機(jī)械動(dòng)力學(xué)習(xí)題復(fù)習(xí)

1、單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) 例1摩托車(chē)的質(zhì)量為200 kg，為其設(shè)計(jì)了一個(gè)弱阻尼吸振器。當(dāng)吸振器受到一個(gè)由于路面沖擊而引起的豎直方向的速度時(shí)，相應(yīng)的位移-時(shí)間曲線如圖(b)所示。如果阻尼振動(dòng)的周期為2 s，經(jīng)過(guò)個(gè)周期后振幅衰減為原來(lái)的14(即x1.5=x1/4)。求彈簧的剛度以及阻尼器的阻尼系數(shù)n【解】由于x1.5=x1/4, 因而x2=x1/161211sin( 1)ntnxAet 2222sin( 1)ntnxAet 1216xx22ln(16)2.772610.4037不同時(shí)刻解的表達(dá)式不同時(shí)刻解的表達(dá)式對(duì)應(yīng)振動(dòng)的幅值比對(duì)應(yīng)振動(dòng)的幅值比獲得阻尼比獲得阻尼比221dndT 根據(jù)根據(jù)所以

2、所以223.4338(/ )2 1nrad s2cncm2 200 3.43381373.54(/)ccN s m2nkm2200 3.43382358.2652(/)kN m0.4037 1373.54554.4981(/)cccN s mn 【例3】圖示為一大型火炮的示意圖。發(fā)射時(shí)，高壓氣體使子彈在炮筒內(nèi)獲得一個(gè)很高的速度。后坐力使炮筒沿與子彈射出相反的方向移動(dòng)。由于希望火炮不會(huì)由此產(chǎn)生振動(dòng)并能以最短時(shí)間停下，所以設(shè)計(jì)了一個(gè)具有臨界阻尼的彈簧一阻尼器系統(tǒng)，稱(chēng)為反沖機(jī)構(gòu)。設(shè)炮筒和反沖機(jī)構(gòu)的總質(zhì)量為500 kg，反沖彈簧的剛度為10 000 N/m，發(fā)射時(shí)后坐的距離為0.4 m。求：(1)阻尼

3、器的臨界阻尼系數(shù)；(2)初始后坐速度【解】系統(tǒng)的固有頻率為/10000/5004.4721/nk mrad s24472.1/cncmN s m臨界阻尼的大小為系統(tǒng)的響應(yīng)為12( )()ntx tecc t00201,xVcxcn令0( )0V t 可以確定x(t)到達(dá)最大值的時(shí)間212( )()0nnttnx tc eecc t212()0nccc t100cx11/nt1100max12 1( )ntnnVVxx tc t eee0max0.4 4.4721 2.71834.8626/nVxem s【例】如圖所示為汽車(chē)通過(guò)粗糙路面引起豎向振動(dòng)的簡(jiǎn)單模型，設(shè)汽車(chē)的質(zhì)量為1200 kg，懸架系

4、統(tǒng)的彈簧常數(shù)為400 kN/m，阻尼比為=0.5。若汽車(chē)的行駛速度為20 km/h，求汽車(chē)的位移幅值。已知路面的起伏按正弦規(guī)律變化，幅值為Y=0.05 m，波長(zhǎng)為6 m【解】基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的頻率可以通過(guò)汽車(chē)速度v(km/h)除以路面起伏的循環(huán)長(zhǎng)度求得21000 1220.290889 (/ )36006vfv rad sTv=20km/h時(shí)，5.81778(/ )rad s3400 1018.2574(/ )1200nkrad sm因而頻率比/0.318653n 22 22121.46923712XY（）（） （）振幅比為汽車(chē)豎向振動(dòng)幅值為1.4692370.073462XY這表明：幅值為5 c

5、m的路面起伏引起汽車(chē)底盤(pán)與乘客的豎向振動(dòng)的振幅是7.3 cm。因此在當(dāng)前狀態(tài)下，乘客感覺(jué)到的上下顛簸比路面的實(shí)際起伏要大。n如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的薄板掛在彈簧下端，在空氣和液體中上下振動(dòng)的周期分別為T(mén)1和T2，不計(jì)空氣阻尼，而液體的阻尼力為n（2A為薄板上下兩端面積之和）。試求液體的粘度系數(shù)m 2A xm多自由度系統(tǒng)【例】一臺(tái)電動(dòng)機(jī)發(fā)電機(jī)組，如圖所示，設(shè)計(jì)運(yùn)行速度為20004000 rmin。但由于轉(zhuǎn)子存在微小不平衡，該機(jī)械在運(yùn)轉(zhuǎn)速度為3000 rmin時(shí)發(fā)生劇烈振動(dòng)。為此計(jì)劃安裝一個(gè)懸臂式集中質(zhì)量吸振器來(lái)消除振動(dòng)。當(dāng)一個(gè)帶有2kg實(shí)驗(yàn)載荷的懸臂安裝到機(jī)器上之后，所得系統(tǒng)的固有頻率為2500

6、 rmin和3500 rmin。設(shè)計(jì)吸振器質(zhì)量和剛度，使得整個(gè)系統(tǒng)固有頻率在電動(dòng)機(jī)發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)速范圍之外。無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器(6)n問(wèn)題分析無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器(7)測(cè)試共振轉(zhuǎn)速測(cè)試共振轉(zhuǎn)速2500 rmin和和3500 rmin4運(yùn)行轉(zhuǎn)速運(yùn)行轉(zhuǎn)速20004000 rmin共振轉(zhuǎn)速共振轉(zhuǎn)速3000 rmin2測(cè)試載荷測(cè)試載荷2kg31主系統(tǒng)固有頻率主系統(tǒng)固有頻率 n11安裝吸振器之后的安裝吸振器之后的新共振點(diǎn)的確定新共振點(diǎn)的確定2主系統(tǒng)質(zhì)量主系統(tǒng)質(zhì)量3測(cè)試時(shí)的兩個(gè)共振頻測(cè)試時(shí)的兩個(gè)共振頻率和對(duì)應(yīng)的頻率比率和對(duì)應(yīng)的頻率比42211/ 2/ 4mmm 111/0.8333n 221/1.1667n 質(zhì)量比

7、m m=0.1345，求出主系統(tǒng)m1=2/0.1345=14.87kg測(cè)試共振頻率1 和 2為261.8rad/s(2500r/min)和366.53rad/s (3500r/min)，從而可以求出兩個(gè)共振點(diǎn)的頻率比1,2電動(dòng)機(jī)發(fā)電機(jī)組的固有頻率為1、吸振器的固有頻率為2。因?yàn)槲衿?質(zhì)量m2=2kg可調(diào))，令1= 2 =314.16 rads(對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速3000 rmin)無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器(8)系統(tǒng)的最低運(yùn)行速度1為209.44rad/s(2000r/min)獲得第一處共振頻率比1111/0.6667n 0.6942m210.694210.3227mmkg262221.0188 10/nkmN

8、 m系統(tǒng)的二階共振頻率比2221/ 2/ 42.2497mmm 21.49921.499 314.16471.24/rad s 4500r/min吸振器參數(shù)吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)完畢設(shè)計(jì)完畢驗(yàn)證驗(yàn)證設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器(9)（4）把模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)變換成廣義坐標(biāo)響應(yīng)，即為系統(tǒng)的響應(yīng)多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（P34） （1）求系統(tǒng)的固有頻率與主振型，構(gòu)成主振型矩陣 u YuXYuX （2）坐標(biāo)變換 QYKYM00 FuQuKuKuMuMTTT00得（3）求模態(tài)方程的解。一般可由杜哈美積分杜哈美積分，或待定系數(shù)法待定系數(shù)法求微分方程的特解。將廣義坐標(biāo)表示的初始條件，變

9、換為用模態(tài)坐標(biāo)表示，并代入模態(tài)方程，求出各積分常數(shù)。注意：此時(shí)的變量為Y！ XuY即理解：通過(guò)坐標(biāo)變換后，模態(tài)方程中各參量均無(wú)任何物理含義！模態(tài)分析法實(shí)例模態(tài)分析法實(shí)例 1k1=30,k2=5,k3=0m1=10,m2=1初始條件為：x(0)=1 0，v(0)=0 0用模態(tài)分析法求二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)m1m2k1k2k3n解 系統(tǒng)的固有頻率和主振型為(1)(1)1111.5811,2XX (2)(2)2112.4495,5XXn其中 為任意常數(shù)。通過(guò)固有振型關(guān)于質(zhì)量矩陣正則化，可以求出 (2)1X(1)1X(2)1X(1)1X(2)1X(1)1Xn由2(1)(1)(1)11001112101

10、2TXMXX n求得(1)10.2673Xn同理求得(2)10.1690Xn系統(tǒng)的正則振型矩陣為(1)(2)0.26730.16900.53460.8450XXXn進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換( )( )x tXq tn得到系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)方程2( )( )( )0q tq tQ t自由振動(dòng)00( )cossiniiiiiiqq tqtt00iiqq 為模態(tài)坐標(biāo)初值，需要通過(guò)廣義坐標(biāo)求出( )( )( )( )( )( )TTTx tXq tX Mx tX MXq tq tX Mx t(0)(0)TqX Mx0.26730.534610012.6730.16900.84500101.690 0(0)(0)0

11、TqX Mx 1( )2.673cos1.5811q tt2( )1.690cos2.4495q tt( )( )x tXq t0.26730.16902.673cos1.5811( )0.53460.84501.690cos2.4495tx ttn矩陣迭代法的基本步驟是什么？n如何求解二階以后的模態(tài)？n連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)習(xí)題習(xí)題1lMyKx( , )My l t( , )Ky l tTsinT習(xí)題習(xí)題2A2l2lx2lA2l2l2l初始條件202( ,0)212lxxly xxlxll( ,0)0y x2n12221,3,5.8( 1)( ,0)siniiiy xxil1( ,0)sinnnny

12、 xCxl12228( 1)1,3,5inCni12221,3,58( 1)( , )sincosnnnny x txtnll習(xí)題習(xí)題2EJAlM習(xí)題習(xí)題3EJAx2l2lEIxlNNyn多剛體構(gòu)件系統(tǒng)機(jī)械動(dòng)力學(xué)xrK質(zhì)量為質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為l的勻質(zhì)桿的勻質(zhì)桿與質(zhì)量為與質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤(pán)中心的勻質(zhì)圓盤(pán)中心用光滑鉸鏈聯(lián)結(jié)，構(gòu)成一個(gè)用光滑鉸鏈聯(lián)結(jié)，構(gòu)成一個(gè)物理擺。圓盤(pán)在水平導(dǎo)軌上物理擺。圓盤(pán)在水平導(dǎo)軌上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，其中心用剛無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，其中心用剛度為度為k的彈簧與固定墻聯(lián)結(jié)。的彈簧與固定墻聯(lián)結(jié)。試用拉格朗日方法建立系統(tǒng)試用拉格朗日方法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的運(yùn)動(dòng)微分方程AB2221111

13、1 122 2xTm xm rr22212211122 12cTm vm l2222cos22cllvxx2112Vkx12cosVm gl x kOR2222113()2()cos222TMxm xRrRr x21()cos2Vkxmg Rr212ImrRrr行星齒輪機(jī)構(gòu)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m的均質(zhì)曲柄AB帶動(dòng)行星齒輪II在固定齒輪I上純滾動(dòng)。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。桿與輪鉸接處的摩擦力忽略不計(jì)。當(dāng)曲柄受力偶矩為M的常力偶作用時(shí)，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。取曲柄的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。222121(29)()12TmmrrMQM22121(29)()6mmrrM22121(29)()6TmmrrddTTQt22126(29)()Mmmrr半徑為R的圓環(huán)在力偶矩為M的力偶作用下以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上自由滑動(dòng)。已知圓環(huán)對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，忽略摩擦力。求為使圓環(huán)勻角速