高數(shù)教學(xué)案例

1、高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)教案（劉鳳林）【案例一】房貸還款問題模型背景：我校王教授今年準(zhǔn)備貸款買一套房子，需要貸款50萬元，預(yù)計(jì)20年還清.現(xiàn)行貸款年率為7.04%，如果按9折優(yōu)惠，計(jì)算王教授按以下哪種還款方式更好？ 一是等額本息還款法；二是等 額本金還款法.模型假設(shè)：（1）貸款50萬元；（2）20年還清；（3）貸款年率為7.04%，按9折優(yōu)惠，實(shí)際月利率 0.528%.符號(hào)說明：A。：貸款額；r ：月利率（每期利率）；x :等額本息還款法中，每月的還款額；x k :等額本金還款法中，第 k個(gè)月的還款額；Ak :第k期結(jié)束時(shí)的欠款；n :借款期限（單位：月）.模型建立：（1）等額本息還款：第一期后欠款：

2、A A0 A0 r 一 x = A0 （1 r） 一 x ；第二期后欠款：A? = A A r - x 二 A （1rx ；第三期后欠款：A3 = A：* A2 r - x = A2 （1' r） - x ；依此類推，第k期后欠款：Ak二 Ak(1 * r) 一 x ( k = 1 2,，n )（2 ）等額本金還款：第一期還款：A。X1 =(Ao -nA01)r = A°(1 -nn1)r；n第二期還款：A0X2(A。-2A01)r=A°(12)r；nnnnA03A013第二期還款：x3- (A0一)= A° (1-一)門；nnnn1k依此類推，第k期還款

3、：Xk二A。 (1 _ )門(k = 1, 2,，n ).nn模型求解：(1)等額本息還款：Ak = Ak 丄(1 r) x = Ak J1 r) x(1 r) x = Aj2(1 r)2 x1 - (1 - r)-x1 - (1 - r) - (1 - r)2二Ak£1 r) x(1 - r) -x1(1r)k3k 1=A0(1 - r)- x1 (1 r) (1 r- -.-(1 r) _k-Ao(1 r)kx(1 r) -1r要想n個(gè)月還清貸款,A0r (1 亠 r)nx =亠-厶，將A。n則有 An =0，此時(shí) A0（1 r）n -空一r） 1 = 0，解得r= 500000

4、、r =0.00528、n = 240 代入上式，得 x :- 3679 .75（元）,（1 - r） 1即每月還款3679.75（元），20年共還款883140（元）.（2）等額本金還款：這種還款額度的計(jì)算需要借助于計(jì)算機(jī)，通過計(jì)算機(jī)計(jì)算，得到（元）,Xt : 4712 .33 （元八 x2 : 4701 .33 （元）、x239 : 2094 .33 （元）、x240 : 2083 .3320年共還款815480（元）.模型分析：比等額本息還款少還款 67660 （元），但是前期還款壓力較大.【案例二】分針與時(shí)針重合問題模型假設(shè)：（1）鐘面分為60格；（2）分針1min轉(zhuǎn)過1格，1h轉(zhuǎn)過6

5、0格，時(shí)針1h轉(zhuǎn)過 符號(hào)說明：（1） x n :分針位置（追趕序列）；（2）yn :時(shí)針的位置（逃逸序列）；（3）x :分針與時(shí)針重合的位置.模型建立：.因此我們不難發(fā)現(xiàn)，分針?biāo)俣仁菚r(shí)針?biāo)俣鹊?2倍，并且在1h內(nèi)分針與時(shí)針最多重合一次從整點(diǎn)k （ k =1, 2,，1 ）開始，分針位于時(shí)針之前 5k格.此時(shí)當(dāng)分針行走5k格（即追到最先時(shí)針位置）時(shí)，時(shí)針走（逃）了5k格，這時(shí)12當(dāng)分針又走(追)格，這時(shí)當(dāng)分針再走(追)格，此時(shí)5kx = 5 k、 y = 5 k ；12了 竺格（即此前時(shí)針走過的格數(shù)）時(shí)，時(shí)針又走（逃）了125kx2 = 5k125k、y2 = 5k 亠125k122 ；笙格（即

6、上次時(shí)針針走過的格數(shù)）時(shí),12 2時(shí)針又走（逃）了5k15k*:21212125k15k122123125k 5kx 3 = 5 k12 125k 5k 5k=5k 2 ?；12 12 12依此類推,=5k5k 5k5kL：;囂12 12=5k(11 1H+12 12nr)，二 5k5k 5k5k+ +1212 2n125k+12 n1 1=5k(112n _L121-).12 n模型求解:分針與時(shí)針位置差為-xn5k，顯然lim (y12 n5k)=lim0，n n->C12是k點(diǎn)之后分針與時(shí)針重合的位置為x = lim xn ：:(或 lim yn_JC1)=lim 5k(12n12

7、 12=lim 5kn_):n1211 _12墊(k =1, 2，,11).1160:-5.4545 ，11120當(dāng) k =2 時(shí)，x10 .9091即1點(diǎn)后重合時(shí)間大約為 1點(diǎn)5分27.27秒;11，即2點(diǎn)后重合時(shí)間大約為 2點(diǎn)10分54.55 秒;以后再重合的時(shí)間分別為3點(diǎn)16分21.82秒、4點(diǎn)21分49.09秒、5點(diǎn)27分16.36秒、6點(diǎn) 32 分 43.64 秒、7 點(diǎn) 38 分 10.91 秒、8 點(diǎn) 43 分 38.18 秒、9 點(diǎn) 49 分 5.45 秒、10 點(diǎn) 54 分 32.73秒、11點(diǎn)60分0.00秒（即12點(diǎn)整）.模型分析：由于時(shí)針、分針都是勻速運(yùn)動(dòng)，且12小時(shí)內(nèi)

8、它們要重合11次，每次重合間的時(shí)間都應(yīng)該是相等的，而5分27.27秒，所以它們每隔大約1小時(shí)5分27.27秒重合一次，上面的11解也驗(yàn)證了這一事實(shí).【案例二】飲料罐形狀設(shè)計(jì)模型背景:聽裝百事可樂罐大體為圓柱體形狀，全高為11.7cm、主體部分的高為9.5cm、底與頂蓋部分的高為1.2cm、主體部分的直徑為 6.6cm、底與頂蓋部分的直徑為5.9cm.容積為352ml但是為安全起見實(shí)際只裝 330ml.另外頂蓋部分的材質(zhì)好于側(cè)面模型假設(shè)：圓柱形有蓋飲料罐符號(hào)說明：r ：飲料罐底的半徑（單位： cm）；h :飲料罐底的高（單位：cm）；k :飲料罐側(cè)面與底材料單位造價(jià)（單位：元）；ak :飲料罐頂

9、蓋材料單位造價(jià)（單位：元，其中a . 1）；W :飲料罐總造價(jià).模型建立：352 cm 3,于是二r 2h = 352 ，3522 .:r飲料罐側(cè)面造價(jià)為:k 2 二 r h飲料罐底的造價(jià)為:2k ： r ；飲料罐總造價(jià)為：704 kW =飲料罐頂蓋的造價(jià)為:r即h704 k 一（兀）；（元）；-a 二kr 2 k 二r2 二 k 竺 r (a T)二r ( r . 0).飲料的密度與水的密度大體是相等的，所以飲料罐的體積為模型求解:根據(jù)一元函數(shù)最值求法，由=k-口4 - 2（a - 1）二r =0，得唯一駐點(diǎn)d rr1 2352- d W1408、亠r° =,廠 y0 = k一 +2（a +1）兀乂 A 0，所以r°是W 的唯一極小值點(diǎn)，也（a +1）兀drr152是最小值點(diǎn)，于是當(dāng)r° =3 （此時(shí)h = （1 ' a）r0 ）時(shí)，飲料罐的造價(jià)最低.（a +1）兀模型結(jié)果分析：根據(jù)材料的使用與技術(shù)要求，頂蓋單位造價(jià)大約是側(cè)面與底面單位造價(jià)的3倍,188 一這時(shí)a =3，求得r0 =（