則若

,則有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)。P(B-A)=P(B)-P(AB)性質(zhì)5對任意兩個事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。)

性質(zhì)2證明：

令A(yù)n+1=An+2=?=?，則A1,A2

,…An+2

…兩兩互斥，所以

性質(zhì)4證明：

由

可知,BA=A

B=A∪(BA)=A∪(B-A),且A與(B-A)互斥，由性質(zhì)2，可得

P(B)=P{A∪(B-A)}=P(A)+P(B-A),

所以可得：

P(B-A)=P(B)-P(A)又因為，所以，即性質(zhì)4(1)得證。對于任意兩個事件A與B，由于B-A=B-AB,且AB?B,根據(jù)性質(zhì)4(1)，可得P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)

性質(zhì)5證明：由于，且，由性質(zhì)2和性質(zhì)4，可得：例1.2.5某城市有50%的用戶訂日報，有65%用戶訂晚報，有85%用戶至少訂這兩種報紙中的一種，求同時訂這兩種報紙的住戶的百分比。

性質(zhì)5稱為概率的加法公式。性質(zhì)5還可以推廣到多個事件的情形。對于個事件,有

例1.2.6

已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/16,P(AB)=0求事件A、B、C中至少有一個發(fā)生的概率。解：

1.3古典型概率

什么是古典型概率？不妨先來看兩個例子：

例1.3.1投擲一枚骰子，可能會出現(xiàn)1點，2點，…6點六種可能的結(jié)果，而且這六種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，均為1/6.例1.3.2從100件同類型的產(chǎn)品中，任意抽取1件進行質(zhì)量檢查，則共有100種抽法，且每種出現(xiàn)的可能性大小相同，均是1/100.通過前面兩個例子，可以得出：

例1.3.4

在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小號碼為6的概率。（2）求最大號碼為6的概率。解：設(shè)A表示最小號碼為6，B表示最大號碼為6，則基本事件總數(shù)事件B中最大號碼為6，意味著6已確定，剩下的2個數(shù)需從1,2,3,4,5五個數(shù)中選2個，所以基本事件數(shù)為事件A中最小號碼為6，意味著6已確定，剩下的2個數(shù)需從7,8,9,10四個數(shù)中選2個，所以基本事件數(shù)為例1.3.5

一批產(chǎn)品共8個，其中有2個廢品，6個正品，求：（1）這批產(chǎn)品的廢品率；（2）任取3個恰有1個是廢品的概率；（3）任取2個全是正品的概率。

3個產(chǎn)品中有1個廢品，2個正品，則事件B中含有的基本事件數(shù)有所以事件B的概率為：（3）該題從8個產(chǎn)品中任取2個，所以基本事件總數(shù),事件C中2個全是正品，則需從6個正品中去取，基本事件數(shù)，所以事件C的概率為：

例1.3.6

設(shè)袋中有5個球，其中3個白球，2個紅球，從袋中取球兩次，每次隨機地取一個球，則在每次取球放回和不放回的情況下：分別求A、B、C的概率：A={取得兩個白球}，B={恰有一個白球},C={至少有一個白球}解：(1)先考慮每次取球放回的情況。由于每次取球后放回，因此，第一次從5個球中取一個，共有5種可能的取法，第二次還是從5個球中取一個，還是有5種可能的取法。所以取兩次球，共有種可能的取法，即基本事件總數(shù)事件A中第一次取一個白球有3種取法，第二次再取一個白球還是有3種取法，所以事件A中取兩個白球共有種取法，也就是A中含有的基本事件數(shù)是9。所以可得，同理，可算得，（2）考慮每次取球不放回的情況。由于第一次取球后不放回，因此，第一次從5個球中取一個，共有5種可能的取法。第二次則是從剩下的4個球中再取一個，共有4種可能的取法，所以取兩次球，共有種可能的取法，即基本事件總數(shù)有20種事件A中第一次取一個白球有3種取法，第二次再從剩下的2個白球取一個，有2種取法，所以事件A中取兩個白球共有，種取法，也就是A中含有的基本事件數(shù)是6。方法1：每次隨機取一個球，取后不放回，取2次，所以可得，同理，可算得方法2：每次隨機取一個球，取后不放回，取2次，等同于一次性從中取2個球，則可得，例1.3.7從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中等可能地，有放回的連續(xù)抽取3個數(shù)字，試求下列事件的概率：A={三個數(shù)字完全不相同}B={三個數(shù)字中不含1和5}C={三個數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5}解：該題中從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中等可能地，有放回的連續(xù)抽取3個數(shù)字，則基本事件總數(shù)為，事件A中抽取的三個數(shù)字完全不相同，說明第一個數(shù)有5種可能結(jié)果，第二個數(shù)有4種可能結(jié)果，第三個數(shù)有3種可能結(jié)果，所以事件A中的基本事件數(shù)為：。事件B中三個數(shù)字中不含1和5，說明只能含2,3,4三個數(shù)，所以B中的基本事件數(shù)為：。事件C三個數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5，需要考慮出現(xiàn)一次5、兩次5和三次5的情況，這時計算量較大，不妨從其對立事件考慮，即一次也未出現(xiàn)5，說明只會出現(xiàn)1,2,3,4四個數(shù)，其基本事件數(shù)為。解：設(shè)A={至少有兩個人的生日在同一天}例1.3.8某班級有（<365）個人,問一年內(nèi)至少有兩個人的生日在同一天的概率。該題中如果正面來算，需要考慮兩個人生日同一天、三個人生日同一天、個人生日同一天，顯然是不好算的，因此不妨考慮從對立面來算，則

經(jīng)計算，

取不同值時的概率值如表1.3.1所示。10203040506070800.120.410.710.890.970.991.001.00表1.3.1

個人中至少有兩人生日相同的概率表

從表1.3可以看出，在60人左右的人群里，約有99%的幾率出現(xiàn)至少有兩人生日在同一天。若在放回的情況下，每次抽取的次品率都未發(fā)生變化，均為K/N,若用

表示每次抽取的次品率，則上式可以寫為：該公式也就是在第二章要學習的二項分布的概率計算公式。1.4幾何型概率定義1.4.1如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何型概率。

計算公式幾何型概率的特點：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。例1.4.1取一根長為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不少于1米的概率有多大?解：設(shè)A={剪得兩段繩子長都不小于1}把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間1段時，事件A發(fā)生。由于中間一段的長度剛好等于繩子長的三分之一，所以事件A發(fā)生的概率為

圖1.4.2大小圓例1.4.2設(shè)質(zhì)點等可能地落在半徑為R=2m的圓中，A是半徑為r=1m的圓，且（1）計算質(zhì)點落在小圓內(nèi)的概率；

（2）計算質(zhì)點落在小圓外的概率

解（1）大圓的面積是

，質(zhì)點等可能地落入大圓。

小圓的面積是質(zhì)點落在小圓內(nèi)的概率為：

（2）質(zhì)點落在小圓外的概率為：例1.4.3有一杯1升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.2升，求小杯水中含有這個細菌的概率。解：設(shè)A={小杯水中含有這個細菌}1.5條件概率1.5.1條件概率

1.5.2乘法公式

1.5.3全概率公式

我們可以這樣理解全概率公式，某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,?n)，如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是。每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即為全概率公式。

仔細觀察上面例子，我們可以發(fā)現(xiàn)一個重要的結(jié)論，第二人中獎的概率、第三人中獎的概率與第一人中獎的概率均一樣，即均為2/5。這也說明每個人中獎的概率都是一樣的。（2）根據(jù)全概率公式可得

例1.5.6某工廠的甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間的產(chǎn)量比乙車間多1倍，乙車間的產(chǎn)量與丙車間相同，各車間產(chǎn)品的廢品率依次為5%,4%，2%，求從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，求取到一件廢品的概率。解：設(shè)A={廢品}，B1={甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品}，B2={乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品}，B3={丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品}，則

1.5.4貝葉斯公式

這個公式稱為貝葉斯公式。該公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中一個著名的公式。它首先出現(xiàn)于1763年出版的英國學者T.貝葉斯（1702~1761）的概率論著作《論機會學說中一個問題的解》一書中。該公式提出了重要的邏輯推理思路，具有較強的現(xiàn)實及哲理意義。它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因的概率。

和

分別稱為原因的驗前概率和驗后概率。

是在沒有進一步的信息(不知道事件A是否發(fā)生)的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。當有了新的信息(知道A發(fā)生)，人們對諸事件發(fā)生可能性大小

有了新的認識。這種情況在日常生活中也是屢見不鮮的，原以為不可能發(fā)生的事情，可能因為某種事件的發(fā)生而變得可能。貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化。證明：根據(jù)條件概率的定義及全概率公式可得，

例1.5.7據(jù)調(diào)查某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，若肝癌患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.99，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.05，抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是肝癌癥患者的概率有多大?解：設(shè)B={肝癌患者},={正常人}A={試驗結(jié)果是陽性}

根據(jù)貝葉斯公式可得，

例1.5.8（續(xù)例1.5.6）現(xiàn)從該廠中隨機抽到一件廢品，請問這件廢品由甲車間、乙車間、丙車間生產(chǎn)的概率各為多少？解：根據(jù)貝葉斯公式可得，

1.6

事件的獨立性

1.6.1

兩事件的獨立

先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，顯然，有P(A|B)=P(A).

這就是說：事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率。這時，稱事件A與B相互獨立，簡稱獨立。由乘法公式知，當事件A與B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B).

用P(AB)=P(A)P(B)刻畫獨立性，比用

P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好。◎不受P(B)>0或P(A)>0的制約；◎反映了事件A與B的對等性。兩事件獨立的定義

定義1.6.1：若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立，或稱

A,B

獨立。例1.6.1：設(shè)試驗E為“拋甲乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況”。設(shè)事件A為“甲幣出現(xiàn)正面”，事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)正面”。解：用F表示正面，T表示反面，則E的樣本空間為??={FF,FT,TF,TT}P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,P(B|A)=1/2,P(AB)=1/4。

在這里我們看到P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B)。

定理1.6.1：設(shè)A,B是兩事件，且P(A)>0,若A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B)。同理,若P(B)>0,則將A,B位置對調(diào),也依然成立。

定理1.6.2：若事件A,B獨立，則證明：僅證A與

P(A)=P(A－AB)

=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A)P(B)=P(A)[1－P(B)]=P(A)P(),例1.6.2：甲乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.6,0.8。求每人射擊一次后，目標被擊中的概率。解：設(shè)A={甲擊中目標}，B={乙擊中目標}，則P(A)=0.6,P(B)=0.8,由事件之和的概率及A與B相互獨立，得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.8-0.6×0.8=0.92請問：如圖的兩個事件是否獨立？我們來計算：因P(AB)=0,而P(A)≠0,P(B)≠0。即

P(AB)≠P(A)P(B)。故A與B不獨立。即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立。其逆否命題是：若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B一定不互斥。請問：能否在樣本空間Ω中找到兩個事件，它們既相互獨立又互斥?答：能。因為ΩΦ=Φ，且P(ΩΦ)=P(Ω)P(Φ)=0,所以，Φ與Ω獨立且互斥。不難發(fā)現(xiàn):Φ(或Ω)與任何事件都獨立。

前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，請看下列兩個練習。

設(shè)A,B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：

1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。

設(shè)A,B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，錯誤的是：

1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。1.6.3多個事件的獨立先將兩事件獨立的定義推廣到三個事件上：

對于三個事件A,B,C，若

P(AB)=P(A)P(B)，

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立，則稱事件A,B,C相互獨立。例1.6.3

三人獨立地去破譯一份密碼,已知每個人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人分別編號為1,2,3，記

Ai={第i個人破譯出密碼}，i=1,2,3。故，所求為P(A1∪A2∪A3)。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且A1，A2，A3相互獨立，P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1∪A2∪A3)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-(4/5)·(2/3)·(3/4)=0.6

推廣到n個事件的獨立性定義,可類似地給出:

設(shè)A1,A2,…,An是

n個事件，如果對任意k(1<k≤n),任意1≤i1<i2<?<ik≤n，等式P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)成立，則稱n個事件A1,A2,…，An

相互獨立。多個相互獨立事件具有如下性質(zhì)：◎若事件A1,A2,…,An相互獨立，則其中任意k個事件Ai1Ai2…Aik也相互獨立；

◎若事件A1,A2,…,An相互獨立，則B1,B2,…,Bn也相互獨立，其中Bi或為Ai，或為āi，i=1,2,…,n。例1.6.4加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率。

解：設(shè)事件Ai表示“第i道工序生產(chǎn)的次品”，i=1,2,3,4由題意P(A1)=0.02，P(A2)=0.03，P(A3)=0.05，P(A4)=0.03，A1，A2，A3，A4及其逆事件相互獨立，

本章小結(jié)本章學習的目的與要求：了解樣本空間的概念、理解隨機事件的概念、掌握隨機事件的關(guān)系與運算律。理解頻率、概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握條件概率及乘法公式、全概率公式以及貝葉斯(Bayes)公式，并會用于解決相關(guān)問題。掌握事件獨立性的概念與定理、性質(zhì)，并能運用于相關(guān)的概率計算。本章學習的重點與難點：重點是隨機事件的關(guān)系與運算律、概率的基本性質(zhì)、古典型概率和幾何型概率、條件概率及乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式、事件獨立性定理、性質(zhì)運用。本章學習的難點是對偶律的運用，互斥、對立與獨立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式的區(qū)別與應(yīng)用。

本章內(nèi)容提示1.幾種概念之間的聯(lián)系：2.事件之間的關(guān)系（以A、B為例）（1）事件之間的包含和相等（或）

（2）事件之間的和或并（）

（3）事件之間的積或交（）

（4）事件之間的差（）

3.對偶律

4.概率的性質(zhì)（1）P(?)=0。（2）若事件

兩兩互斥，則有：

即兩兩互斥事件之和的概率等于它們各自概率之和。

（3）對任一事件A,均有P(A)=1-P(A)（4）對兩個事件A與B，則①若,則有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)。

②P(B-A)=P(B)-P(AB)（5）對任意兩個事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

6.條件概率中的幾種概率之間的關(guān)系

概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

第2章隨機變量及其分布

隨機變量的定義與種類離散型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)目錄2.12.22.32.4

案例引導(dǎo)—猜題概率

隨機變量函數(shù)的分布2.5案例引導(dǎo)—猜題概率

假設(shè)一張考卷上有10道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案正確，則某學生靠猜測答對至少1道題的概率為多少？靠猜測答對至少5道題的概率為多少？問題：該案例涉及隨機變量，該利用隨機變量的什么內(nèi)容來快速地解決此問題？單選題完全考猜測能行嗎？2.1隨機變量的定義與種類

2.1.1

隨機變量的定義定義2.1.1

設(shè)Ｅ是隨機試驗，Ω是其樣本空間。如果對每個ω∈Ω，總有一個實數(shù)Ｘ（ω）與之對應(yīng)，則稱Ω上的實值函數(shù)Ｘ（ω）為Ｅ的一個隨機變量。

在引入隨機變量后，可用隨機變量Ｘ的值域的子集來表示隨機事件。

比如例2.1.1中，樣本空間Ω中的子集{X,X=1｝表示拋硬幣試驗中硬幣國徽面朝上這個隨機事件；例2.1.2中，樣本空間Ω中的子集｛X,X≤3｝表示擲骰子試驗中，出現(xiàn)點數(shù)不超過３點的隨機事件；例2.1.3中，樣本空間Ω中的子集{X,X≤10}表示某車間生產(chǎn)的產(chǎn)品次品數(shù)不超過10個這樣的隨機事件；例2.1.4中，樣本空間Ω中的子集｛Ｘ，Ｘ≤０｝表示隨機事件螺母的內(nèi)徑不大于規(guī)格件內(nèi)徑。2.1.2隨機變量的種類根據(jù)隨機變量取值的特征不同，可將其分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩大類：(1)離散型隨機變量。如果一個隨機變量的取值是有限的，可以一一列舉出來的，則稱其為離散型隨機變量，比如例2.1.1至例2.1.3三個例題中所設(shè)的隨機變量都是離散型的。(2)連續(xù)型隨機變量。如果一個隨機變量的可能取值不僅無窮多，而且不能一一列舉,其取值是充滿某個實數(shù)區(qū)間或者幾個實數(shù)區(qū)間的，則稱其為連續(xù)型隨機變量，比如上述例2.1.4中所設(shè)的隨機變量就是連續(xù)型隨機變量。2.2離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量的取值可以進行一一列舉，例如例2.1.1至例2.1.3中的隨機變量，它們都是離散型的隨機變量。對于這類離散型隨機變量，要想掌握它的統(tǒng)計規(guī)律，只需要列舉其所有的可能取值以及取每一個值所對應(yīng)的概率，即需要掌握其概率質(zhì)量函數(shù)。

表2.2.1離散型隨機變量的概率分布律

X2342/58/151/152.2.2常見的離散型隨機變量的概率質(zhì)量函數(shù)離散型隨機變量的概率質(zhì)量函數(shù)有很多，不同的離散型隨機變量的具體概率質(zhì)量函數(shù)是不一樣的。其中重要而常見的主要有兩點分布、二項分布、泊松分布和超幾何分布。2.2.2.1兩點分布

2.2.2.3泊松分布

二項分布和泊松分布有密切的關(guān)系，到底是什么關(guān)系？先看一個例子，通過這個例子來發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。

2.2.2.4超幾何分布

2.3.1連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)2.3

連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)

概率密度函數(shù)的兩個重要性質(zhì)主要有兩個用途：(1)用來判斷一個函數(shù)是否為某個連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。(2)用于求解概率密度函數(shù)中含有的常數(shù)。

2.3.2常見連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)2.3.2.1均勻分布

2.3.2.2指數(shù)分布

在實踐中，許多問題所涉及的變量都服從或者近似地服從正態(tài)分布。例如，學生的某科考試成績、測量誤差、半導(dǎo)體器件中的熱噪聲電流或電壓等都服從或近似地服從正態(tài)分布。所以在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論研究與實踐中，正態(tài)分布都具有十分重要的作用。2.4

隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的概率質(zhì)量函數(shù)以及連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)，它們都用函數(shù)的形式來表達概率，刻畫隨機變量的分布情況。也可以通過分布函數(shù)來刻畫隨機變量的分布情況。在本節(jié)中將介紹隨機變量的分布函數(shù)，一種對離散型和連續(xù)型隨機變量的概率分布情況都能進行刻畫的函數(shù)。分布函數(shù)具有較好的性質(zhì)，便于研究，在概率論的理論研究中具有十分重要的意義

2.4.2

離散型隨機變量的分布函數(shù)

例2.4.1離散型隨機變量Ｘ的概率分布如下01230.10.20.30.4

2.4.3連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)

2.5

隨機變量函數(shù)的分布2.5.1離散型隨機變量函數(shù)的分布

01230.10.20.30.4

0140.30.60.12.5.2連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

我們可以這樣理解全概率公式，某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,?n)，如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是。每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即為全概率公式。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

第3章隨機向量及其分布聯(lián)合分布邊緣分布條件分布隨機變量的獨立性目錄3.13.23.33.4

案例引導(dǎo)—太空遨游

3.5隨機向量函數(shù)的分布案例引導(dǎo)—太空遨游

太空遨游自古以來都是人類的一個美好愿望，從《淮南子》中的嫦娥奔月，到《西游記》中孫悟空的騰云駕霧以及一個筋斗云就可遨游太空十萬八千里，一直寄托著人類飛天的夢想。在當今世界，現(xiàn)代科學技術(shù)已使這一美好夢想成為活生生的現(xiàn)實。為了掌控太空飛船的運行，控制中心就需要實時地對飛船在軌的高度和位置，飛行的姿態(tài)、方向和速度等一系列的指標變量進行監(jiān)測和數(shù)據(jù)分析。顯然，這里需要同時分析的隨機變量有多個，就需要用到多個隨機變量及其分布的理論和模型。類似的情形在現(xiàn)實中非常普遍，因此本章將在上一章單個隨機變量及其分布理論的基礎(chǔ)上，引入多維隨機變量即隨機向量，研究隨機向量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布以及隨機向量函數(shù)的概率分布問題。

定義3.1.1假設(shè)隨機變量

是來自同一隨機試驗的n個隨機變量，都定義在同一樣本空間Ω之上，則稱

構(gòu)成一個n維隨機向量，亦稱n維隨機變量，通?？珊唽憺?/p>

。3.1聯(lián)合分布

定義3.1.2設(shè)

是n維隨機向量，對于任意實數(shù)

,稱n元非降函數(shù)：為n維隨機向量

的聯(lián)合概率分布函數(shù)，簡稱為聯(lián)合分布函數(shù)或分布函數(shù)。

3.1.1聯(lián)合分布函數(shù)I.聯(lián)合分布函數(shù)定義

最簡單的多維隨機向量是二維隨機向量，為了簡便，可將二維隨機向量記為(X,Y)，于是二維隨機向量的聯(lián)合概率分布函數(shù)就可以定義為：

如果將二維隨機變量(X,Y)看成是平面上的隨機點，那么分布函數(shù)F(x,y)就是隨機點(X,Y)落在以點(x,y)為頂點的左下方無限矩形區(qū)域內(nèi)的概率，如圖3.1.1所示。y(x

,y)xO圖3.1.1F(x,y)的幾何意義

(x2

,y2)(x1

,y2)y2y1(x2

,y1)(x1

,y1)x2x1圖3.1.2

隨機點(X,Y)落在矩形域的概率

由分布函數(shù)的幾何意義，再結(jié)合圖3.1.2,容易得出隨機點(X,Y)落在平面內(nèi)任意一個矩形區(qū)域如

的概率為：

II.分布函數(shù)

F(x,y)

的性質(zhì)（1）分布函數(shù)F(x,y)

是隨機變量X和Y的非降函數(shù)。即對于任意固定的y，當x2>x1

時，有F(x2,y)>F(x1,y)

；對于任意固定的x，當

y2>y1

時，有F(x,y2)>F(x,y1)

。

（2）分布函數(shù)F(x,y)

的取值在0與1之間。即對于任意的

x?R

和y?R,有0≤F(x,y)≤1

，且:（3）分布函數(shù)F(x,y)分別關(guān)于x和y右連續(xù)。即對任意實數(shù)x和y，有：3.1.2二維離散型隨機向量的概率分布I.二維離散型隨機向量的概率分布定義

定義3.1.2記二維離散型隨機向量(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj)，i、j=1,2,…，則二元函數(shù)：就稱為二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)。

如果二維隨機向量(X,Y)的所有可能取值是有限個或可列無限多個，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量。

二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)也可以用列聯(lián)表表示，如表3.1.1所示。

表3.1.1維離散型隨機向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表II.二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)

（1）非負性。即：

（2）總和為1。即：

二維離散型隨機向量

(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)之間具有關(guān)系式：

總結(jié)：由二維離散型隨機向量（X,Y）的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)，可以計算由隨機變量X和Y任何取值所確定的隨機事件的概率。假設(shè)A是平面上的一個區(qū)域，則隨機向量（X,Y）落入該區(qū)域的概率的計算公式為：

例3.1.1盒子中有5個相同的球，分別印有編號1、2、3、4、5，現(xiàn)從盒子中隨機抽取3個球，記X為抽出的3個球中的最小號碼，Y為最大號碼，求隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)，并計算所抽出的3個球中最大號碼與最小號碼之差不超過2的概率。

解：這是一個古典概型問題，由問題可知，最小號碼X的可能取值為1、2、3，最大號碼Y的可能取值為3、4、5，使用第一章中古典概型方法，可以計算出隨機向量

(X,Y)的每對可能值的概率即(X,Y）的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)如表3.1.2所示。表3.1.2最小和最大號碼的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)

最大和最小號碼之差不超過2，也就是|Y-X|≤2，由聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表可知，落在此區(qū)域的向量值是表中的對角線及左下角的點，從而可得：顯然，二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)的概念不難推廣到多維的情形，對于n維離散型隨機向量

X=(X1,X2,...,Xn)，其聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)可定義為：實踐中常用的多維離散型隨機向量聯(lián)合概率分布模型：

（1）多項分布。在一個隨機試驗中，若每次試驗的可能結(jié)果有A1,A2,…,Ar種,每種可能結(jié)果出現(xiàn)的概率P(Ai)=pi,i=1,2,…,r,且p1+p2+…+pr=1，重復(fù)這種試驗n次，并假定每次試驗都是獨立的，記試驗結(jié)果A1,A2,…,Ar

出現(xiàn)的次數(shù)分別為X1,X2,…,Xr

,則隨機向量X=(X1,X2,…,Xr

)

的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)為：

其中整數(shù)ki≥

0，且k1+k2+...+kr=n。顯然，如果r=2，即每次試驗只有兩種可能的結(jié)果，則多項分布就是第二章中介紹的二項分布。（2）多元超幾何分布。假設(shè)盒子中共有r種顏色但大小相同的N個小球，其中各種顏色小球的個數(shù)分別為N1,N2,...,Nr，且N1+N2+...+Nr=N，從中隨機摸出n個小球，記各種顏色小球出現(xiàn)的次數(shù)分別為X1,X2,...,Xr，則隨機向量X=(X1,X2,...,Xr)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)為：

其中整數(shù)ni≥

0，且n1+n2+...+nr=n。顯然，當r=2時，多元超幾何分布就是第二章中介紹的超幾何分布。

多項分布和多元超幾何分布模型主要在抽樣調(diào)查中應(yīng)用，前者用于有放回抽樣，后者用于不放回抽樣。3.1.3二維連續(xù)型隨機向量的概率密度I.二維連續(xù)型隨機向量的概率密度定義

定義3.1.3對于二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負函數(shù)f(x,y)，使得對于任意的實數(shù)x,y有則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機向量，并稱函數(shù)f(x,y)為二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

注意：只要已知二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)，就可以利用二重積分計算出二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)落入平面內(nèi)任一區(qū)域D的概率，即有計算公式：II.二維連續(xù)型隨機向量聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）非負性。即：（2）全部概率之和為1。即：

。

由隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)的定義可知，若聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，則有：

這表明，如果已知二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，則可以通過對兩變量混合求導(dǎo)而得出其聯(lián)合概率密度函數(shù)。

例3.1.2設(shè)二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：要求：

（1）求常數(shù)a；

（2）求分布函數(shù)；

（3）求概率P{Y≤X}。

解：（1）在整個二維平面對隨機向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)進行積分，得：由聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)可知，樣本空間上的全部概率之和為1，即上式積分應(yīng)等于1，由此即得a=2。（2）由分布函數(shù)的定義，當x≤0,y≤0時：

；所以完整的分布函數(shù)為：而當x>0,y>0時：（3）將看作是平面上的隨機點，則隨機事件就是隨機點落入平面第1和第3象限內(nèi)450線下方區(qū)域，記該區(qū)域為D，則有,如圖3.1.3所示。于是按照二維隨機向量落入平面某個區(qū)域概率的計算公式，可得：DOy=xyx圖3.1.3

實踐中，二維連續(xù)型隨機向量及其分布經(jīng)常會用到，其中最常用的是二維均勻分布和二維正態(tài)分布。（1）二維均勻分布。如果二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：其中D為xOy平面上的有界區(qū)域，D的面積為S，則稱隨機向量在區(qū)域D上服從均勻分布。

例3.1.3

設(shè)二維隨機向量服從圓域上的均勻分布，區(qū)域A為x軸、y軸和y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域，如圖3.1.4。要求計算概率。

解：圓域D的面積S=π，因此隨機向量的概率密度函數(shù)為：區(qū)域A是由x軸、y軸和y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域，并且包含在圓域D之內(nèi)。于是：--1-1/20x1y

y=2x+1圖3.1.4（2）二維正態(tài)分布。如果二維隨機向量的概率密度為

則稱二維隨機向量(X,Y)服從參數(shù)為μ1、μ2、σ1、σ2、ρ

的二維正態(tài)分布。同時，也稱(X,Y)為二維正態(tài)隨機向量，記為(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)。注意二維正態(tài)分布中的參數(shù)μ1、μ2、σ1、σ2、ρ均為常數(shù)，且都有重要的意義。其中-∞<μ1,μ2<+∞，分別反映了隨機變量X和Y取值的分布中心位置，而σ1>0、σ2>0,則分別反映了隨機變量X和Y取值的散布程度，ρ則反映了隨機變量X和Y之間的相關(guān)程度。

二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)的圖形如圖3.1.5所示，其形狀像一個“斗笠”。二維正態(tài)分布在實踐中有著非常重要的作用。圖3.1.5二維正態(tài)分布聯(lián)合概率密度3.2邊緣分布3.2.1邊緣分布函數(shù)

定義3.2.1

二維隨機向量(X,Y)中X和Y的邊緣分布函數(shù)就是隨機變量X和Y各自的分布函數(shù)，分別記為FX(x)和FY(y),二者均可以由隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)確定，計算方法分別為：

該定義表明，如果已知二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布函數(shù)，那么就可以通過對其中一個隨機變量在整個數(shù)軸上進行積分的方法而得出另一個隨機變量的概率分布函數(shù)。3.2.2二維離散型隨機向量的邊緣概率分布

定義3.2.2二維離散型隨機向量(X,Y)中X和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)就是隨機變量X和Y各自的概率質(zhì)量函數(shù)，分別記為pX(xi)和pY(yj),二者均可以由隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)確定，計算方法分別為：

該定義表明，如果已知二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)，就可以通過對其中一個隨機變量全部取值的概率求和的方法而得到另一個隨機變量的概率質(zhì)量函數(shù)。X和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)也可用表格表示，見表3.2.1。表3.2.1二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)及各變量的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)

例3.2.1

由例3.1.1給出的二維隨機向量（X,Y）的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表，計算最小號碼X和最大號碼Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)。

解：將例3.1.1中二維隨機向量（X,Y）的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表右邊和下邊分別加邊，然后分別計算每行概率之和以及每列概率之和，列入加邊之中，即得X的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)，如表3.2.2所示。3.2.3二維連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度

定義3.2.3二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)中X和Y的邊緣概率密度函數(shù)就是隨機變量X和Y各自的概率密度函數(shù)，分別記為fX(x)和fY(y),二者均可以由隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)確定。由邊緣分布函數(shù)的定義,變量X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為：記

，

，則隨機變量X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為：

，

；由此即得二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)中變量X和Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為：

，

。

該定義表明，類似于分布函數(shù)情形，對于二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)，如果已知其聯(lián)合概率密度函數(shù)，則就可通過對其中一個變量在整個數(shù)軸上進行積分而得到另一個變量的邊緣概率密度函數(shù)。

例3.2.2設(shè)二維隨機向量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}上服從均勻分布（見圖3.2.1），求X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。

解：因為隨機向量(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}上的均勻分布，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：圖3.2.1區(qū)域D當x<0或x>1時，f(x,y)=0，從而fX(x)=0；當0≤x≤1時，

。于是，得到X的邊緣概率密度函數(shù):當y<0或y>1時，f(x,y)=0,從而fY(y)=0;當0≤y≤1時，

。于是，得到Y(jié)的邊緣概率密度函數(shù)：

例3.2.3設(shè)隨機向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)，求X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。

解：由二維正態(tài)分布N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，得X的邊緣概率密度函數(shù)的計算式為：作變量代換，令：,則得：根據(jù)標準正態(tài)分布變量的概率密度的性質(zhì)即可得到：

同理可得：該結(jié)果表明X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22)，即二維正態(tài)隨機向量的邊緣概率分布仍是正態(tài)分布。3.3條件分布3.3.1條件分布的定義

定義3.3.1假設(shè)(X,Y)是二維隨機向量，在隨機變量X的取值給定的條件下，即已知X=x的條件下，隨機變量Y的所有可能取值的概率分布就稱為Y對X的條件分布；而在隨機變量Y的取值給定的條件下，即已知Y=y的條件下，隨機變量X的所有可能取值的概率分布就稱為X對Y的條件分布。3.3.2離散型隨機變量的條件概率分布I.離散型隨機變量的條件概率質(zhì)量函數(shù)定義

定義3.3.2

設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)為p(xi,yj)=pij，隨機變量X和Y的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)分別為和,對于給定的X=xi,若，則稱為隨機變量Y在條件X=xi下的條件概率質(zhì)量函數(shù)。

若，則稱為隨機變量X在條件Y=yj下的條件概率質(zhì)量函數(shù)。II.離散型隨機變量的條件概率質(zhì)量函數(shù)性質(zhì)（1）（2）

例3.3.1

在例3.1.1中，隨機變量X表示隨機摸出的3個球中的最小號碼，隨機變量Y表示其中的最大號碼。求在最小號碼X為1的條件下，最大號碼Y的條件概率質(zhì)量函數(shù)。

解：由例3.1.1和例3.2.1中的隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)表可知，當最小號碼X=1時，最小號碼X與最大號碼Y的聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)和X的邊緣概率質(zhì)量函數(shù)為表3.3.1所示。

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，按照條件概率質(zhì)量函數(shù)的計算公式，得：由此即得最小號碼X為1時，最大號碼Y的條件概率質(zhì)量函數(shù)，如表3.3.2。同理也可求得最小號碼X為2、3的條件下，最大號碼Y的條件概率質(zhì)量函數(shù)。3.3.3連續(xù)型隨機變量的條件概率密度

定義3.3.3設(shè)二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，fX(x)和fY(y)分別為關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)。如果f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，fY(y)在y處連續(xù)且fY(y)>0，則稱為隨機變量X在Y=y條件下的條件概率密度。而函數(shù)則稱為在Y=y的條件下，X的條件分布函數(shù)。

如果f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，fX(x)在x處連續(xù)且fX(x)>0，則稱為隨機變量Y在X=x條件下的條件概率密度。而函數(shù)則稱為在X=x的條件下，Y的條件分布函數(shù)。

例3.3.2設(shè)二維隨機向量(X,Y)服從區(qū)域D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}上的均勻分布，求條件概率密度fX|Y(x|y)和fY|X(y|x)。

解:根據(jù)題意知(X,Y)的概率密度為由例3.2.2得知：于是，當0≤y<1時，fY(y)>0。由條件概率密度函數(shù)的定義得特別地，當y=0時，X的條件概率密度為這是區(qū)間[0,1]上的均勻分布。同理，當0<x≤1時，fX(x)>0。由條件概率密度函數(shù)的定義得

例3.3.3設(shè)隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)，求條件概率密度fX|Y(x|y)和fY|X(y|x)。

解：根據(jù)題意知(X,Y)的概率密度為由例3.2.3得知X和Y的邊緣密度函數(shù)分別為：于是，對于-∞<y<+∞，由條件概率密度函數(shù)的定義得：類似地可求

上述結(jié)果表明，二維正態(tài)隨機向量的條件分布仍是正態(tài)分布。在Y給定的條件下，隨機變量X的條件概率分布是正態(tài)分布

；在X給定的條件下，隨機變量Y的條件概率分布是正態(tài)分布

。3.4隨機變量的獨立性

Y\X1234100.100.150.050.3020.100.200.100.100.5030.050.100.0500.200.150.400.300.151.00

Y\X123231

3.5隨機向量函數(shù)的分布

X012

Y0123P

P

Y\X01230121Z012345P

X\Y0120102001

Z012p

連續(xù)獨立隨機變量和的卷積公式要計算兩個相互獨立的連續(xù)隨機變量之和的概率密度函數(shù)，可以直接使用卷積公式計算。

第三章小結(jié)（一）第三章小結(jié)（二）第三章小結(jié)（三）第三章小結(jié)（四）

第三章小結(jié)（五）概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

第4章隨機變量的數(shù)字特征案例引導(dǎo)——認識我國社會主要矛盾1981年黨的十一屆六中全會提出“在社會主義改造基本完成以后，我國所要解決的主要矛盾，是人民日益增長的物質(zhì)文化需要同落后的社會生產(chǎn)之間的矛盾”；2017年黨的十九大報告首次作出重大判斷“中國特色社會主義進入新時代，我國社會主要矛盾已經(jīng)轉(zhuǎn)化為人民日益增長的美好生活需要和不平衡不充分的發(fā)展之間的矛盾”。問題：試從數(shù)字特征的角度分析以上我國社會主要矛盾的本質(zhì)。本章內(nèi)容4.1期望4.2方差4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.4原點矩與中心矩4.1期望數(shù)學期望(Expectation，簡稱“期望”，亦稱“均值”，本書以下均用其簡稱期望)是用于刻畫隨機變量集中趨勢的重要特征，以下分別介紹：4.1.1離散型隨機變量的期望4.1.2連續(xù)型隨機變量的期望4.1.3隨機變量函數(shù)的期望4.1.4隨機向量函數(shù)的期望4.1.1離散型隨機變量的期望

4.1.2連續(xù)型隨機變量的期望

4.1.3隨機變量函數(shù)的期望

4.1.4隨機向量函數(shù)的期望

4.1.5期望的性質(zhì)

4.2方差方差(Variance)是用于刻畫隨機變量離散程度的重要特征，可通過將隨機變量的取值與其期望進行比較得到，由于隨機變量的取值可能比期望大，也可能比期望小，所以比較的差值可能為正數(shù)也可能為負數(shù)，直接合并會存在抵消的問題，故在合并差值之前，常將差值求平方之后再求期望，我們稱之為“方