定點乘法運算（課堂PPT）

1、第二章第二章 運算方法和運算器運算方法和運算器* *數(shù)據(jù)的表示方法數(shù)據(jù)的表示方法* *定點和浮點加減運算定點和浮點加減運算* *定點乘運算定點乘運算* *定點除運算定點除運算* *定點運算器的組成定點運算器的組成 1.1.串行加法器的優(yōu)劣分析串行加法器的優(yōu)劣分析 不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡單；不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡單； 速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時間至少是加法操速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時間至少是加法操 作的作的n n倍；倍； 由于乘法操作大約占全部算術(shù)運算的由于乘法操作大約占全部算術(shù)運算的1/31/3，故采用，故采用高速乘法部件是非常必要的。高速乘法部件是非常必要的。 2.3.3 2

2、.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 設(shè)設(shè)n n位位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點小數(shù)表示被乘數(shù)和乘數(shù)用定點小數(shù)表示( (定點整數(shù)也同樣適用定點整數(shù)也同樣適用) ) 被乘數(shù)被乘數(shù) x x 原原x xf f . x . xn n1 1 x x1 1x x0 0 乘數(shù)乘數(shù) y y 原原y yf f . y . yn n1 1 y y1 1y y0 0 則乘積則乘積 z z 原原( (x xf fy yf f) )(0. (0. x xn n1 1 x x1 1x x0 0)(0. )(0. y yn n1 1 y y1 1y y0 0) ) 式中，式中，x xf f為被乘數(shù)符號，為被乘數(shù)符號， y yf f為乘

3、數(shù)符號。為乘數(shù)符號。 2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法2.2.乘法的手工算法乘法的手工算法(2) (2) 習(xí)慣方法求乘積的運算過程：習(xí)慣方法求乘積的運算過程： 設(shè)設(shè)0.1101,0.1101,0.10110.1011 0. 1 1 0 1 (x) 0. 1 0 1 1 (y) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0+ 1 1 0 10. 1 0 0 0 1 1 1 1 (z)解解:(1) :(1) 乘積符號的運算規(guī)則乘積符號的運算規(guī)則： 同號相乘為正，異號相乘為負(fù)。同號相乘為正，異號相乘為負(fù)。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法3.3.不帶符號的陣列乘法器不

4、帶符號的陣列乘法器設(shè)有兩個不帶符號的二進制整數(shù)設(shè)有兩個不帶符號的二進制整數(shù) Aam1a1a0 , Bbn1b1b0它們的數(shù)值分別為它們的數(shù)值分別為a和和b,即：即： 10101010102222njminjnmkkkjijijjmiiipbabaabp)()( )(2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法m-1a ai2ii0n-1b bj2jj0在二進制乘法中在二進制乘法中,被乘數(shù)被乘數(shù)A與乘數(shù)與乘數(shù)B相乘相乘,產(chǎn)生產(chǎn)生mn位乘積位乘積P： Ppmn1p1p0 乘積乘積P 的數(shù)值為的數(shù)值為: am-1 am-2 a1 a0 ) bn-1 b1 b0 am-1b0 am-2b0 a1b

5、0 a0b0 am-1b1 am-2b1 a1b1 a0b1 . . . . . .+) am-1bn-1 am-2bn-1 a1bn-1 a0bn-1pm+n-1 pm+n-2 pm+n-3 pn-1 p1 p0(1) (1) 習(xí)慣方法運算過程：習(xí)慣方法運算過程：2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法(2) (2) 并行乘法器并行乘法器 這種乘法器要實現(xiàn)這種乘法器要實現(xiàn)n n位位n n位時位時, , 需要需要n n( (n n1)1)個全加器和個全加器和n n2 2個個“與與”門。門。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法

6、令令T Ta a為為“與門與門”的傳輸延遲時間，的傳輸延遲時間，T Tf f為全加器為全加器( (FA)FA)的進位傳輸延遲時間，假定的進位傳輸延遲時間，假定用用2 2級級“與非與非”（2 2T T）邏輯來實現(xiàn)邏輯來實現(xiàn)FAFA的進的進位鏈功能，那么就有：位鏈功能，那么就有：T Ta a T Tf f 2 2T T陣列乘法器延遲時間陣列乘法器延遲時間2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法BiCi&Ai&Ci+1&ACiBiCiAiBiACiBiCiAiBiCi+1 2TC1C2C32T2T3T3TCn-1Cn2T3TS0S1S2Sn-1ta( (n-1)n-1)2 2T T3 3T

7、T3T3TT Tm m T Ta a ( (n n2) 2) 6T 6T 3T 3T T Tf f (n-2) (n-2) T Tf f + 3T + 3T 2 2T T( (n n2)2)6 6T T 3T 3T 2T 2T (n-2) (n-2) 2T + 3T2T + 3T (8 (8n n6)6)T T最壞情況下延遲途徑最壞情況下延遲途徑, ,即是沿著矩陣即是沿著矩陣P P4 4垂直線和最下面垂直線和最下面的一行。因而得的一行。因而得n n位位n n位不帶符號的陣列乘法器總的乘位不帶符號的陣列乘法器總的乘法時間為：法時間為： 例例16 16 已知兩個不帶符號的二進制整數(shù)已知兩個不帶符號

8、的二進制整數(shù) A A 11011, 11011,B B 10101, 10101, 求每一部分乘積項求每一部分乘積項a ai ib bj j 的值與的值與p p9 9p p8 8p p0 0的值。的值。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 1 1 0 1 1 = A (2710) 1 0 1 0 1 = B (2110) 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 + 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 = P解解: a4b01 a3b01 a2b00 a1b01 a0b01 a4b10 a3b10 a2b10 a1b10

9、 a0b10 a4b21 a3b21 a2b20 a1b21 a0b20 a4b30 a3b30 a2b30 a1b30 a0b30 a4b41 a3b41 a2b40 a1b41 a0b41 Pp9p8p7p6p5p4p3p2p1p01000110111 (56710)2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法4.4.帶符號的陣列乘法器帶符號的陣列乘法器(1) (1) 對對2 2求補器電路求補器電路例例1 1： 對對10101010求補。求補。 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0例例2 2： 對對10111011求補。求補。 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

10、0 1方法（變補）：方法（變補）：從數(shù)的最右端從數(shù)的最右端a a0 0開始開始, ,由右向左由右向左, , 直到找出直到找出第一個第一個“1 1”, ,例如例如a ai i1, 01, 0i in n。這樣這樣, , a ai i以左的每一個輸入以左的每一個輸入位都求反位都求反, , 即即1 1變變0, 0, 0 0變變1 1。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 1 0 1 0 0 1 1 0 12.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法E=0 E=0 則則 a ai i* * = a= ai iE=1 E=1 則則 a ai i* * = a= ai i 變補變補 用這種

11、對用這種對2 2求補器來轉(zhuǎn)換一個求補器來轉(zhuǎn)換一個( (n n1)1)位帶符號位帶符號的數(shù)，所需的總時間延遲為：的數(shù)，所需的總時間延遲為： t tTCTCn n22T T5 5T T(2(2n n5)5)T T 其中每個掃描級需其中每個掃描級需2 2T T延遲，而延遲，而5 5T T則是由于則是由于“與與”門和門和“異或異或”門引起的。門引起的。延遲時間：延遲時間：2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法(2) (2) 帶符號的陣列乘法器帶符號的陣列乘法器2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法包括求補級的乘法器又稱為包括求補級的乘法器又稱為符號求補的陣列乘法器。符號求補的陣列乘

12、法器。 在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個求補器在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個求補器: : 兩個算前求補器兩個算前求補器 作用是：將兩個操作數(shù)作用是：將兩個操作數(shù)A A和和B B在被不帶符號的乘法在被不帶符號的乘法陣列陣列( (核心部件核心部件) )相乘以前，先變成正整數(shù)。相乘以前，先變成正整數(shù)。 算后求補器算后求補器 作用則是：當(dāng)兩個輸入操作數(shù)的符號不一致時，作用則是：當(dāng)兩個輸入操作數(shù)的符號不一致時， 把運算結(jié)果變成帶符號的數(shù)把運算結(jié)果變成帶符號的數(shù)( (補碼補碼) )結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu): :2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 設(shè)設(shè)A A= =a an na an-1n-1aa1 1a a0 0

13、和和B B= =b bn nb bn-1n-1bb1 1b b0 0均為用定點均為用定點表示的表示的( (n n1)1)位帶符號整數(shù)。位帶符號整數(shù)。在必要的求補操作以后，在必要的求補操作以后，A A和和B B的碼值輸送給的碼值輸送給n nn n位不帶符號的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生位不帶符號的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生2 2n n位的乘位的乘積積: : AB ABP PP P2 2n n1 1P P1 1P P0 0p p2 2n na an nb bn n 其中其中P P2 2n n為符號位。為符號位。運算：運算：2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法帶求補級的陣列乘法器用于原碼乘法帶求補

14、級的陣列乘法器用于原碼乘法 在原碼乘法中，算前求補和算后求補都不需要，在原碼乘法中，算前求補和算后求補都不需要，因為輸入數(shù)據(jù)都是立即可用的。因為輸入數(shù)據(jù)都是立即可用的。 例例 設(shè)設(shè)x=+15x=+15，y= -13y= -13，用帶求補器的原碼陣列乘用帶求補器的原碼陣列乘法求出乘積法求出乘積x x* *y=y=？ 解：設(shè)最高位為符號位，輸入數(shù)據(jù)為原碼：解：設(shè)最高位為符號位，輸入數(shù)據(jù)為原碼： xx原原= =0 01111 1111 yy原原= =1 111011101 因符號單獨考慮，所以：因符號單獨考慮，所以： | |X|=1111X|=1111，|y|=1101|y|=11012.3.3 2

15、.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 符號位運算：符號位運算：0 0 1=11=1 加上乘積符號位加上乘積符號位1 1，得：，得： x x* *yy原原= =1 11100001111000011 換算成二進制數(shù)真值是換算成二進制數(shù)真值是: : X X* *Y=(-11000011)Y=(-11000011)2 2=(-195)=(-195)10 10 十進制乘法驗證：十進制乘法驗證： 15 15* *（-13-13）= -195= -1952.3.3 2.3.3

16、原碼并行乘法原碼并行乘法帶求補級的陣列乘法器用于補碼乘法需使用求補器。帶求補級的陣列乘法器用于補碼乘法需使用求補器。 例例 設(shè)設(shè)x=15x=15，y=-13y=-13，用帶求補器的補碼陣列乘法器用帶求補器的補碼陣列乘法器求出乘積求出乘積x x* *y=y=？并用十進制乘法進行驗證。并用十進制乘法進行驗證。 解：設(shè)最高位為符號位，輸入數(shù)據(jù)用補碼表示：解：設(shè)最高位為符號位，輸入數(shù)據(jù)用補碼表示： xx補補=01111 =01111 yy補補=10011 =10011 乘積符號位運算：乘積符號位運算：X X0 0 Y Y0 0= 0 = 0 1=1 1=1 表示乘積表示乘積為負(fù)的。為負(fù)的。 算前求補器

17、輸出為算前求補器輸出為 | |X|=1111X|=1111，|y|=1101|y|=11012.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 201122niiinnaaN補碼與真值轉(zhuǎn)換公式補碼與真值轉(zhuǎn)換公式: : 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1+ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 因乘積為負(fù)的，所以算后求補器輸出因乘積為負(fù)的，所以算后求補器輸出時應(yīng)按負(fù)數(shù)求補碼的變換方法將結(jié)果變?yōu)闀r應(yīng)按負(fù)數(shù)求補碼的變換方法將結(jié)果變?yōu)椋? 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 1 1補補=0

18、0111101 =00111101 并在最并在最高位加上乘積符號高位加上乘積符號1 1，最后得補碼的乘積值，最后得補碼的乘積值 ： x x* *yy補補= = 1 10011110100111101。利用補碼與真值換算公式，補碼二進制數(shù)真值是利用補碼與真值換算公式，補碼二進制數(shù)真值是X X* *Y=Y=-1-1* *2 28 8+1+1* *2 25 5+1+1* *2 24 4+1+1* *2 23 3+1+1* *2 22 2+1+1* *2 20 0=(-195)=(-195)10 10 十進制數(shù)乘法驗證：十進制數(shù)乘法驗證： X X* *Y= 15Y= 15* *（-13-13）= -1

19、95= -1952.3.4 2.3.4 補碼并行乘法補碼并行乘法1.1.補碼與真值的轉(zhuǎn)換公式補碼與真值的轉(zhuǎn)換公式 補碼乘法因符號位參與運算補碼乘法因符號位參與運算, ,可以完成可以完成補碼數(shù)的補碼數(shù)的“直接直接”乘法乘法, ,而不需要求補級而不需要求補級（節(jié)省時間）。這種直接的方法排除了較（節(jié)省時間）。這種直接的方法排除了較慢的對慢的對2 2求補操作求補操作, ,因而大大加速了乘法過因而大大加速了乘法過程。程。 202niiia 20211niiia)(N= an-1=0 (N補補為正為正) an-1=1 (N補補為負(fù)為負(fù)) 現(xiàn)考慮一個定點補碼整數(shù)現(xiàn)考慮一個定點補碼整數(shù) N N 補補a an

20、n1 1a an n2 2aa1 1a a0 0，其中其中 a an n1 1是符號位。是符號位。 根據(jù)根據(jù) N N 補補的符號，補碼數(shù)的符號，補碼數(shù) N N 補補和真值和真值N N的關(guān)系，可以表示成：的關(guān)系，可以表示成：2.3.4 2.3.4 補碼并行乘法補碼并行乘法 將負(fù)權(quán)因數(shù)將負(fù)權(quán)因數(shù) -2-2n n-1-1強加到符號位強加到符號位a an n-1-1上，可以把上上，可以把上述方程組中的兩個位置表達式合并成下面的統(tǒng)一形式：述方程組中的兩個位置表達式合并成下面的統(tǒng)一形式： 201122niiinnaaN121212011 niiinnaaN)()(以上兩式是等價的。以上兩式是等價的。2.3

21、.4 2.3.4 補碼并行乘法補碼并行乘法 例例19 19 已知已知: : N N 補補 01101, - 01101, -N N 補補10011, 10011, 求求 N N 補補, -, -N N 補補具有的數(shù)值。具有的數(shù)值。2.3.4 2.3.4 補碼并行乘法補碼并行乘法 解解: : N N 補補01101 01101 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為：N N0 02 24 41 12 23 31 12 22 20 02 21 11 12 20 0 ( (13)13)1010 N N 補補10011 10011 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為： N N1 12 24 40 02 23 30 02

22、22 21 12 21 11 12 20 0 (-13)(-13)1010類型類型 邏輯符號邏輯符號操作操作0類類加法器加法器 X Y) ZCS X Y) Z C(S)2類類加法器加法器XY) Z (C)S 3類類加法器加法器 X Y)Z(C)(S)1類類加法器加法器 這種加法器通過把正權(quán)或負(fù)權(quán)加到輸入這種加法器通過把正權(quán)或負(fù)權(quán)加到輸入/ /輸出端，輸出端，可以歸納出四類加法單元。可以歸納出四類加法單元。2.2.一般化的全加器形式一般化的全加器形式對對0 0類、類、3 3類全加器而言有：類全加器而言有：S SXYZXYZXYZXYZXYZXYZXYZXYZC CXYXYYZYZZXZX0類類加

23、法器加法器 X Y) ZCS3類類加法器加法器 X Y)Z(C)(S)一位全加器真值表一位全加器真值表輸入輸入輸出輸出XiYiZiSiCi10000000110010100110110010101011100111111四類全加器的邏輯方程式四類全加器的邏輯方程式 X Y) Z C(S)2類類加法器加法器XY) Z (C)S 1類類加法器加法器對對1類、類、2類全加器類全加器,則有則有SXYZXYZXYZXYZCXYXZYZ3.3.直接補碼陣列乘法器直接補碼陣列乘法器利用混合型全加器可以構(gòu)成直接補碼數(shù)陣列乘利用混合型全加器可以構(gòu)成直接補碼數(shù)陣列乘法器。法器。設(shè)被乘數(shù)設(shè)被乘數(shù)A A和乘數(shù)和乘數(shù)B B是兩個是兩個5 5位二進制補碼數(shù)，即：位二進制補碼數(shù)，即： A A( (a a4 4) )a