pageRank 詳細解析具體例子

1、PageRank解釋方法一1. PageRank的核心思想                                             &

2、#160;                                                (1) R(x)表示x的

3、PageRank，B(x)表示所有指向x的網(wǎng)頁。      公式(1)的意思是一個網(wǎng)頁的重要性等于指向它的所有網(wǎng)頁的重要性相加之和。粗看之下，公式(1)將核心思想準確地表達出來了。但仔細觀察就會發(fā)現(xiàn)，公式(1)有一個缺陷：無論J有多少個超鏈接，只要J指向I，I都將得到與J一樣的重要性。當J有多個超鏈接時，這個思想就會造成不合理的情況。例如：一個新開的網(wǎng)站N只有兩個指向它的超鏈接，一個來自著名并且歷史悠久的門戶網(wǎng)站F，另一個來自不為人知的網(wǎng)站U。根據(jù)公式(1)，就會得到N比F更優(yōu)質(zhì)的結論。這個結論顯然不符合人們的常識。彌補這個缺陷的一個簡單方法是

4、當J有多個超鏈接（假設個數(shù)為N），每個鏈接得到的重要性為R(j)/N。于是公式(1)就變成公式（2）：                                                                      

5、0;                          （2） N(j)表示j頁面的超鏈接數(shù) 圖2 來自Lawrence Page的文章     從圖2可以看出，如果要得到N比F更優(yōu)質(zhì)的結論，就要求N得到很多重要網(wǎng)站的超鏈接或者海量不知名網(wǎng)站的超鏈接。而這是可接受的。因此可以認為公式(2)將核心思想準確地表達出來了。為了得到標準化的計算結果，在公式(2)的基礎上增加一個常數(shù)C，得到公式(3)：   

6、;                                                                                     

7、0;           (3) 2.  計算，實例由公式(3)可知，PageRank是遞歸定義的。換句話就是要得到一個頁面的PageRank，就要先知道另一些頁面的PageRank。因此需要設置合理的PageRank初始值。不過，如果有辦法得到合理的PageRank初始值，還需要這個算法嗎？或者說，這個嚴重依賴于初始值的算法有什么意義嗎？依賴于合理初始值的PageRank算法是沒意義的，那么不依賴于初始值的PageRank算法就是有意義的了。也就是說，如果存在一種計算方法，使得無論怎樣設置初始值，最后都會收斂到同

8、一個值就行了。要做到這樣，就要換一個角度看問題，從線性代數(shù)的角度看問題。將頁面看作節(jié)點，超鏈接看作有向邊，整個互聯(lián)網(wǎng)就變成一個有向圖了。此時，用鄰接矩陣M表示整個互聯(lián)網(wǎng)，若第I個頁面有存在到第J個頁面的超鏈接，那么矩陣元素mij=1，否則mij=0。對于圖3有矩形M= 0, 1, 1, 0,             0, 0, 0, 1,            1, 0, 0, 0,           

9、1, 1, 1, 0                                                                                 

10、0;  圖3觀察矩陣M可發(fā)現(xiàn)，M的第I行表示第I個網(wǎng)頁指向的網(wǎng)頁，M的第J列表示指向J的網(wǎng)頁。如果將M的每個元素都除于所在行的全部元素之和，然后再將M轉置（交換行和列），得到MT。MT的每一行的全部元素之和不就正好是公式(3)中的 嗎？例如圖3可以得到這樣的矩陣：MT= 0,   0,  1, 1/3,        1/2, 0,  0, 1/3,       1/2,  0,  0, 1/3,      

11、0; 0,   1,   0,  0   將R看作是一個N行1列的矩陣，公式(3)變?yōu)楣剑?）R = C MT R  (4)在公式(4)中，R可以看作MT的特征向量，其對應的特征值為1 / C（看不明白這句話，可以回憶下線性代數(shù)中對特征向量的定義對于矩陣A，若存在著列向量X和一個數(shù)c，使得AX=cX，則X稱為A的特征向量，c稱為A的特征值）。冪法(power method）計算主特征向量與初始值無關，因此只要把R看作主特征向量計算，就可以解決初始值的合理設置問題。冪法得到的結果與初始值無關，是因為最終都會收斂到某個值。因此使用冪法之

12、前，要確保能夠收斂。但是，在互聯(lián)網(wǎng)的超鏈接結構中，一旦出現(xiàn)封閉的情況，就會使得冪法不能收斂。所謂的封閉是指若干個網(wǎng)頁互相指向對方，但不指向別的網(wǎng)頁，具體的例子如圖4所示：                                     圖4 來自Soumya Sanyal的PPT上圖4個綠色網(wǎng)頁就是封閉情況。這種情況會使得這些網(wǎng)頁的PageRank在計算的時候不斷地累加，從而使得結果不能收

13、斂。仔細研究就會發(fā)現(xiàn)紅色網(wǎng)頁的PageRank給了綠色網(wǎng)頁后，綠色網(wǎng)頁就將這些PageRank吞掉了。Larry Page將這種情況稱為Rank Sink。如果沿著網(wǎng)頁的鏈接一直點下去，發(fā)現(xiàn)老是在同樣的幾個網(wǎng)頁中徘徊，怎么辦？沒錯，把當前頁面關掉，再開一個新的網(wǎng)頁。上述情況正好與Rank Sink類似，也就意味著可以借鑒這個思想解決Rank Sink。因此，在公式(3)中的基礎上加一個逃脫因子E，得到：                           

14、                                                                     (5)E(i)表示第i個網(wǎng)頁的逃脫因子   將(5)變成矩陣形式，可得：R = C MT&#

15、160;R + CE = C( MT R + E )其中列向量R的1范數(shù)(即R的全部矩陣元素相加)為1將上式重寫為R = C( MT + E * 1 ) R (6)1是指一行N列的行向量，且每個元素都是1   在公式(6)中，只要將R看作(MT + E * 1)的特征向量，就可以同時解決初始值設置問題和封閉的情況。 3.  資料共享   找資料是簡單的事，但要找到好資料就不那么容易了。因此，這一小節(jié)是分享我找到的一些比較好的資料。1. PageRank之父的文章: The PageRank Citatio

16、n Ranking Bringing Order to the Web:8090/422/2. 一個對PageRank進行解釋的PPT，講解得很好: The PageRank Citation Ranking Redone3. 不錯的PageRank科普文: Google 的秘密- PageRank 徹底解說 中文版4. 本文所用到的線性代數(shù)相關知識pageRank二1 基本思想：       如果網(wǎng)頁T存在一個指向網(wǎng)頁A的連接，則表明T的所有者認為A比較重要，從而把T的一部分重要性得

17、分賦予A。這個重要性得分值為：PR（T）/L(T)    其中PR（T）為T的PageRank值，L(T)為T的出鏈數(shù)        則A的PageRank值為一系列類似于T的頁面重要性得分值的累加。        即一個頁面的得票數(shù)由所有鏈向它的頁面的重要性來決定，到一個頁面的超鏈接相當于對該頁投一票。一個頁面的PageRank是由所有鏈向它的頁面（鏈入頁面）的重要性經(jīng)過遞歸算法得到的。一個有較多鏈入的頁面會有較高

18、的等級，相反如果一個頁面沒有任何鏈入頁面，那么它沒有等級。2 PageRank簡單計算：       假設一個由只有4個頁面組成的集合：A，B，C和D。如果所有頁面都鏈向A，那么A的PR（PageRank）值將是B，C及D的和。              繼續(xù)假設B也有鏈接到C，并且D也有鏈接到包括A的3個頁面。一個頁面不能投票2次。所以B給每個頁面半票。以同樣的邏輯，D投出的票只有三分之一算到了A的Pag

19、eRank上。             換句話說，根據(jù)鏈出總數(shù)平分一個頁面的PR值。       例子：        如圖1 所示的例子來說明PageRank的具體計算過程。             

20、;                        3  修正PageRank計算公式：         由于存在一些出鏈為0，也就是那些不鏈接任何其他網(wǎng)頁的網(wǎng)， 也稱為孤立網(wǎng)頁，使得很多網(wǎng)頁能被訪問到。因此需要對 PageRank公式進行修正，即在簡單公式的基

21、礎上增加了阻尼系數(shù)（damping factor）q， q一般取值q=0.85。      其意義是，在任意時刻，用戶到達某頁面后并繼續(xù)向后瀏覽的概率。 1- q= 0.15就是用戶停止點擊，隨機跳到新URL的概率）的算法被用到了所有頁面上，估算頁面可能被上網(wǎng)者放入書簽的概率。      最后，即所有這些被換算為一個百分比再乘上一個系數(shù)q。由于下面的算法，沒有頁面的PageRank會是0。所以，Google通過數(shù)學系統(tǒng)給了每個頁面一個最小值。  

22、         這個公式就是.S Brin 和 L. Page 在The Anatomy of a Large- scale Hypertextual Web Search Engine Computer Networks and ISDN Systems 定義的公式。     所以一個頁面的PageRank是由其他頁面的PageRank計算得到。Google不斷的重復計算每個頁面的PageRank。如果給每個頁面一個隨機PageRank值（非0），那么經(jīng)過不斷的重復計算，

23、這些頁面的PR值會趨向于正常和穩(wěn)定。這就是搜索引擎使用它的原因。 4. PageRank冪法計算(線性代數(shù)應用)4.1 完整公式：關于這節(jié)內(nèi)容，可以查閱：谷歌背后的數(shù)學首先求完整的公式：Arvind Arasu 在Junghoo Cho Hector Garcia - Molina, Andreas Paepcke, Sriram Raghavan. Searching the Web 更加準確的表達為： 是被研究的頁面，是鏈入頁面的數(shù)量，是鏈出頁面的數(shù)量，而N是所有頁面的數(shù)量。PageRank值是一個特殊矩陣中的特征向量。這個特征向量為： R是如下等式的一個解：

24、如果網(wǎng)頁i有指向網(wǎng)頁j的一個鏈接，則否則0。4.2 使用冪法求PageRank      那我們PageRank 公式可以轉換為求解的值，      其中矩陣為 A = q  × P + ( 1 一 q) *  /N 。 P 為概率轉移矩陣，為 n  維的全 1 行. 則 =           冪法計算過程

25、如下：      X  設任意一個初始向量, 即設置初始每個網(wǎng)頁的 PageRank值均。一般為1.     R = AX;     while  (1 )(            if ( l X - R I  <  ) /如果最后兩次的結果近似或者相

26、同，返回R                  return R;               else                  

27、X =R;               R = AX;             4.3 求解步驟：一、 P概率轉移矩陣的計算過程:        先建立一個網(wǎng)頁間的鏈接關系的模型,即我們需要合適的數(shù)據(jù)結構表示頁面間的連接關系。    

28、60; 1) 首先我們使用圖的形式來表述網(wǎng)頁之間關系：       現(xiàn)在假設只有四張網(wǎng)頁集合：A、B、C，其抽象結構如下圖1：                                  

29、60;  圖1 網(wǎng)頁間的鏈接關系      顯然這個圖是強連通的（從任一節(jié)點出發(fā)都可以到達另外任何一個節(jié)點）。      2）我們用矩陣表示連通圖：       用鄰接矩陣 P表示這個圖中頂點關系 ，如果頂（頁面）i向頂點（頁面）j有鏈接情況 ，則pij   =   1 ，否則pij   =   0 。如圖2所示。如果

30、網(wǎng)頁文件總數(shù)為N ， 那么這個網(wǎng)頁鏈接矩陣就是一個N x N  的矩 陣 。       3）網(wǎng)頁鏈接概率矩陣       然后將每一行除以該行非零數(shù)字之和，即（每行非0數(shù)之和就是鏈接網(wǎng)個數(shù)）則得到新矩陣P，如圖3所示。 這個矩陣記錄了 每個網(wǎng)頁跳轉到其他網(wǎng)頁的概率，即其中i行j列的值表示用戶從頁面i 轉到頁面j的概率。圖1 中A頁面鏈向B、C，所以一個用戶從A跳轉到B、C的概率各為1/2。    

31、;  4）概率轉移矩陣P       采用P 的轉置矩 陣進行計算， 也就是上面提到的概率轉移矩陣P 。  如圖4所示：                    圖2  網(wǎng)頁鏈接矩陣：         

32、                             圖3  網(wǎng)頁鏈接概率矩陣：                   

33、;          圖4  P 的轉置矩 陣 二、 A矩陣計算過程。      1）P概率轉移矩陣  :             2）/N 為：           3）A矩陣為：q  × P + ( 1 一 q) *  /N = 0.85  × P + 0.15  * /N           初始每個網(wǎng)頁的 PageRank值均