函數(shù)連續(xù)的九個(gè)層次

1、函數(shù)連續(xù)的九個(gè)層次盧愛紅( (西北師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院數(shù)學(xué)系甘肅蘭州 730070)730070)摘 要：本文論述了定義在E Rn上的函數(shù)的九種連續(xù)性概念，給出了九種連續(xù)的層次圖，進(jìn)而證明了一些結(jié)論. .關(guān)鍵詞：絕對(duì)連續(xù)；LipschitzLipschitz 連續(xù)；一致連續(xù)；幾乎處處連續(xù)；本性連續(xù)；近乎連續(xù)一、記號(hào)C(E)二f(x)| f(x)在E上連續(xù)；ACa, b1:表示 a,b1上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)；d(xX2):表示點(diǎn) X1與點(diǎn) X2間的距離；Lip:表示 Lipschitz 條件；U(X。):表示點(diǎn)X。的鄰域；P(x)a.e.于E:表示命題P(X)在E上幾乎處處成立；E( f不連續(xù))表示f關(guān)

2、于點(diǎn)集E上不連續(xù)的全體點(diǎn)的所成的集；二、九種連續(xù)的定義定義 1f在a,b上 Lipschitz 連續(xù)是指f在a,b上滿足 Lipschitz 條件，即 M 0 , 使得對(duì) -Xi,X2a,b，都有 | f(X2) - f (Xi) | R，若-；0,0,對(duì)a,b中任意有限個(gè)互不相交的開區(qū)nn間(ak,bk)l，當(dāng)遲(bk-ak)“時(shí)，送| f (bk) f(aj懺戰(zhàn),則稱f是a,b上的絕對(duì)連k =1 k=1續(xù)函數(shù).定義 3- ； 0,、= ()0,Xi,X2E，當(dāng) d(xX2)、時(shí)，| fg - f (xj|：；，則稱f在E上一致連續(xù).-X，E,d(x,x。)有I f(x)一f (x)|：；,

3、則稱f在點(diǎn)Xo(關(guān)于 E)連續(xù).定義 4 設(shè)(X,d)為距離空間，E X,x E,f :E R0,(x,；) 0,定義 5 若f在E中每點(diǎn)都連續(xù)，則稱f在E上連續(xù)，記為f C(E).定義 6 如果f (x)在a,b上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則稱f在a,b上按段連續(xù).定義 7 若 mE(f 不連續(xù))=0,則稱f在 E 上關(guān)于點(diǎn)集 E 幾乎處處連續(xù).定義 8 若EoE,mEo=0且C(E-Eo),則稱f關(guān)于點(diǎn)集E在E上本性連續(xù).定義 9 若-:.0,二E,mE：、：且f則稱f關(guān)于點(diǎn)集 E 在 E 上近乎連續(xù)三、一些等價(jià)命題定理 1f Lip二X/E= 0,日60，對(duì)a,b中任意有限個(gè)開區(qū)間(ak,

4、bk)；，當(dāng)二(bk-ak) -時(shí)，就有 二| f (bk) f (ak) |：；.k 1k證明=)設(shè)Lip.即存在常數(shù) M0,x.x，a,b，有| f(X2)- f(xj| 0,取d =，Ma,b中任意有限個(gè)開區(qū)間(ak,bk)；=，Mn只要I：(bk-aj：-：，就有k土nn |f(bk)-f(aQ皆M(bk-ak)：M、=；.k Ak =12-)設(shè)題設(shè)條件成立，取M=，要證f Lip.，即證：對(duì)任意 x： X2 a,b，都o(jì)存在正數(shù)M，使得| f (x) - f (xJI M| x- Xi|.有兩種可能：(1) 若 x-Xi：，貝 U 將Xi,x作m等份，記分點(diǎn)為xt0tit2:.: t

5、m=x2(m 2)，使得X一 ：；，則對(duì) 任意1乞j乞m，有2 m-X，E,d(x,x。)有I f(x)一f (x)|：；,則稱f在點(diǎn)Xo(關(guān)于 E)連續(xù).tj-tj八、：，從而由題設(shè)條件得到| f(X2) f (Xi)乞I f (tj) f (tj Ji)m o，貝Uf (Xo) -；_m(Xo)乞M (Xo)乞f (Xo)；由；的任意性得:M(xo) =m(xo).二)設(shè)M (Xo) =m(Xo)=f (Xo),則對(duì)_o，取 o，使得m(Xo) -；：m、(Xo),且M、.(Xo)乞M(X。)；，從而f (xo) -；: m.(xo)乞 M (xo)：f (xo)；,但當(dāng)x U(xo, )

6、E，有m、.(Xo)乞f (x)乞M；.(xo).故| f (x) - f (x)卜：；，即f (x)在Xo連續(xù)定理 3 函數(shù)f (x)在有限開區(qū)間(a, b)內(nèi)一致連續(xù)=f在a,b上連續(xù)，f (a o)和f(b -o)存在且有限.證明=)由f (x)在(a, b)內(nèi)一致連續(xù)，對(duì)一；o，于是存在0， Xi Y是映射，下列各條件互相等價(jià)：(1)f是連續(xù)映射；(2)Y中任一開集在f下的原像是X中的開集；(3)Y中任一閉集在f下的原像是X中的閉集；證明( (1)= (2)設(shè) V 是Y中的開集，U =fJ(V)，-xU,V 是f(x)的鄰域，由于f在x連續(xù)，x是 U 的內(nèi)點(diǎn)，由x的任意性，U二U是開集

7、.=(3)設(shè) F 是Y的閉集，則 Fc是開集，因此f(Fc)是 X 的開集，于是f(F) =(f(Fc)c是 X 的閉集.=設(shè) V 是f(x)的鄰域，U =fJ(V)，因?yàn)閒(V) = (f(V)c)c是開集，且f(V)：-U，所以 U 是x的鄰域，由定義，f在x連續(xù).四、主要結(jié)論命題 1 設(shè)Lip.，貝 UfACa,b.從定理 1 可知， 在定義 2 中， 開區(qū)間(ak,bk)l互不相交的條件不能去掉， 否則就 等價(jià)為 Lip.;特別地，f ACa,b不必有f Lip1.女口 Cantor-Lebesgue 函數(shù)f是連續(xù)函數(shù)，但不是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，這是因?yàn)樵跇?gòu)造Cantor 集 P 時(shí)，第 n

8、 步所留下的區(qū)間 FU an,j,bn,j的長(zhǎng)度 4 (Fn)=幔j to(nT )，j d32n而對(duì)任意n，、|f(bn,j) -f(an,j)|= f-f(0) =1.j丘CO注：Ca ntor-Lebesgue 函數(shù)，設(shè) Ca ntor 集為 p，在 Can tor 集中所有開集G =Gn，n =1其中2127821GnGn,kG,1 = ( n,n)G,2 = ( ,Gn,2nl= (1F1F)，k 1333333將這 2n-1 個(gè)開區(qū)間重新編號(hào)，并記為Dn,k.1,x =1,命題 4f(x)在 E 上一致連續(xù)=彳在 E 上連續(xù).由定義 3,若固定X2E,就可得到f(x)在點(diǎn)的連續(xù)性，

9、由于xo是 E 中的任意點(diǎn)，于是f (x)在 E 連續(xù).1k2nx Dn,k,線性,X Fn,其中“線性”是為了保持fn在0,1上的連續(xù)性，于是每個(gè)fn在0,1上遞增連續(xù)，而且1| fn 1(X)- fn(X)卜：班oa,x 0,1，所以(f1- fk)在0,1上kA致絕對(duì)連續(xù)，即-fk)fl在0,1上一致連續(xù)，令lim fn二f，貝U f在0,1上遞增連續(xù)f稱為 Cantor-Lebesgue 函數(shù).命題 2 設(shè)f ACa,b，則f在a,b上一致連續(xù).由定義 2,只須取其中 n =1 ,就可得f在a,b上一致連續(xù).命題 3 若函數(shù)f在 E 上 Lipschitz 連續(xù)，則f在 E 上一致連續(xù)

10、.證明 由f在 E 上 Lipschitz 連續(xù)，TM 0，使得-x：xE，有| f(x)-f(x)#M |-x |，對(duì)-； 0，取，則-x, x ” E,且|xx：時(shí)，有| f (x ) - f (x ) |_ M | x - x |：M即f在 E 上一致連續(xù).其逆不真，x10, x20, x x2且x 0 , x2 0時(shí)，有|f (X2)f (X1)|一;:X2-X|其逆不真，如 f(x)二在(0,1)內(nèi)連續(xù)，但非一致連續(xù)x命題 5 若f C(E)而 A E 則f(x)關(guān)于點(diǎn)集 E 在 A 上也處處連續(xù).其逆不真，如f(x)二tgx在 A=(-)內(nèi)連續(xù)，令E = R,A E，但f在 E 內(nèi)

11、卻不2 2連續(xù)推論 若f(x) C(E),則f(x)關(guān)于點(diǎn)集E在E上幾乎處處連續(xù)，反之不真.命題 6 若f (x)關(guān)于點(diǎn)集E在E上幾乎處處連續(xù)，則f (x)關(guān)于點(diǎn)集E在E上必本性 連續(xù)其逆不真證明 令E0=E(f不連續(xù))=E,則由假設(shè)知mE0=0且f (x)關(guān)于點(diǎn)集 E 在E - E0上 處處連續(xù)，特別地,f (x)關(guān)于點(diǎn)集 E-E。在E-E。上處處連續(xù)，即(E-E。)，亦即f(x)關(guān)于點(diǎn)集E在E上必本性連續(xù).反之，關(guān)于點(diǎn)集E在E上必本性連續(xù)的函數(shù)不一定關(guān)于點(diǎn)集 E 在 E 上幾乎處處連 續(xù).如Dirichlet 函數(shù) D(x)，關(guān)于點(diǎn)集E十：，二)在 E 上本性連續(xù)，但D(x)關(guān)于E在E上處

12、處不連續(xù)，更不幾乎處處連續(xù).命題 7 若f (x)關(guān)于點(diǎn)集E在E上本性連續(xù)，則f (x)關(guān)于點(diǎn)集E在 E 上必近乎連 續(xù)，反之不真.證明 由假設(shè)可知，E。E，使得mE。=0，且f (E -E。). - - 0，均可取E- =E0E，則mE：二mE。= 0 ，且fC(E - E )二C(E - E、：)，即f(x)關(guān)于點(diǎn)集 E 在 E 上必近乎連續(xù).反之，f (x)關(guān)于點(diǎn)集E在 E 上近乎連續(xù)不一定關(guān)于點(diǎn)集 E 在 E 上本性連續(xù).如對(duì)E =0,1，用類似 Cantor 集的構(gòu)造法可構(gòu)造一無(wú)內(nèi)點(diǎn)的閉集A E，使得 mA 0 且0,r A.于是在 E 上定義函數(shù)f（x）二A（x），則由魯津定理5（

13、91 頁(yè)）知，f（x）關(guān)于 點(diǎn)集 E在 E 上必近乎連續(xù)下證f （x）關(guān)于點(diǎn)集E在 E 上不本性連續(xù).若假設(shè)f （x）關(guān)于點(diǎn)集 E 在 E 上本性連續(xù).則存在E0E,mE0=0，且f C（E - E0）， 又記G =E - A.則易證E - E。=（A - E。）（G - E。），另外，由mA 0, A （A - E。）一E。， 易推得m（ A - E。） 0，因而A - E。= ，故存在x A - E。A.又由于 A 是無(wú)內(nèi)點(diǎn)的閉集，從而-U（x。），必有在y0U（x0）G，且G二0,1 A二（0,1） - A = （0,1） - AC為開集，因而存在U（y。）U （x。廠G，使得mU（x。

14、）- G mU（y。）0,再由U（x。廠E U （x。）- （G - E。） E。，便可推得mU（x。）- （G - E。）0，由上式知,U（x0）-（G -E。）=0，故存在 二U（x。廠（G -E。），于是有f）=0, f（x。）=1且（E -E0），從而易知f （x）關(guān)于點(diǎn)集E -E。在點(diǎn)A-E。）處不連續(xù)，此與假設(shè)f C（E - E。）矛盾，因而f（x）二A（X）關(guān)于點(diǎn)集 E 在 E 上不本性連續(xù).五、函數(shù)連續(xù)的九層圖示（按箭頭方向，函數(shù)連續(xù)的層次逐漸降低）六、應(yīng)用例 1.若f(x)是E=(：,；)上的單調(diào)遞增函數(shù)，則 關(guān)于f(x)在 E 上幾乎處處連 續(xù)，本性連續(xù)，近乎連續(xù)證明E=E

15、(f不連續(xù))，至多是一可數(shù)集，故由九層圖知，f(x)在 E 上幾乎處處連 續(xù)，本性連續(xù)，近乎連續(xù)例 2.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 E 上可導(dǎo)且函數(shù)有界，則函數(shù)f(x)在區(qū)間 E 上一致連續(xù).證明 利用微分中值定理知，對(duì)-Xi, X2a, b, Xi：X2，三(xiX),使得| f(X2) - f (Xi)|=| f ()(X2-Xi)|_M | X2- XiI，易見，f(x)在區(qū)間 E 上 Lipschitz 連續(xù)，由九層圖可知，f是一致連續(xù)的LipLip 連續(xù)絕對(duì)連續(xù)致連續(xù)連續(xù)按段連續(xù)至多不連續(xù)點(diǎn)幾乎處處連續(xù)本性連續(xù)緊集近乎連續(xù)例 3.若函數(shù)f(x)是E二a,b上的囿變函數(shù),則f (x)關(guān)于點(diǎn)集

16、E在E上本性連續(xù).證明 若f (x)是E =a,b上的囿變函數(shù)，故由 Jordan 分解定理知，f (x)可表為兩個(gè) 單調(diào)遞增函數(shù)之差，因而仍由(1，151 頁(yè))知，集合E(f不連續(xù))至多可數(shù)，從而由 九層圖可知，關(guān)于f (x)關(guān)于點(diǎn)集E在 E 上本性連續(xù).QQ例 4.設(shè) p 為 Cantor 集，并將 p 分解為 p = pn，其中每個(gè)pn嚴(yán)，且當(dāng) i = j 時(shí)n=lPiPj=4，如果定義函數(shù)f(X)= * 0；：需補(bǔ)匚P2,，則f (X)顯然是0,1上的無(wú)界函 數(shù).證明：f(x)關(guān)于 E 在 E 上幾乎處處連續(xù).證明 由9(55 頁(yè))知，mP = 0 故由九層圖可知，只要我們能夠證明E(f不連續(xù))p,mE(f不連續(xù))=0即可.下面證明E(f不連續(xù))p.因G引0,1 - p珂0,1廠pc為開集，故-X。G,U(Xo),U(x。)G0,1, 從而0，有f(U(X0)-0,1) = f(U(X0)=x。 U(0,；)(原點(diǎn)的；鄰域),所以，f(x)關(guān)于點(diǎn)集E =0,1在 G 上每一點(diǎn)處都連續(xù)，于是E(f不連續(xù)）0,1-G=p.參考文獻(xiàn):1匡繼昌，實(shí)分析與泛函分析，北京：高等教育出版社，2002, 29-155.2熊金城，點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義，北京：高等教育出版社，2001, 23-58.3林謙，函數(shù)在點(diǎn)集 E Rn上連續(xù)的六個(gè)層次，云南師大學(xué)報(bào)（自然版），