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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)論之同余問題余數(shù)問題是數(shù)論知識板塊中另一個內(nèi)容豐富,題目難度較大的知識體系,也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識點(diǎn),所以學(xué)好本講對于學(xué)生來說非常重要。許多孩子都接觸過余數(shù)的有關(guān)問題,并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基本暈菜了!”余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義,三大余數(shù)定理(加法余數(shù)定理,乘法余數(shù)定理,和同余定理),及中國剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。知識點(diǎn)撥:一、帶余除法的定義及性質(zhì):一般地,如果a是整數(shù),b是整數(shù)(b0),若有ab=qr,也就是abqr, 0rb;我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里:(1)當(dāng)時:我們稱a可以被b整除,q稱為a除以b的商

2、或完全商(2)當(dāng)時:我們稱a不可以被b整除,q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖,這是一堆書,共有a本,這個a就可以理解為被除數(shù),現(xiàn)在要求按照b本一捆打包,那么b就是除數(shù)的角色,經(jīng)過打包后共打包了c捆,那么這個c就是商,最后還剩余d本,這個d就是余數(shù)。這個圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。二、三大余數(shù)定理:1.【余數(shù)的加法定理】a與b的和除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)之和,或這個和除以c的余數(shù)。例如:23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)

3、大時,所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如:23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,故23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù),即2.2.【余數(shù)的乘法定理】a與b的乘積除以c的余數(shù),等于a,b分別除以c的余數(shù)的積,或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如:23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以2316除以5的余數(shù)等于31=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時,所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如:23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù),即2.3.【同余定理】若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù),那么稱a、b對于模m同余,用式子表示為:ab (

4、mod m ),左邊的式子叫做同余式。同余式讀作:a同余于b,模m。由同余的性質(zhì),我們可以得到一個非常重要的推論:若兩個數(shù)a,b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同,則a,b的差一定能被m整除用式子表示為:如果有ab ( mod m ),那么一定有abmk,k是整數(shù),即m|(ab)三、【棄九法原理】:在公元前9世紀(jì),有個印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米,寫有一本花拉子米算術(shù),他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進(jìn)行,由于害怕以前的計算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確,他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的:例如:檢驗(yàn)算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4除以9的余數(shù)為7除以9的

5、余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3,那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理,即如果這個等式是正確的,那么左邊幾個加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們在求一個自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時,常常不用去列除法豎式進(jìn)行計算,只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了,在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去,所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理:任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù),只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和,再求這個

6、和被9除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個特性,不僅可以檢驗(yàn)幾個數(shù)相加,對于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對同樣適用注意:棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確,但不能保證一定正確。例如:檢驗(yàn)算式9+9=9時,等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0,但是顯然算式是錯誤的但是反過來,如果一個算式一定是正確的,那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。四、【中國剩余定理】:1.中國古代趣題:中國數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題:“今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之,剩二,五五數(shù)之,剩三,七七數(shù)之,剩二,問物幾何?”答曰:“二十三?!贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型,

7、又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國剩余定理,相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少,韓信答說,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。 我們先考慮下列的問題:假設(shè)兵不滿一萬,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,則兵有多少? 首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注:因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù),故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積),然后再加3,得9948(人)。 孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考,不過根據(jù)考證,著作年代不會在晉朝之后,以這個考證來說上面這種問題的解法,中國人發(fā)現(xiàn)得比西方早,所以這個問題的

8、推廣及其解法,被稱為中國剩余定理。中國剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法:對于這一類問題,我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我們就以孫子算經(jīng)中的問題為例,分析此方法:今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之,剩二,五五數(shù)之,剩三,七七數(shù)之,剩二,問物幾何?題目中我們可以知道,一個自然數(shù)分別除以3,5,7后,得到三個余數(shù)分別為2,3,2.那么我們首先構(gòu)造一個數(shù)字,使得這個數(shù)字除以3余1,并且還是5和7的公倍數(shù)。先由,即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā),先看35除以3余2,不符合要求,那么就繼續(xù)看5和7的“下一個”倍數(shù)是否可以,很顯然70除以3余1類似的,我們再構(gòu)造一個除以5余1,同時又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字,顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1,同時又是3,5公倍數(shù)的數(shù)字,45符合要求,那么所求的自然數(shù)可以這樣計算:,其中k是從1開始的自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多,如果根據(jù)

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