勾股定理典型例題歸類總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上9.已知RtABC的周長為，其中斜邊，求這個三角形的面積。10. 如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣.(1)如圖，以RtABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的面積、之間有何關(guān)系？并說明理由。（2）如圖，以RtABC的三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積、之間有何關(guān)系？（3）如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，請?zhí)接憙蓚€陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說明理由。（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”）題型二：利用勾股定理測量長度例1. 如果梯子的底端離建筑

2、物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？跟蹤練習(xí)：1.如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.2.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A、12米 B、13米 C、14米 D、15米3.如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A、8米 B、10米 C、12米 D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用例

3、3. 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：1. 如圖，正方形ABCD中，E為BC邊的中點，F(xiàn)點CD邊上一點，且DF=3CF，求證：AEF=90°題型四：利用勾股定理求線段長度例1. 如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.跟蹤練習(xí)：1.如圖，將一個有45度角的三角板頂點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點B在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直

4、線成30°角，求三角板的最大邊AB的長.2.如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，D為AC的中點，DEDF，交AB于E，交BC于F，（1）求證：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF的長.3.如圖，CA=CB,CD=CE,ACB=ECD=90°,D為AB邊上的一點.若AD=1，BD=3，求CD的長.題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例1. 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個小正方形的邊長都是1，ABC的三個

5、頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，試判斷ABC的形狀，并說明理由.（1）求證：ABD=90°（2）求的值2.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（   ）A、9，12，15 B、7,24,25 C、 D、，3.在ABC中，下列說法B=C-A；A:B:C=3：4：5；a:b:c=5:4:3；：=1:2:3，其中能判斷ABC為直角三角形的條件有（   ）A、2個 B、3個 C、4個 D、5個4.在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個是直角？（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3

6、）a=2，A、2個 B、3個 C、4個 D、5個5.已知ABC的三邊長為a、b、c，且滿足，則此時三角形一定是（   ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、銳角三角形6.在ABC中，若a=，b=2n，c=，則ABC是（）A、銳角三角形 B、鈍角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形7.如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC是（   ）A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、銳角三角形或鈍角三角形8.已知在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，下列說法中，錯誤的是（     ）A、如果C-B=A,那么C=90° B、如果

7、C=90°，那么C、如果（a+b）（a-b）=，那么A=90° D、如果A=30°，那么AC=2BC9.已知ABC的三邊分別為a，b，c，且a+b=3，ab=1，求的值，試判斷ABC的形狀，并說明理由10.觀察下列各式：，根據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個式子為_11.已知，mn，m、n為正整數(shù)，以，2mn，為邊的三角形是_三角形.12.一個直角三角形的三邊分別為n+1，n-1，8，其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題6. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長.跟蹤練習(xí)1.如圖，ABC為等腰直角

8、三角形，BAC=90°，E、F是BC上的點，且EAF=45°，試探究間的關(guān)系，并說明理由. 題型七：關(guān)于翻折問題例題7.如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.跟蹤練習(xí)1.如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°，把ADC沿直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4,求BC的長.(一) 折疊直角三角形1.如圖，在ABC中，A = 90°，點D為AB上一點，沿CD折疊ABC，點A恰好落在BC邊上的處，AB=4，AC=3，求BD的長。2. 如圖，RtABC中，B=

9、90°，AB=3，AC=5將ABC折疊使C與A重合，折痕為DE，求BE的長（二）折疊長方形1.如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=5，F(xiàn)為CD上一點，將長方形沿折痕AF折疊，點D恰好落在BC上的點E處，求CF的長。2. 如圖，長方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折疊，使點D與點B重合，點C與C'重合. （1）求DE的長;（2）求折痕EF的長.3. （2013常德）如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D處若AB=3，AD=4，則ED的長為（）4. 如圖，長方形ABCD中，AB=6，AD=8，沿BD折疊使A到A

10、處DA交BC于F點. （1）求證：FB=FE（2）求證：CABD（3）求DBF的面積7. 如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，將ADE沿AE對折至AFE，延長EF交邊BC于點G,G為BC的中點，連結(jié)AG、CF. （1）求證：AGCF;（2）求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？ 例

11、2.一輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車要通過一個直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過嗎？跟蹤練習(xí)：1. 某市氣象臺測得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向移動，距風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請求出遭受風(fēng)暴影響的時間；如果沒有受影響，請說明理由。2.一輛裝滿貨物的卡車,其外形高2.5米,寬1.6米,要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?3.有一個邊長為50dm 的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整數(shù)）4.如圖，鐵

12、路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)于最短性問題例1、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）

13、例2.跟蹤練習(xí)：1.如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？2.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？BA5313.一個長方體盒子的長、寬、高分別為8cm，6cm，12cm,一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)腂點,你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？BAA4.如圖將一根13

14、.5厘米長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎？3？A題型十：勾股定理與特殊角（一） 直接運用30°或45°的直角三角形1.如圖，在ABC中，C = 90°，B = 30°，AD是ABC的角平分線，若AC=，求AD的長。 2.如圖，在ABC中，ACB = 90°，AD是ABC的角平分線，CDAB于D，A= 30°，CD=2，求AB的長。 3.如圖，在ABC中，ADBC于D，B= 60°，,C= 45°，AC=2，求BD的長。 （二） 作垂線構(gòu)造30°或45

15、°的直角三角形（1） 將105°轉(zhuǎn)化為45°和60°1.如圖，在ABC中，B= 45°，A=105°，AC=2，求BC的長。 2.如圖，在四邊形ABCD中，A=C= 45°，ADB=ABC=105°,若AD=2,求AB的長；若AB+CD=+2，求AB的長。ABDC （2）將75°轉(zhuǎn)化為30°和45°3. 如圖，在ABC中，B= 45°，BAC=75°，AB= ，求BC的長。 題型十一：運用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如圖，在ABC中，C= 90&#

16、176;，AD平分CAB交CB于D，CD=3,BD=5，求AD的長。 2. 如圖，在ABC中，ADBC于D，且CAD=2BAD,若BD=3，CD=8，求AB的長。 (二)巧用“連環(huán)勾”列方程1. 如圖，在ABC中，AB=5，BC=7，AC=,求. 2. 如圖，在ABC中，ACB= 90°，CDAB于D，AC=3，BC=4，求AD的長。3. 如圖，ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AD=1，BD=4，求AC的長4.如圖，ABC中，ACB=90°，CDAB于D，CD=3，BD=4，求AD的長題型十二：勾股定理與分類討論（一） 銳角與鈍角不明時需分類討論1. 在A

17、BC中，AB=AC=5，求BC的長2. 在ABC中，AB=15，AC=13，AD為ABC的高，且AD=12，求ABC的面積。（二）腰和底不明時需分類討論3.如圖1，ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為射線AC上一點，且ABD是等腰三角形，求ABD的周長.（三）直角邊和斜邊不明時需分類討論1.已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長為_2.在ABC中，ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD，求CD的長3.如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個?寫出落在x軸上的頂點

18、坐標(biāo).題型十三：1.如圖1，ABC中，CA=CB，ACB=90°，D為AB的中點，M、N分別為AC、BC上一點，且DMDN. （1）求證：CM+CN=BD（2）如圖2，若M、N分別在AC、CB的延長線上，探究CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。   2.已知BCD=，BAD=，CB=CD. （1）如圖1，若=90°，求證：AB+AD=AC；（2）如圖2，若=90°，求證：AB-AD=AC；（3）如圖3，若=120°，=60°，求證：AB=AD=AC；（4）如圖3，若=120°，求證：AB-AD=AC； &#

19、160;    證明1.如圖，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90°，M、N分別為AC、BD的中點，連MN、ON.求證：MN=ON.2.已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，D為BC的中點，AE=CF，連DE、EF. （1）如圖1，若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=DE；（2）如圖2，若E、F分別在BA、AC的延長線上，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由  3.如圖，ABD中，O為AB的中點，C為DO延長線上一點，ACO=135°，ODB=45°探究OD、OC、AC之間相等

20、的數(shù)量關(guān)系4.如圖，ABD是等腰直角，BAD=90°，BCAD，BC=2AB，CE平分BCD，交AB于E，交BD于H求證：（1）DC=DA；（2）BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖1.如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為2.如圖，每個小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個三角形，使它的三邊長分別是3,2，且三角形的三個頂點都在格點上3.如圖，每個小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個邊長為的正方形，且正方形的四個頂點在格點上4.在圖中以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點只有3個5.如圖，在4個均勻由16個小正方形組成的網(wǎng)格正方

21、形中，各有一個格點三角形，那么這4個三角形中，與眾不同的是_中的三角形，圖4中最長邊上的高為_  6.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：（1）畫一條線段MN，使MN=；（2）畫ABC，三邊長分別為3，2。7.如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，線段AB的端點在格點上  （1）圖1中以AB為腰的等腰三角形有_個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊長（2）圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有_個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊上的高題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1.如圖，在ABC中，點D為BC邊上一點，且AB=10，BD=6，AD=8，AC=7，其求CD的長.2.如圖，在四邊形ABCD中，B=90°，AB=2，CD=5，AD=4，求.3.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線，AB=5,AC=13,AD=6，求BC的長.4.已知ABC中，CA=CB, ACB=，點P為ABC內(nèi)一點，將CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到CD，