EM算法TheEMAlgorithm

1、（EM算法）The EM Algorithm EM是我一直想深入學習的算法之一，第一次聽說是在NLP課中的HMM那一節(jié)，為了解決HMM的參數(shù)估計問題，使用了EM算法。在之后的MT中的詞對齊中也用到了。在Mitchell的書中也提到EM可以用于貝葉斯網(wǎng)絡中。下面主要介紹EM的整個推導過程。1. Jensen不等式 回顧優(yōu)化理論中的一些概念。設f是定義域為實數(shù)的函數(shù)，如果對于所有的實數(shù)x，那么f是凸函數(shù)。當x是向量時，如果其hessian矩陣H是半正定的（），那么f是凸函數(shù)。如果或者，那么稱f是嚴格凸函數(shù)。 Jensen不等式表述如下： 如果f是凸函數(shù)，X是隨機變量，那么 特別地，如果f是嚴格凸函

2、數(shù)，那么當且僅當，也就是說X是常量。 這里我們將簡寫為。 如果用圖表示會很清晰： 圖中，實線f是凸函數(shù)，X是隨機變量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。（就像擲硬幣一樣）。X的期望值就是a和b的中值了，圖中可以看到成立。 當f是（嚴格）凹函數(shù)當且僅當-f是（嚴格）凸函數(shù)。 Jensen不等式應用于凹函數(shù)時，不等號方向反向，也就是。2. EM算法 給定的訓練樣本是，樣例間獨立，我們想找到每個樣例隱含的類別z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估計如下： 第一步是對極大似然取對數(shù)，第二步是對每個樣例的每個可能類別z求聯(lián)合分布概率和。但是直接求一般比較困難，因為有隱藏變量z存在，但

3、是一般確定了z后，求解就容易了。 EM是一種解決存在隱含變量優(yōu)化問題的有效方法。竟然不能直接最大化，我們可以不斷地建立的下界（E步），然后優(yōu)化下界（M步）。這句話比較抽象，看下面的。 對于每一個樣例i，讓表示該樣例隱含變量z的某種分布，滿足的條件是。（如果z是連續(xù)性的，那么是概率密度函數(shù)，需要將求和符號換做積分符號）。比如要將班上學生聚類，假設隱藏變量z是身高，那么就是連續(xù)的高斯分布。如果按照隱藏變量是男女，那么就是伯努利分布了?？梢杂汕懊骊U述的內(nèi)容得到下面的公式： （1）到（2）比較直接，就是分子分母同乘以一個相等的函數(shù)。（2）到（3）利用了Jensen不等式，考慮到是凹函數(shù)（二階導數(shù)小于0

4、），而且 就是的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician規(guī)則） 設Y是隨機變量X的函數(shù)（g是連續(xù)函數(shù)），那么 （1） X是離散型隨機變量，它的分布律為，k=1,2,。若絕對收斂，則有 （2） X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為，若絕對收斂，則有 對應于上述問題，Y是，X是，是，g是到的映射。這樣解釋了式子（2）中的期望，再根據(jù)凹函數(shù)時的Jensen不等式：可以得到（3）。 這個過程可以看作是對求了下界。對于的選擇，有多種可能，那種更好的？假設已經(jīng)給定，那么的值就決定于和了。我們可以通過調整這兩個概率使下界不斷上升，以逼近的真實值，那么什么時候算是調整好了呢？當不等式變成等式時，

5、說明我們調整后的概率能夠等價于了。按照這個思路，我們要找到等式成立的條件。根據(jù)Jensen不等式，要想讓等式成立，需要讓隨機變量變成常數(shù)值，這里得到： c為常數(shù)，不依賴于。對此式子做進一步推導，我們知道，那么也就有，（多個等式分子分母相加不變，這個認為每個樣例的兩個概率比值都是c），那么有下式： 至此，我們推出了在固定其他參數(shù)后，的計算公式就是后驗概率，解決了如何選擇的問題。這一步就是E步，建立的下界。接下來的M步，就是在給定后，調整，去極大化的下界（在固定后，下界還可以調整的更大）。那么一般的EM算法的步驟如下：循環(huán)重復直到收斂 （E步）對于每一個i，計算 （M步）計算 那么究竟怎么確保EM

6、收斂？假定和是EM第t次和t+1次迭代后的結果。如果我們證明了，也就是說極大似然估計單調增加，那么最終我們會到達最大似然估計的最大值。下面來證明，選定后，我們得到E步 這一步保證了在給定時，Jensen不等式中的等式成立，也就是 然后進行M步，固定，并將視作變量，對上面的求導后，得到，這樣經(jīng)過一些推導會有以下式子成立： 解釋第（4）步，得到時，只是最大化，也就是的下界，而沒有使等式成立，等式成立只有是在固定，并按E步得到時才能成立。 況且根據(jù)我們前面得到的下式，對于所有的和都成立 第（5）步利用了M步的定義，M步就是將調整到，使得下界最大化。因此（5）成立，（6）是之前的等式結果。 這樣就證明

7、了會單調增加。一種收斂方法是不再變化，還有一種就是變化幅度很小。 再次解釋一下（4）、（5）、（6）。首先（4）對所有的參數(shù)都滿足，而其等式成立條件只是在固定，并調整好Q時成立，而第（4）步只是固定Q，調整，不能保證等式一定成立。（4）到（5）就是M步的定義，（5）到（6）是前面E步所保證等式成立條件。也就是說E步會將下界拉到與一個特定值（這里）一樣的高度，而此時發(fā)現(xiàn)下界仍然可以上升，因此經(jīng)過M步后，下界又被拉升，但達不到與另外一個特定值一樣的高度，之后E步又將下界拉到與這個特定值一樣的高度，重復下去，直到最大值。 如果我們定義 從前面的推導中我們知道，EM可以看作是J的坐標上升法，E步固定，

8、優(yōu)化，M步固定優(yōu)化。3. 重新審視混合高斯模型 我們已經(jīng)知道了EM的精髓和推導過程，再次審視一下混合高斯模型。之前提到的混合高斯模型的參數(shù)和計算公式都是根據(jù)很多假定得出的，有些沒有說明來由。為了簡單，這里在M步只給出和的推導方法。E步很簡單，按照一般EM公式得到： 簡單解釋就是每個樣例i的隱含類別為j的概率可以通過后驗概率計算得到。 在M步中，我們需要在固定后最大化最大似然估計，也就是 這是將的k種情況展開后的樣子，未知參數(shù)和。 固定和，對求導得 等于0時，得到 這就是我們之前模型中的的更新公式。 然后推導的更新公式?？粗暗玫降?在和確定后，分子上面的一串都是常數(shù)了，實際上需要優(yōu)化的公式是：

9、 需要知道的是，還需要滿足一定的約束條件就是。 這個優(yōu)化問題我們很熟悉了，直接構造拉格朗日乘子。 還有一點就是，但這一點會在得到的公式里自動滿足。 求導得， 等于0，得到 也就是說再次使用，得到 這樣就神奇地得到了。 那么就順勢得到M步中的更新公式：的推導也類似，不過稍微復雜一些，畢竟是矩陣。結果在之前的混合高斯模型中已經(jīng)給出。4. 總結 如果將樣本看作觀察值，潛在類別看作是隱藏變量，那么聚類問題也就是參數(shù)估計問題，只不過聚類問題中參數(shù)分為隱含類別變量和其他參數(shù)，這猶如在x-y坐標系中找一個曲線的極值，然而曲線函數(shù)不能直接求導，因此什么梯度下降方法就不適用了。但固定一個變量后，另外一個可以通過

10、求導得到，因此可以使用坐標上升法，一次固定一個變量，對另外的求極值，最后逐步逼近極值。對應到EM上，E步估計隱含變量，M步估計其他參數(shù)，交替將極值推向最大。EM中還有“硬”指定和“軟”指定的概念，“軟”指定看似更為合理，但計算量要大，“硬”指定在某些場合如K-means中更為實用（要是保持一個樣本點到其他所有中心的概率，就會很麻煩）。 另外，EM的收斂性證明方法確實很牛，能夠利用log的凹函數(shù)性質，還能夠想到利用創(chuàng)造下界，拉平函數(shù)下界，優(yōu)化下界的方法來逐步逼近極大值。而且每一步迭代都能保證是單調的。最重要的是證明的數(shù)學公式非常精妙，硬是分子分母都乘以z的概率變成期望來套上Jensen不等式，前人都是怎么想到的。 在M