三角形的重心

1、第一頁，共19頁。主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 一、一、 三角形重心的定義三角形重心的定義 二、二、 重心的五個(gè)重要性質(zhì)重心的五個(gè)重要性質(zhì) 三、三、 三角形的五三角形的五“心心”簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介第二頁，共19頁。連接連接AD,BE,交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，O點(diǎn)即為點(diǎn)即為ABC. 如圖所示：在如圖所示：在ABC中，中， 點(diǎn)點(diǎn)D、E分別是分別是BC、 AC的中點(diǎn)的中點(diǎn).ABCDEO重心的定義重心的定義三角形的三條中線交于一點(diǎn)三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三這點(diǎn)稱為三角形的重心角形的重心第三頁，共19頁。重心分中線之比為重心分中線之比為2:1. 即即 AO:OD=2:1 ABCDEOH取取EC中點(diǎn)中點(diǎn)H，連接連接DH可

2、證可證 AO：OD= 2:1重心性質(zhì)重心性質(zhì)1 1第四頁，共19頁。重心性質(zhì)重心性質(zhì)2 2ABCDEOF連接連接CO并延長(zhǎng)，交并延長(zhǎng)，交AB于于F根據(jù)性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)1，可以證明，可以證明G 過點(diǎn)過點(diǎn)D作作DG/CF ，交，交AB于于G三角形的三中線必然交于一點(diǎn)三角形的三中線必然交于一點(diǎn). 此點(diǎn)恰是此點(diǎn)恰是重心重心.故故F為為AB中點(diǎn)中點(diǎn).AF:FG=2:1FG:GB=1:1第五頁，共19頁。AOCBOCAOBSSSBCOADEF分別延長(zhǎng)中線，可交對(duì)邊的中點(diǎn).易知：易知：SAOB= 2SBOD= SBOC重心性質(zhì)重心性質(zhì)3 3第六頁，共19頁。ODOPOCOB20OCOBOABCOABCODP由中

3、線向量的性質(zhì)：由中線向量的性質(zhì)：2OAOD 0OCOBOAD0？如果如果O為為ABC的重心，那么的重心，那么重心性質(zhì)重心性質(zhì)4 4第七頁，共19頁。BCOADEF重心向量常見變化形式：重心向量常見變化形式：（2）ACABAO3131（3）中線中線AD上的點(diǎn)上的點(diǎn)P滿足：滿足：ACABAP（1）0COBOAO第八頁，共19頁。 BCOANM連接連接AO,因?yàn)橐驗(yàn)镸、O、N三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ACABAO3131可得可得311yxACyABxANAMAO-11所以所以重心性質(zhì)重心性質(zhì)5 5ABxAM ACyAN ，則則 .311yx，0 xy，設(shè)直線設(shè)直線l過重心過重心O，交，交AB、AC于點(diǎn)于點(diǎn)M、

4、N，第九頁，共19頁。 BCANM 它的逆命題也成立！則直線l必過ABC的重心重心設(shè)直線l交AB、AC于點(diǎn)M、N，3ABACAMAN且滿足第十頁，共19頁。C【友情鏈接】1. （2010年湖北卷）已知ABC和點(diǎn)M滿足0MCMBMAAMmACABm，若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則 （ ）A2B32C3 D6 解析：解析：BCMAACABAM3131第十一頁，共19頁?！狙a(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容】三角形“五心”向量形式的充要條件： 設(shè)O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則（1） O為重心 （三條中線的交點(diǎn)）BCOA0OCOBOA第十二頁，共19頁。（2） O為垂心（三條垂線的交點(diǎn)）

5、 BCOAOAOCOCOBOBOA第十三頁，共19頁。（3） O為外心（中垂線交點(diǎn)，外接圓圓心） BCOA222OCOBOA第十四頁，共19頁。（4） O為內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心） 0OCcOBbOAa（5） O為A旁心（旁切圓圓心，A平分線與兩外角平分線交點(diǎn)） OCcOBbOAa (1)(2)(3)(1)(2)(3)常考；?？?； (4)(5)(4)(5)只作了解只作了解 . .第十五頁，共19頁?！居亚殒溄印?.（2009寧夏海南卷）已知O,N,P在ABC所在平面內(nèi)，且 ， ，OAOBOC NANBNC 0 PA PBPB PCPC PA ，則O,N,P依次是ABC的A.重心 外心 垂心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 內(nèi)心B.重心 外心 內(nèi)心答案：答案：(C)(C)BCNABCPABCOA解析：解析：第十六頁，共19頁。提示： 連GA 【課后思考】：1設(shè)G為ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形GMAN和GBC的面積相等GBCAMN AMG的面積=GBM的面積， GAN的面積=GNC的面積, 第十七頁，共19頁。0OCOBOA【課后思考】2.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足，下列結(jié)論正確的是（ ）A.C.D.B.BCABOA3231BCABOA313212-33OAABBC BCABOA3132-ACABAO3131ACABB