共振稀疏分解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上共振稀疏分解：一種新的可稀疏信號的分析方法0. 摘要生命和物質(zhì)過程會產(chǎn)生大量信號，這些信號不但是不穩(wěn)定的，而且是持續(xù)震蕩信號和瞬態(tài)沖擊信號的混合，并且這兩種信號是很難線性分解的，例如聲音、醫(yī)療和地理信號。因此，本文描述了一種基于信號共振的非線性信號分析方法，而這種方法不基于傅里葉變換和小波變換產(chǎn)生的頻譜和幅值。這種方法將信號分解成一個高共振分量和一個低共振分量高共振分量由多個同時發(fā)生的持續(xù)震蕩信號組成，低共振分量由多個沒有具體現(xiàn)狀和持續(xù)時間的瞬態(tài)沖擊信號組成。本文所闡述的共振稀疏分解算法使用的方法有信號稀疏表示、形態(tài)分量分析和品質(zhì)因子可調(diào)小波換。1. 前言頻域分析法和

2、濾波是信號處理的基礎(chǔ)。然而，頻域分析法和時頻分析法并不適用于所有信號，事實上只適用于持續(xù)震蕩或周期信號。那些主要由奇異點限定的分段光滑信號多數(shù)使用時域和小波變換描述、分析和處理。例如，圖像掃描，眼部運動記錄，潛能誘發(fā)反應(yīng)，神經(jīng)尖刺訓(xùn)練等。然而，許多生命和物質(zhì)過程產(chǎn)生信號不只是不穩(wěn)定的，而且是持續(xù)震蕩信號和瞬態(tài)沖擊信號的混合，例如聲音、醫(yī)療（腦電圖和心電圖等）和地理（海浪高度數(shù)據(jù)等）信號。這些信號既含有穩(wěn)態(tài)震蕩部分又含有瞬態(tài)沖擊部分。腦電波包含有節(jié)奏振蕩（alpha和beta波等），也包含人為測量和無節(jié)奏腦行為所產(chǎn)生的瞬態(tài)沖擊。海浪高度數(shù)據(jù)測量的是已經(jīng)流動了幾百英里（100s）的海量的重疊高度，

3、但是天氣因素將中斷這種震蕩行為。當然，通過生命和物質(zhì)系統(tǒng)測量的信號通常包含持續(xù)震蕩信號和瞬態(tài)沖擊信號，而這兩種信號是很難線性分解的。為了改進復(fù)雜非平穩(wěn)信號的描述、分析和處理，我們闡述了一種新的基于共振的非線性信號分析方法，而這種方法不基于傅里葉變換和小波變換產(chǎn)生的頻譜和幅值。這種方法將信號分解成一個高共振分量和一個低共振分量。其中，高共振分量由多個同時發(fā)生的持續(xù)震蕩信號合成，另一方面，低共振分量由多個沒有具體現(xiàn)狀和持續(xù)時間的瞬態(tài)沖擊信號合成。這篇論文的部分內(nèi)容已經(jīng)出版在兩個早期的會議論文中84，85。圖1. 單脈沖共振屬性是由品質(zhì)因子Q量化的，而品質(zhì)因子是中心頻率與頻帶寬度的比值。脈沖1和脈沖

4、3在持續(xù)時間上看是一個單振蕩，是低共振脈沖。脈沖2和脈沖4具有多次震蕩，屬于高共振分量。低品質(zhì)因子小波變換（例如經(jīng)典的二階小波變換）能有效描述脈沖1和脈沖3，高品質(zhì)因子小波變換能有效描述脈沖2和脈沖4。圖a為時域信號，圖b為頻譜。2. 信號共振圖1用圖例說明了信號共振的概念。事實上，脈沖1和脈沖3都包含了一個單振蕩正弦信號。我們把這兩種信號稱為低共振信號是因為他們沒有持續(xù)震蕩。觀察這兩個脈沖的時域圖我們發(fā)現(xiàn)，時域脈沖波形并不能有限體現(xiàn)共振程度。很明顯，一個低共振脈沖既有可能是一個高頻信號（脈沖1），也有可能是一個低頻信號（脈沖3）。低共振脈沖不限于單邊頻帶。因此，不能通過頻率濾波的方式從一個信

5、號中提取出低共振分量。我們把脈沖2和脈沖4定義成高共振分量是因為他們具有持續(xù)震蕩特性。兩個脈沖都包含5個振蕩的由啞鈴函數(shù)相乘而成的正弦波（特別的，如布萊克曼窗口），如上面所說，這兩個脈沖的時域波形具有相同的共振屬性。同樣的，一個高共振脈沖既有可能是一個高頻信號（脈沖2），也有可能是一個低頻信號（脈沖4），高共振分量也不能通過頻率濾波的方式從一個信號中提取出來。2.1. 共振稀疏分解正如我們所描述的，共振稀疏分解應(yīng)該能夠近似低分解圖1中的脈沖1和脈沖2，盡管這兩個信號在時域上是迭加在一起的。為了闡明共振稀疏分解算法(后面會詳盡闡述)的效果，我們將這種方法應(yīng)用圖2的人工合成信號上。這個人工信號含有

6、3種頻率和兩級共振的六個脈沖。目標是將信號的高低共振分量分離開。通過這種算法的得到的高低共振分量如圖2a所示。這種算法也得到一個殘余信號，從而允許隨機噪聲的存在。這個測試信號等同于三個信號的和：高共振分量、低共振分量和殘余信號。（殘余信號的幅值可以通過分解算法中的參數(shù)控制。）圖2. 共振稀疏分解和頻率濾波時域波形圖。(a)測試信號被稀疏表示成高低共振分量。高共振信號分量使用高品質(zhì)因子RADWT變換得到。同樣，低共振信號分量使用低品質(zhì)因子RADWT變換得到。(b)使用LTI時間離散濾波器將測試信號分解成低、中和高頻分量。(a)共振稀疏分解時域波形圖(b)頻率濾波時域波形圖。觀察發(fā)現(xiàn)，線性時不變（

7、LTI）濾波器不能實現(xiàn)圖2a所示的信號分解，這是因為存在于高共振分量的三個頻率同樣也存在于地共振分量中。高低共振分量中的脈沖的不同點不是他們的頻率而是他們持續(xù)振蕩的程度。當然，LTI濾波器能將測試信號分解成低、中和高頻部分。使用低通、帶通和高通LTI濾波器，我們能夠?qū)崿F(xiàn)測試信號的基于頻率的分解，從而獲得不同的頻率分量，正如圖2b中所示。2.2. 共振稀疏分解必然是非線性的這里所提到的共振稀疏分級不能通過線性濾波實現(xiàn)，如圖3所示。圖3中的每一行表示一個信號分解成高低共振分量的理想情況。前六個信號是低共振信號，所以低共振分量是信號本身（高共振分量是零）。最后一個信號是高共振信號，所以高共振分量是信

8、號本身（低共振分量是零）。正如圖3所示，高低共振分量都不滿足疊加性。圖3最左下方的信號是上面6個低共振信號的和。如果信號的共振分量是信號的線性函數(shù)，那么圖3最右下方的高共振分量應(yīng)該是上面6個高共振分量的和。但是這不是事實，因此經(jīng)過分析，所提出的共振稀疏分級方法必然不是信號的線性函數(shù)。2.3. 共振稀疏分解能否恰當定義？很顯然，一個信號在分解成高低共振分量時也有可能定義不當。如果我們將圖3. 共振稀疏分解一定是非線性的：最左下方信號是上面各信號的和；然而，這個信號的低共振分量不是上面各低共振分量的和。同理，高共振分量也不滿足疊加原理。圖1中的脈沖1和脈沖3（大約包括1次振蕩）定義成低共振分量，將

9、脈沖2和脈沖4（大約包括5次振蕩）定義成高共振分量，然后我們?nèi)绾味x一個含有3次振蕩的信號呢？同樣，如果一個信號包含幾個這樣的不能確定共振特性的脈沖，那么高低共振分量該如何定義呢？起初并不清楚如何定義一類信號的共振屬性，無論這類信號是否能夠分解成高低共振分量。相反，頻率濾波可以直截了當?shù)亩x：一個低通濾波器可以通過(阻止)低于（高于）某一設(shè)定頻率值的正弦振蕩信號。頻率響應(yīng)函數(shù)和濾波器的線性度決定了濾波器的輸入輸出特性。因此，好像共振稀疏分解的概念是不清楚的，不準確的，不明確的。然而，通過把這種方法表述成一個恰當選擇的優(yōu)化問題的解決辦法，就可以很好地定義這種分解方法。（圖2a所示的共振稀疏分解方

10、法是通過下面提到的成本函數(shù)（1）的數(shù)值最小化得到的。）也就是說，一個信號的共振分量取決于具體的成本函數(shù)，而且通過改變成本函數(shù)中定義的參數(shù)可以精確低調(diào)整分解結(jié)果。因此，我們所提到的共振稀疏分解是信號的非線性函數(shù)，并通過迭代最優(yōu)化算法得到。相反的，頻率濾波可以使用卷積或求和寫成閉合形式。共振稀疏分解必然是非線性的和數(shù)字化的，然而頻率分解是線性的和解析化的。2.4. 品質(zhì)因子和恒品質(zhì)因子基函數(shù)當定義一類信號的共振屬性可能存在問題時，單個脈沖的共振屬性可以通過品質(zhì)因子量化，而品質(zhì)因子等于中心頻率與帶寬的比值；這個數(shù)值在濾波器設(shè)計、控制和動態(tài)系統(tǒng)物理學(xué)中廣泛使用。一個脈沖的品質(zhì)因子反映了它的共振屬性，如

11、圖1所示。脈沖的震蕩次數(shù)越多，品質(zhì)因子越高。圖1所示的前兩個脈沖以同樣的頻率（兩個采樣點間隔0.04個周期）振蕩，但是第二個脈沖振蕩時間更長，因此具有更高的品質(zhì)因子（高出4倍）。圖1所示的后兩個脈沖均以每兩個采樣點間隔0.04周期的頻率震蕩，分別具有與前兩個脈沖相同的品質(zhì)因子。觀察發(fā)現(xiàn)一個脈沖的品質(zhì)因子實際上等于脈沖的振蕩次數(shù)。下面所描述的計算高低共振分量的方法是基于使用恰當設(shè)定的基函數(shù)來有效地表示這兩個信號分量。為了有效的表示高共振信號分量，我們要求設(shè)定的基函數(shù)完美包含全部高共振（高品質(zhì)因子）函數(shù)；這樣一個基函數(shù)是通過轉(zhuǎn)換和時間定標一個高品質(zhì)因子脈沖得到的?；瘮?shù)中的高共振函數(shù)擁有相同的品質(zhì)

12、因子。同樣的，為了有效的表示低共振信號分量，我們要求設(shè)定的這個基函數(shù)完美包含全部低共振（低品質(zhì)因子）函數(shù)；同理，這樣一個基函數(shù)是通過轉(zhuǎn)換和時間定標一個低品質(zhì)因子脈沖得到的。因此，我們需要兩個恒品質(zhì)因子基函數(shù)一個以高品質(zhì)因子為特征，另一個以低品質(zhì)因子為特征。通過轉(zhuǎn)換和時間定標一個單脈沖得到的基函數(shù)廣泛存在于小波基函數(shù)中，而小波基函數(shù)產(chǎn)生的脈沖稱作小波。最廣為人知和廣泛使用的恒品質(zhì)因子基函數(shù)是二階小波基函數(shù)21，具有一個很低的品質(zhì)因子。當然，二階離散小波變換的有效性取決于它能夠?qū)Ψ侄喂饣盘栆簿褪堑凸舱裥盘柼峁┫嚓P(guān)稀疏表示的能力。二階小波變換之所以很少應(yīng)用在振蕩（高共振）信號如語音上是因為它布恩那

13、個為這些信號提供有效的系數(shù)表示。對于高品質(zhì)因子恒Q變換的需求可能有些問題；確實，語音信號通常使用恒帶寬變換（例如，MPEG 2/4 AAC 多媒體解碼器使用MDCT在128和1024頻帶之間轉(zhuǎn)換）來分析和處理。盡管恒帶寬分析能夠使用FFT以高計算效率實現(xiàn)，盡管它適用于眾多音頻編碼器的關(guān)鍵組件，但是它無法提供共振稀疏分解所需要的恒品質(zhì)因子分析。許多年來，恒品質(zhì)因子頻率分析一直是聲學(xué)和信號處理領(lǐng)域研究的興趣所在。這種興趣中的一部分是受到生物學(xué)人類性格和其他哺乳動物聽覺系統(tǒng)的廣泛研究的啟發(fā)；并且樹立了耳蝸具有近恒品質(zhì)因子特性的理念。具體說來，耳蝸可以建模成一些高度重疊的帶通濾波器的集合，而這個帶通濾

14、波器的頻率必須高于某一物種特定頻率才能擁有恒品質(zhì)因子。（人類的耳蝸在500Hz以上接近恒品質(zhì)因子，在500Hz以下趨近恒帶寬）目前已經(jīng)建立幾個參數(shù)模型用于這些聽覺濾波器組，包括Gammatone和Gammachirp濾波器組，而這些濾波器在設(shè)計時保證了與心里聲學(xué)測量的相容性。3. 方法3.1. 過完備有理膨脹小波變換對可逆恒品質(zhì)因子離散變換的追蹤研究自然走向了基于有理膨脹因子4,5,59的離散小波變換和基于有理采樣因子9,10,62,106的完整重構(gòu)濾波器組。然而，基于有理采樣因子的關(guān)鍵采樣濾波器組受到了嚴格限制，而且用于二階濾波器的設(shè)計方法不能使用。由于設(shè)計難題的存在，目前針對有理膨脹問題提

15、出的解決方案很少。高品質(zhì)因子恒Q小波變換用于高共振信號稀疏表示，受到這種小波變換需求的推動，我們最近提出了一種新的有理膨脹小波便換，這種變換完全離散化，易于求逆，減少能量損耗，變換過后幾乎沒有改變，并且允許使用者調(diào)整品質(zhì)因子。這種新的小波變換方法作為廣泛使用的二階小波變換可用于高品質(zhì)因子分析，或者同樣用于作為低品質(zhì)因子分析。當這種變換沒能嚴格采樣時，實施這種變換可能產(chǎn)生一定的冗余（例如，e.g., 3-times overcomplete, depending on para-meters）。此外，逆分析濾波器組是正分析濾波器組的鏡像，所以這種變換是自可逆的（這種變換使用一種窄窗而不是規(guī)范正交

16、基），這將使信號的稀疏表示容易實現(xiàn)。文獻6中引入過完備有理膨脹小波變換（RADWT）是基于圖4中所示的濾波器組。當選定圖4中的整數(shù)p, q和s，并使這個濾波器組過完備后，我們在文獻6中提供了一系列用于多等級濾波器組的濾波器，這個多等級濾波器組具有完美重構(gòu)特性，良好的時頻定位性和高規(guī)律性。小波變換的品質(zhì)因子當FB在它的低通分支上迭代時獲得，并由參數(shù)p,q和s決定。RADWT不是基于整數(shù)膨脹，而是基于處于1和2之間的有理數(shù)膨脹（q/p）。設(shè)定膨脹因子接近1，s>1，將得到一個帶有高品質(zhì)因子分解/合成函數(shù)的小波變換。設(shè)定s=1，將得到一個帶有低品質(zhì)因子如二階DWT的小波變換。不同的頻率分解以及

17、相關(guān)的小波在圖5中分兩種情況闡明：低品質(zhì)因子和高品質(zhì)因子變換。3.2. 信號的稀疏分解我們把高共振信號定義成那些可以用高品質(zhì)因子恒Q變換（高品質(zhì)因子變換）有效稀疏表示的信號，例如圖5b中恰當選擇參數(shù)p,q和s的RADWT。因此，高共振分量的定義與具體的恒Q變換有關(guān)。類似地，我們把低共振信號定義成那些可以用低品質(zhì)因子恒Q變換（低品質(zhì)因子變換）有效稀疏表示的信號，例如經(jīng)典二階DWT或者圖5a所示的RADWT。觀察發(fā)現(xiàn)，一個高共振信號不能用低品質(zhì)因子變換有效表示，同樣，低共振信號也不能用高品質(zhì)因子變換有效表示。因此，基于高低品質(zhì)因子變換的一個信號的有效稀疏表示可以作為實現(xiàn)共振稀疏分解得一種方法。幾篇

18、已經(jīng)發(fā)表的文獻闡述幾種將信號非線性分解成不同特性定義的分量的方法。例如，參考文獻2,3,101,102提出了基于Meyer思想的分解方法，這種方法將一個圖像分解成振蕩和有界變量分量?；谙∈璞硎镜姆蔷€性信號分解得整體框架已經(jīng)在幾篇文獻33,36,51,94,95中得到闡述。為了使“形態(tài)分量分析”這個方法獲得成功，各自的變換必須具有低的相關(guān)性（一個變換的分解/合成函數(shù)圖4.用于實現(xiàn)過完備有理膨脹小波變換的分解和合成濾波器組。當假定濾波器組的迭代位于它的無限低通分支時，膨脹系數(shù)是q/p，冗余是(s(1-p/q)-1 。圖5.過完備有理膨脹小波變換（RADWT）：頻率響應(yīng)和小波。(a)低品質(zhì)因子RA

19、DWT，其中p=2,q=3,s=1。這個小波近似于墨西哥草帽函數(shù)。(b)高品質(zhì)因子RADWT，其中p=5,q=6,s=2。膨脹系數(shù)是1.2，與二階小波相比，更接近1。(a)和(b)中的RADWT有同樣的冗余：它們都是3倍過完備。必須與另一個變換的分解/合成函數(shù)具有低的相關(guān)性），高品質(zhì)因子和低品質(zhì)因子變換必須滿足式（2）所設(shè)的條件。給定一個觀測信號x=x1+x2，其中x,x1,x2RN，MCA的目標是估計或者確定x1和x2。假定x1和x2可以被基（或框架）S1和S2稀疏表示，則當目標函數(shù)最小化時，通過W1和W2可獲得x1和x2的估計值，而后，使用MCA估計和。MCA處理某些圖像問題的有效性已經(jīng)有

20、了很好的體現(xiàn)，尤其是使用S1和S2 33,37,35,95進行曲波變換，二維DCT和2維小波變換。文獻27表明，這種方法的一個變種能夠有效分離心電圖信號中的心室和心房分量，兩個個分量的表示方法也適用于心室和心房所具有的特性。對于共振稀疏分解，我們提出使用低品質(zhì)因子和高品質(zhì)因子RADWT 時應(yīng)用S1和S2。然后，通過最小化式(1) 獲得和，并將其用于提取高低共振分量。例如，圖2所示的共振稀疏分解在1=2=0.2條件下最小化式（1）得到的，其中S1和S2是圖5所示的兩個RADWT。MCA更通用的形式允許對式（1）中的x1和x2進行稀疏測量，而這兩個參數(shù)彼此是不同的。此外，可以在目標函數(shù)中使用先驗信

21、息來進一步對分量分離進行改進28。而且，數(shù)值保真項不需要是一個l2范數(shù)，除了l1范數(shù)其他的稀疏優(yōu)先系數(shù)也可以使用。本文使用1范數(shù)是因為當時凸函數(shù)時，它能有助于稀疏性。3.2.1. 凸性和1范數(shù)如（1）中將共振稀疏分解問題轉(zhuǎn)化成凸最優(yōu)化問題方便了共振分量的計算。這里，我們在式（1）中使用1范數(shù)是因為它能使目標函數(shù)凸化。盡管在式（1）中當0<p<1的p范數(shù)比1范數(shù)更能提高稀疏性，但是目標函數(shù)將不再是凸的，解決方法也將因此更難獲得我們通常只能找到一種局部最優(yōu)解決方法，這將取決于使用的優(yōu)化算法和初始路徑。3.2.2. 相關(guān)性和RADWT為了使形態(tài)分量分析能夠成功將信號x分解成x1和x2，S

22、1和S2具有低相關(guān)性是很重要的。也就是說，變換S1的合成函數(shù)與變換S2的合成函數(shù)應(yīng)該有最低的相關(guān)性。盡管某些兩兩相關(guān)性可能為0（S1的某些列與S2的某些列可能是正交的），但是全部列都正交是不可能的。當用兩個以小波為特征的小波變換實現(xiàn)MCA時，的平移和膨脹對于所有的平移和膨脹有一個小內(nèi)積是必要的。將最大內(nèi)積定為，其中是小波的品質(zhì)因子。在下面的論述中，我們假設(shè)。為了估計這些內(nèi)積，考慮一個簡單的例子：小波是具有如下給定的傅里葉變換的理想帶通函數(shù)，如圖6所示。帶通函數(shù)（為了方便，圖6只顯示了單邊頻帶）被歸一化成具有單位能量，在這種情況下，內(nèi)積可以被定義成如下的頻域形式，最大內(nèi)積可以寫成內(nèi)積由下面等式詳

23、細給出。最大值在處取得，其最大值為等式2表明最大內(nèi)積的取值取決于兩個小波變換的內(nèi)積。若希望MCA取得成功，必須充分小于1。如果Q2只是略小于Q1，那么那個小波變換之間的最大內(nèi)積將接近1，而且MCA的結(jié)果可能較差（也就是分量與X接近）。換句話說，如果Q1=1，Q2=5， 那么=0.5,。進一步增加Q2，圖6. 對于可靠的共振分解，低品質(zhì)因子小波和高品質(zhì)因子小波之間的內(nèi)積對于所有的膨脹和變換來說應(yīng)當足夠小。最大內(nèi)積簡化計算的兩個條件是：小波是理想的帶通函數(shù)，在頻域中表達內(nèi)積。則進一步降低。因此，為了確保使用以高低品質(zhì)因子RADWT為原理的MCA進行共振稀疏分解的可靠性和準確性，選擇RADWT時應(yīng)確

24、保他們的相干性最小化；也就是說，高品質(zhì)因子的變換的品質(zhì)因子應(yīng)該比低品質(zhì)因子變換的品質(zhì)因子足夠大。然而，如果品質(zhì)因子太高，它可能無法與高共振分量的振蕩屬性所匹配，高品質(zhì)因子的變換可能無法提供有效的表示，因此降低的分解質(zhì)量。選擇兩個品質(zhì)因子目的是：（）概略反應(yīng)兩個分量的特性；（ii）最小化。因此通過分析，這兩個品質(zhì)因子的選擇某種程度上取決于信號本身：對于文獻6中所描述的RADWT，我們沒有給出一個計算的公式。然而，他能夠通過數(shù)值的方法計算出來。表1列出了的幾個具體例子。正如表1中所顯示的那樣，增加高品質(zhì)因子可以降低數(shù)值。分裂增廣拉格朗日收縮算法（SALSA）所提出的共振稀疏分解的框架要求目標函數(shù)（

25、1）最小化。盡管函數(shù)是個凸函數(shù)，求其最小值也是困難的，原因有：（i）1范數(shù)不可微（ii）最大變量數(shù)（如果這兩種變換均是3次過完備，那么未知數(shù)的數(shù)量是信號X長度的6倍）。表1 低品質(zhì)因子RADWT和高品質(zhì)因子RADWT的相關(guān)性。其中，低品質(zhì)因子RADWT的參數(shù)為：p1=2,q1=3,s1=1,(Q=1)；高品質(zhì)因子的參數(shù)p2,q2,s2,以及Q2如下表所示。由于在最近的信號處理方法（包括壓縮傳感【29】）的公式中稀疏促進目標函數(shù)如式（1）的重要性，已經(jīng)有幾種算法用于最小化這種類型的目標函數(shù)。一個早期的重要算法是文獻【22,40】開發(fā)的迭代軟閾值算法（ISTA）（這個算法在優(yōu)化類文獻中出現(xiàn)的更早，

26、如文獻【18】中提到的）。然而ISTA對于某些難題收斂較慢，所以人們又提出了一些快速算法，例如【7,8,17,32,39，42,105】。文獻【18】將最近在信號處理中出現(xiàn)的求凸函數(shù)最小值的方法，包括有條件最小值問題，進行了概述。FISTA7具有二階收斂速度，而ISTA只具有線性收斂速度。然而，兩種算法的復(fù)雜程度相似。我們也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)SALSA算法對于共振稀疏分解特別有效（通常對于MCA也是如此），這是因為它能解決一系列2范數(shù)正交問題，這些問題對于MCA來說也是容易解決的 （假設(shè)兩個變換是緊致集）。文獻【41,1】中提出的分裂增廣拉格朗日收縮算法（SALSA）基于下列最小化問題則u=w上式可以通

27、過交替分裂增廣拉格朗日算法進行最小化：其中，k是迭代序數(shù)，是人為指定的標量參數(shù)。每次迭代要求解決二維正交取逆問題，這個問題是大規(guī)模問題經(jīng)常遇到的挑戰(zhàn)。然而，對于共振稀疏分解來說，相關(guān)的l2(二維)問題能夠容易解決，方法如下所示。為了將SALSA應(yīng)用于MCA問題（1），定義（5）至（7）式給出了迭代算法：其中k為迭代序數(shù)。參數(shù)需要人工選擇，文獻【41】中給出了細節(jié)。在下面的MCA實驗中，我們使用=0.5。注意到式（8）是一個l2（二維）問題，因此式（8）的最小化過程能夠直接表示成下式：利用（因為RADWT是一個緊致集）和矩陣可逆引理，我們能夠得出而且，發(fā)現(xiàn)式（9）是一個1范數(shù)正交去噪問題，因此，

28、式（9）的最小化通過軟閾值求得。所以，對于MCA問題（1），SALSA是如下形式：其中是閾值為T的軟閾值規(guī)則函數(shù)，為了說明ISTA和SALSA的收斂性，我們對每個算法進行100次迭代，來求取式（1）中的的最小值，其中x是圖2a所示的測試信號，兩個變換是圖5a和b所示的RADWT。使用ISTA和SALSA算法計算目標函數(shù)（1）所達到的衰減速度如圖7所示。對算法SALSA進行100次迭代所取得的信號分解如圖2a所示。對算法ISTA進行100次迭代獲得的信號分解（沒有圖示）要差一些，原因是ISTA達到收斂的迭代次數(shù)多于。圖.前100次迭代內(nèi)目標函數(shù)的衰減情況：SALSA收斂比ISTA快。4. 例子：

29、共振選擇非線性帶通濾波在多共振分量信號的研究中，有時候研究人員對信號頻率成分的分析很感興趣：例如，腦電圖信號節(jié)律的提取，語音信號的正弦模型和海浪高度數(shù)據(jù)的頻譜分析。我們發(fā)現(xiàn)腦電圖信號節(jié)律的提取能夠通過傳統(tǒng)的8-12Hz帶通LTI濾波器采用通用和簡便的方法實現(xiàn)的候?qū)π盘栴l率成分的分析是令人甘心去。然而，正如8-12Hz頻帶的振蕩信號一樣，腦電波信號中的瞬態(tài)沖擊中的一部分被認為是節(jié)律，能夠在濾波信號中表示自己。因此，即使非節(jié)律出現(xiàn)在腦電波中感興趣中的部分，濾波信號也能表示振蕩。-為了闡述共振稀疏的應(yīng)用，我們闡述了這種方法可以提供一種緩解這種現(xiàn)象的可能性，稱為在一個帶通濾波信號的頻率f處振蕩的出現(xiàn)，

30、此時被濾波的信號在這個頻率處沒有持續(xù)振蕩，如圖8和圖9所示。圖8a顯示了一個離散測試信號，這個信號含有一個頻率0.1循環(huán)/采樣點的正弦脈沖和一個二項瞬態(tài)沖擊。圖8b所示的兩個帶通濾波器分別調(diào)到0.07和0.08循環(huán)/采樣點。使用這兩個濾波器過濾測試信號能夠獲得圖8c和d所示的輸出信號。觀察發(fā)現(xiàn)，濾波器1產(chǎn)生的輸出信號在頻率0.07循環(huán)/采樣點處具有振蕩特點，然而測試信號在這個頻率處沒有持續(xù)振蕩。當然，這種現(xiàn)象是LTI濾波器的一種基本事實，然而這可能讓人無法理解文獻【108】中所提到的帶通濾波信號，甚至使人錯誤理解成測試信號在此頻率處還有比實際更強的振蕩信號。通過對信號進行整體頻率分析，我們能夠

31、理解圖8所示的帶通濾波器，然而我們希望對適合應(yīng)用頻率分析的部分信號進行分析，也就是說對含有持續(xù)振蕩部圖8. LTI帶通濾波器。這個測試信號含有一個頻率0.1循環(huán)/采樣點的正弦脈沖和一個二項瞬態(tài)沖擊。圖（b）中的帶通濾波1和2分別被調(diào)整到頻率為0.07和0.10循環(huán)/秒。圖(c)和（d）為兩個帶通濾波器過濾測試信號后得到的輸出信號。圖（c)所示的帶通濾波器1的輸出包含由于測試信號中的瞬態(tài)沖擊產(chǎn)生的振蕩。而且，圖（c）中的短暫振蕩的頻率為0.07，雖然測試信號（a）在此頻率不含有持續(xù)振蕩。分的部分信號進行頻率分析。共振稀疏分解方法提供了一個機會實現(xiàn)基于可選擇共振頻率的濾波。具體說來，我們可以將共振

32、稀疏分解應(yīng)用于測試信號，而后使用傳統(tǒng)LTI帶通濾波器過濾高共振分量。將共振分解應(yīng)用于圖8a所示的測試信號將得到圖9a和b所示的高低共振分量。使用圖8b中的兩個帶通濾波器過濾圖9a中的高共振分量，輸出圖9c和d所示的信號。觀察發(fā)現(xiàn)，與圖8c相比，濾波器1的輸出中的振蕩更弱一些。輸出信號接近為零說明在頻率0.07循環(huán)/采樣點處測試信號不包含持續(xù)振蕩成分。同樣的，與圖8d相比，圖9d中的濾波器2的輸出所維持的正弦脈沖更準確些。圖9 共振稀疏分解和帶通濾波。當共振分析方法應(yīng)用到圖8a所示的測試信號時，輸出的是圖a和b的高低共振分量。如圖8b所示的使用兩個帶通濾波器濾波通過過濾高共振分量（a）后獲得的輸

33、出信號在圖c和d中顯示。與圖8c相比，圖c的瞬態(tài)振蕩已經(jīng)得到了明顯的削弱。這個例子表明共振分解在克服頻率選擇線性濾波的局限性方面所具有的潛力。通過將信號分解成高低共振分量（這需要非線性處理），然后施以傳統(tǒng)LTI頻率選擇濾波，我們能夠根據(jù)感興趣信號的瞬態(tài)特點，使用傳統(tǒng)帶通濾波器來削減邊緣振蕩效應(yīng)，我們也能取得對于瞬態(tài)不敏感的非線性帶通濾波。此外，這種方法使用一個正類模型來分解瞬態(tài)和振蕩特性對于瞬態(tài)的形狀來說不需要模板；分解只是基于高低品質(zhì)因子變換的稀疏性。觀察發(fā)現(xiàn)圖9所示的共振分解并不完美；這主要是因為瞬態(tài)沖擊本事不是基于低品質(zhì)因子的。圖9的共振分解是使用圖5所示的高低品質(zhì)因子RADWTs獲得的

34、。從表1中得出，?？赏ㄟ^在高品質(zhì)因子RADWT中使用更高品質(zhì)因子或者在式（1）中使用一種更激進的稀疏促進正則矩陣來改善共振稀疏分解的結(jié)果。5. 例子：一個語音信號的共振稀疏分解為了進一步闡述共振稀疏分解如何能夠有效幫助非穩(wěn)態(tài)信號的分析，考慮圖10所示的語音信號。圖10顯示了一個150毫秒的語音信號片段（由一個成年男子說出），信號中可以見到一個元輔音瞬態(tài)沖擊。高低共振分量通過最小化式（1）獲得，如圖10b和c所示。高共振分量包含語音信號中的持續(xù)振蕩部分，低共振分量包含一系列伴隨聲帶振動產(chǎn)生的喉音的孤立脈沖。因此，盡管圖10a中的原始信號大部分是振蕩的，但是它不是一個我們定義中的純的高共振信號：這

35、個信號的共振分解將產(chǎn)生一個不可忽略的低共振分量。通過使用高、低品質(zhì)因子的RADWT變換實現(xiàn)分解，其中高品質(zhì)因子RADWT的參數(shù)為：p=8,q=9,s=3,分解級數(shù)為38；低品質(zhì)因子RADWT的參數(shù)為：p=2,q=3,s=1, 分解級數(shù)為12（如圖5a所示）。從表1可以得出，觀察發(fā)現(xiàn)，無論是圖10的低共振分量還是高共振分量都是以某一頻帶為中心。的確，高共振分量包含低頻和高頻振蕩；低共振分量包含一系列脈沖，因此有一個寬頻帶。原始語音信號的頻譜和共振分量使用中部50ms（50ms-100ms）語音波形計算得到，表明每個共振分量的能量被廣泛分布在各個頻率之中，而且他們的頻譜彼此重疊。圖10所示的低共振

36、分量模擬了源濾波器模型的激勵信號，這個源濾波器基于LPC或者倒頻譜80。然而，共振稀疏分解不適用這種源濾波器模型，不需要估計基音周期，也不要求基音在幾個音節(jié)內(nèi)近似常數(shù)。這種分解不依賴任何語音模型，無論是隱式還是顯式；唯一的模型是高低品質(zhì)因子變換的共振分量的稀疏性。因此，正如一個源濾波器模型一樣，共振稀疏分解沒有建立一個產(chǎn)生式模型，也沒有受到基音周期快速變化的不利影響，然而，其他方法對此卻非常敏感。我們也觀察發(fā)現(xiàn)，高共振分量比原始語音信號更服從正弦曲線模型【73】。正弦曲線模型，作為一種把語音信號表示成時變正弦曲線的和的一種方法，對于語音編碼和處理（基音縮放，聲音變形等）是非常有用的。然而，脈沖

37、無法由正弦曲線的和有效的表示，所以脈沖的存在降低了正弦模型的有效性。由于高共振分量與脈沖和瞬態(tài)沖擊大體上無關(guān)，所以正弦模型被期望有效用于高共振分量。圖10 語音信號（Im）分解成高低共振分量。高共振分量（b）包含語音信號中的持續(xù)振蕩成分，低共振分量（c）包含非振蕩瞬態(tài)成分。（剩余成分沒有表示）圖11 圖10所示的語音信號和提取出的高低共振分量的頻譜。這個頻譜是使用寬為50ms即從0.05至0.10s的語音部分計算得到的。每個共振分量的能量廣泛分布在各個頻率和他們的重疊部分之中。（a）原始信號（b）高共振分量（c）低共振分量表2AR模型預(yù)測誤差的比較。這個表列出了，其中是原始信號的預(yù)測誤差（），

38、是高共振分量的的預(yù)測誤差，如圖10所示。P代表模型的順序，每種方法通過matlab函數(shù)名字進行區(qū)分。為了初步量化高共振分量的壓縮性和可預(yù)見性，并與原始語音信號對比，我們對兩個信號應(yīng)用AR模型，并使用表2中列出的方法和模型。每種情況下，都會預(yù)期誤差（標準偏差），并用和代表原始信號的高共振分量的預(yù)期誤差。我們發(fā)現(xiàn)明顯少于。表2列出了對應(yīng)每種方法和模型序數(shù)的比率。例如，使用模型序數(shù)為p=6的burg AR方法，高共振分量的預(yù)測誤差是原始信號預(yù)測誤差的14.7%。表2中的數(shù)值表明比原始信號具有更高的可預(yù)見性，至少是AR模型在應(yīng)用于預(yù)測時是這樣。圖12顯示了使用參數(shù)為p=6的Burg方法估計的功率譜密度

39、；高共振分量的共振峰更加清晰，正如圖10信號波形所預(yù)料的那樣。因此，高共振分量可能有利于共振峰的追蹤，并且具有優(yōu)良的瞬時分辨率。圖12 使用模型序數(shù)為p=6的burg方法的AR譜估計，應(yīng)用對象為圖10的語音信號和高共振分量。圖12中的更明顯的峰值表明高共振分量能夠加強語音共振峰和相對空間，而相對空間是元音的特征。同時，低共振分量能夠加強和聲，而和聲是說話人音高的特征。既然如此，把高共振分量進行編碼可以建立一種更加有效地語音編碼?？紤]到語音信號既含有說話者本身的特點也含有所需傳達的信息，所以一直以來都認為who和what通過語音系統(tǒng)沿著獨立的傳感路徑傳遞到大腦皮層【64】。與此相似，共振稀疏分解

40、可以實現(xiàn)傳遞路徑的分離。語音分析的基本工具是光譜分析。根據(jù)泊松等原理，“時頻分析有益于語言交流的各個方面【77】。然而，人們在尋找光譜替代品的過程中建立了多種可適應(yīng)性非線性時頻分配方法，并且這些方法都改善了分辨率特性【16，,4,47,48,88】。對于某些信號（多分量AM/FM信號，或者更普通的高共振信號），這些強大的TF（變換）技術(shù)揭示了時域波形本身無法觀察到的時變頻率特性。然而，對于其他信號，感興趣的信息更容易通過時域波形確定（例如，一個神經(jīng)尖刺序列的內(nèi)部脈沖間隔，或者更普通的低共振信號）。對于同時含有高低共振分量的信號來說，現(xiàn)存的視頻分析技術(shù)可以更有效地應(yīng)用于高共振分量而不是原始信號。

41、6. 進一步討論參數(shù)選擇。目標函數(shù)（1）的最小化取決于參數(shù)1和2，通過改變這些參數(shù)，可以調(diào)整稀疏分解的結(jié)果。1和2的相對值影響兩個分量的能量：例如，固定1，增加2將降低的能量并增加的能量。的值也影響殘差的能量：同時增加1和2的值將降低兩個分量的能量，并增加殘差的能量。本文中的例子通過觀察產(chǎn)生的分量來人工選擇參數(shù)，這樣做將影響1和2之間的平衡。正如文獻【15】中所描述的，參數(shù)的自動選擇可以通過超參估計程序?qū)崿F(xiàn)。對于將圖像分解成質(zhì)地和結(jié)構(gòu)分量，參考文獻【3】在兩個分量不相關(guān)的假設(shè)下描述了一種參數(shù)選擇的方法。在本領(lǐng)域采用相似的方法可能會有用。兩個恒Q變換的Q值選擇也影響最終的結(jié)果。為了獲得非振蕩分量

42、的稀疏表示，使用Q=1作為低Q變換（如二元小波變換）的Q值看起來是合理的。高品質(zhì)因子的Q值設(shè)置取決于討論中提到的信號的振蕩行為。然而，分解結(jié)果對于Q值和的敏感程度看起來并不一樣。此外，參數(shù)和Qi可以根據(jù)適當?shù)男阅軠y量優(yōu)化進行選擇，正如文獻【103】中的例子所闡述的那樣。為什么不是二范數(shù)penalty？如果二范數(shù)被用于式（1）中的懲罰項，那么，使用，并最小化W1和W2可以由下面的封閉式給出，然后估計分量由下式給出:圖13 恒帶寬和恒Q分解可能具有相似頻率支持的分析函數(shù)。也就是說，都是x的簡單放縮。盡管目標函數(shù)（16）允許封閉形式的最小化，但它不能形成任何分解。多于兩個的共振分量。同樣的方法可以用

43、于不止兩個共振分量，雖然我們這里沒有闡述。主要的問題是使用更多的變換通常會削減變換之間的不相關(guān)性，這將降低獲得不同分量的可能性。然而，如果具有足夠高品質(zhì)因子的恒Q變換被用于定義第三個共振分量，那么不相關(guān)性不會改變，MCA的性能也不會削弱。具體說來，Q3應(yīng)該足夠大，以保證假設(shè)理想的帶通小波（2）能夠用于計算Q3的最小值。使用恒Q和恒帶寬變換的MCA。對于使用稀疏信號表示來實現(xiàn)振蕩和瞬態(tài)信號的分離來說，利用短時傅里葉變換（或相似的恒帶寬變換，如MDCT）和小波變換（具有低品質(zhì)因子，如二元小波變換）。這種方法在文獻【23,24,75,96】中得到了闡述，并具有非常優(yōu)異的分解結(jié)果。然而，通過參數(shù)的設(shè)置

44、（如窗口長度等），恒帶寬分解和恒Q分解可能具有相似頻率支持的分析函數(shù)，如圖13所示。（在0.1和0.2之間的帶通有很大的重疊，如圖所示。）在這種情況下，由于兩個變換的分析函數(shù)的最大內(nèi)積接近整數(shù)，所以這兩個變換將具有高相關(guān)性，這將降低可分解性，并與所分析的信號的具體形式有關(guān)。另一方面，正如上面所提到的，兩個恒Q變換具有明顯不同的品質(zhì)因子時將具有低相關(guān)性，這是因為兩個分解的分析函數(shù)不具有相似的頻率支持。同樣，連個具有明顯不同的帶寬的恒帶寬變換也將具有低相關(guān)性，因此也適合基于MCA的分解。這要求分別為兩個恒帶寬變換設(shè)置長短不同的窗口。這種方法在文獻【25,38,57】中進行了闡述。7. 相關(guān)工作和概

45、念相關(guān)的分解方法：將一個給定信號分解成振蕩和非振蕩成分的問題已經(jīng)的得到了大量的關(guān)注，尤其是語音信號處理問題；然而，以前的不基于共振的方法與本文闡述的方法是不同的。對語音和音樂聲音所建的模型通常包含三個分量：一個近似正弦分量（振蕩分量），一個瞬態(tài)分量和一個隨機分量。對于語音處理（間距或時間縮放，變形，強化，除混響，編碼，語音綜合和其他聲音）來說，將三個在心理聲學(xué)上很重要的分量分別建模通常是有用的。早期在聲音分解方面的研究工作使用確定+隨機模型【87】、正弦+噪聲模型【86】、或者諧波+噪音模型【66】。隨后的研究工作使用正弦+瞬態(tài)+噪音模型【67,68,100】，其中瞬態(tài)（確定的，非振蕩的）分量

46、是引進的。相關(guān)的工作考慮了一個定期+不定期模型【19,107】和間距同步模型【34,78】。從某種意義上說，下面這些多分量模型詳細闡述和強化了正弦語音模型【73,80】。盡管這些方法將信號分解成振蕩和非振蕩和殘余分量，正如本文所提到的方法，但是他們估算和提取振蕩分量時使用恒帶寬變換俄日不是恒品質(zhì)因子變換，因此他們不是基于共振的信號分解方法。最新的將信號分解成振蕩和瞬態(tài)分量的方法是基于稀疏信號表示【24,25,38,75】，正如本方法所描述的。然而，這些方法依然不是基于共振而是使用恒帶寬變換。二元小波變換（低品質(zhì)因子）和改進離散余弦變換（MDCT）在文獻【24,75】中得到了使用，然而過完備復(fù)數(shù)調(diào)制重疊變換字典在文獻【25】中得到了使用。注意到MDCT和MCLT是恒帶寬而不是恒品質(zhì)因子變換。文獻【38】中描述了一種貝葉斯方法，并針對音調(diào)分量使用長窗口MDCT基，針對瞬態(tài)分量使用短窗口MDCT基。按照這些原則，文獻【96】中討論了用于語音加強的MDCT和小波變換的使用。參考文獻【23】建立了一種新算法：分子匹配追蹤算法。文獻【57】給