一元二次方程的解法總結(jié)

1、一元二次方程的解法(直接開平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a0）。頂點(diǎn)式： y=a(x-h)²+k(a0,a、h、k為常數(shù))交點(diǎn)式 ： y=a(x-x)(x-x) (a0) 有交點(diǎn)A（x，0）和 B（x，0）的拋物線，即b²-4ac0 .直接開平方法：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)²=n(n0)的方程，其解為x=m± 配方法:1.將此一元二次方

2、程化為ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程滿足有實(shí)根) 2.將二次項(xiàng)系數(shù)化為1 3.將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè) 4.等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 5.將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式 6.左右同時(shí)開平方 7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程為一般式：ax²+bx+c=0 （a0）2.確定判別式，計(jì)算（=b²-4ac）；3.若>0，該方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：x=若=0，該方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:x=x=若<0，該方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)無實(shí)數(shù)根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“

3、完全平方公式”兩種），另外還有“十字相乘法”，因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。用因式分解法解一元二次方程的步驟1. 將方程右邊化為0；2. 將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；3. 令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；4. 解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=ax²+bx+c(a0)。(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（?。┲禃r(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)²+k(a0)

4、。(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a0)。增減性當(dāng)a>0且y在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x增大而增大，y在對(duì)稱軸左側(cè)則相反，同增同減。當(dāng)a<0且y在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x增大而減小，y在對(duì)稱軸左側(cè)則相反，大小小大。常用公式總結(jié)：  ；   一、 根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

5、根，解得；方程（2）沒有實(shí)數(shù)根 ， 解得；于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是其中，的整數(shù)值有或當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。解得： 所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。說明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。例1：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。分析：對(duì)于來說，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要確定 或的正負(fù)情況。

6、因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負(fù)情況。解：，4×2×(7)650 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 設(shè)方程的兩個(gè)根為， 0 原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。 說明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。 例2：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。 分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利

7、用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。解法一：把代入原方程，得： 即， 解得當(dāng)時(shí)，原方程均可化為：， 解得：方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：， ，把代入，可得： 把代入，可得：，即 解得 方程的另一個(gè)根為4，的值為3或1。 說明：比較起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡(jiǎn)單。例3：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。 解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ，解得0 設(shè)方程兩根為 ;則， 整理得： 解得：

8、又， 說明：當(dāng)求出后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。 四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。 例5：已知、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問和能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說明理由， 解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根， 則有 又、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得： 假設(shè)、同號(hào)，則有兩種可能： （1） （2） 若， 則有： ；即有：,解不等式組得時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。若 ， 則有：;即有：,解不等式組，得；又，當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào) 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研

9、究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。 例：已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。 分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。 解法一：由于是方程的實(shí)數(shù)根，所以 設(shè)，與相加，得： ） （變形目的是構(gòu)造和）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有： ， 得： =0 解法二：由于、是方程的實(shí)數(shù)根， 說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解

10、法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題，當(dāng)根是無理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。 七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。 例8：已知兩方程和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。 分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。 解：設(shè)兩方程的相同根為， 根據(jù)根的意義，有 和 兩式相減，得 當(dāng)時(shí)， ，方程的判別式方程無實(shí)

11、數(shù)解當(dāng)時(shí)， 有實(shí)數(shù)解 代入原方程，得，所以于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為 說明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認(rèn)的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解： 當(dāng)時(shí)，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為：；（2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：且另外還應(yīng)注意：求得的的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義。一、填空題：1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么 。2、已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則 。3、已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則 。4、已知是方程的兩個(gè)根，那么： ； 。5、已知關(guān)于的一元二次方程

12、的兩根為和，且，則 ； 。6、如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是 ，的值為 。7、已知是的一根，則另一根為 ，的值為 。8、一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是和，那么這個(gè)一元二次方程為： 。二、求值題：1、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。2、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。3、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5、已知關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的值及方程的兩個(gè)根。 6、已知方程和有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題：1、實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，方程有正的實(shí)數(shù)根？ 2、已知關(guān)于的一