高中物理競賽_話題1：重心與質心的確定

1、話題1:重心與質心的確定一、平行力的合成與分解物體所受的幾個力的作用線彼此平行，且不作用于一點，即為平行力（系）。在平行力的合成或分解的過程中，必須同時考慮到力的平動效果和轉動效果，后者要 求合力和分力相對任何一個轉軸的力矩都相同。兩個同向平行力的合力其方向與兩個分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作 用線在兩個分力作用點的連線上。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個同向平行力Fa和Fb，其合力的大小F =Fa * Fb ,合力作用點0滿足AO FA 二 BO FB 的關系。兩個反向平行力的合力其方向與較大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用線在兩個分力作用

2、點的連線的延長線上，且在較大的分力的外側。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個反向平行力FA和FB的合成其合力的大小F二Fb -Fa（假如Fb - Fa，貝V F和Fb同向）其合力的作用點滿足 A0 £二BO Fb的關系。FbFb*Fa一個力分解成兩個平行力，是平行力合成的逆過程。、重心和質心重心是重力的作用點。質心是物體（或由多個物體組成的系統(tǒng) ）質量分布的中心。物體的重心和質心是兩個不同的概念，當物體遠離地球而不受重力作用時，重心這個概念就失 去意義，但質心卻依然存在。對于地球上體積不太大的物體，由于重力與質量成正比，重 心與質心的位置是重合的。但當物體的高

3、度和地球半徑比較不能忽略時，兩者就不重合了， 如高山的重心比質心要低一些。在重力加速度g為常矢量的區(qū)域，物體的重心是惟一的（我們討論的都是這種情形）重心也就是物體各部分所受重力的合力的作用點，由于重力與質量成正比，重力合力的作用點即為質心，即重心與質心重合。求重心，也就是求一組平行力的合力作用點。相距L,質量分別為 m,m2的兩個質點構成的質點組，其重心在兩質點的連線上，且與m!,m2相距分別為L）, L2:gLi = m2L2L1L2 = L,mLLi :m1m2mLmm2均勻規(guī)則形狀的物體，其重心在它的幾何中心，求一般物體的重心，常用的方法是將物體分割成若干個重心容易確定的部分后，再用求同

4、向平行力合力的方法找出其重心。三、物體重心（或質心）位置的求法1、定義法（坐標法）質心位置的定義表達式是一個矢量表達式，將質點組各質點參量記為mi、ri，質點組N的質心記為C ,貝U memiiTC的位置定義在坐標(Xe , ye ,Ze )N' mxi =1Xe =mcN' m%=1yc 二送mziZei mme3#其意義可以這樣理解：假定由多質點組成的物體被分成許多小塊，每塊都有相同的質量m，物體總質量等于塊數(shù)（設為N塊）乘以每塊質量 m，第一式可以改寫成：1mNNmxi =±即等于各小塊的位置 Xi之和除以塊數(shù)N。因此，在假定每塊質量相等時，Xe就是所有Xi的平

5、均值。如果其中有一塊（設第i塊）的質量是其它小塊質量的兩倍，則在求和時，相應的Xi應出現(xiàn)兩次。這可以設想把此兩倍的質量的小塊分成相等的兩塊即可看出。因此,Xc是所有質量在x方向上的平均位置，其中每小塊質量所計算的次數(shù)都正比于這個質量自身。這就是人們常說的，質心位置是以質量為權重的加權位置平均值。根據(jù)定義式是求質心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐標，再利用直角坐標下定義式給出質心的位置。對質量連續(xù)分布的物體，計算中通常要用到積分，對于中學生來說暫時還無力求解。因此，此法通常用于質量離散分布或系統(tǒng)可以等效成離散質點情況的處理。物體重心（或質心）位置的求法例1、如圖所示，一根豎直懸掛著的無限長

6、細線上等距離地固定著不等的質點小球，相鄰兩個小球之間的距離為a。已知最上端小球與懸點之間距離也為a，它的質量為 m，其余各球的質量依次為2m、3m、直到nm。求整個體系的質心位置到天花板的距離。n個質量m2m3m解、首先建立一維坐標系，以懸點為坐標原點，豎直向下為x軸的正方向。二 m 2m 3mNz mXiXc 二me_ ma 2m 2a 3m 3a nm nan(n +1)m1 22 32n(n 1)2n2a2n(n 1)(2 n 1)n(n 1)(2n 1)a例2、如圖，有5個外形完全一樣的均勻金屬棒首尾相接焊在一起，從左至右其密度分別為1.1，、1.2,、1.3,、1.4'，設每

7、根棒長均為I，求其質心位置，若為n段，密度仍如上遞增，質心位置又在什么地方?5解：設整個棒重心離最左端距離為x，則由求質心公式有x =送mm?X2 III mX5m +m2 + 川 +m5135791.1 Z 112、I 1.3：、vl1.4vl_ 2 2 2 2 2-vv +1.1Pv+1.2Pv+1.3Pv+1.4Pb= 2.67l若為n段，按上式遞推得：n 11 1.1 3 1.2 5 1.3 7 | (1)(2n-1)n 11 1.1 1.2 1.3 川(1)10將坐標原點移到第一段棒的重心上，則上式化為:n_112n_11.1 1.2 2 1.3 3 川(1)(n -1)(1) (1

8、) 2 | (1)(n 1)10 , 10 10 10_n_1_n_11 1.1 1.2 (1 ) 1 1.1 1.2 (1 )10 101 _1 2 川(n - 1)丨命 12 22 川(n -1)21 1.1 1.2 | (1口)10_(n-1)(2n 29)3(n 19)6解：設整個棒重心離最左端距離為x，則由求質心公式有#解：設整個棒重心離最左端距離為x，則由求質心公式有2、力矩法利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置。 如圖由重量分別為G1, G2的兩均勻圓 球和重量為 G3的均勻桿連成的 系統(tǒng)，建立如圖坐標系，原點取 在A球最左側點，兩球與桿的重#解：設整個棒重心離最左端距離為

9、x，則由求質心公式有#解：設整個棒重心離最左端距離為x，則由求質心公式有心的坐標分別為Xn X2, X3，系統(tǒng)重心在P點，我們現(xiàn)在求其坐標X。設想在P處給一支持力R，令R二G(2(3達到平衡時有:M - G-iX-j G2x2 G3 x3 - Rx = 0#G1X1 ' G2X2 ' G3X3GiX| ' G2X2 ' G3X3x =RG<| +G2 + G3這樣就得出了如圖所示的系統(tǒng)的重心坐標。若有多個物體組成的系統(tǒng)，我們不難證明其重心位置為： X£亡 y 空 z93瓦 Gi瓦 GiZ Gi般來說，物體的質心位置與重心位置重合，由上面公式很易得

10、到質心位置公式:Z mi XiE mw Z mzixyz =送m送m送m例3、如圖所示，A，B原為兩個相同的均質實心球，半徑為R，重量為G，A，B球分r 3R35別挖去半徑為 R和溼的小球，均質桿重量為 352464長度I =4R，試求系統(tǒng)的重心位置。解：將挖去部份的重力，用等值、反向的力取代,圖示系統(tǒng)可簡化為圖所示平行力系；其中G27Ga, GbG。864設重心位置為O，則合力G 2793W 二G GG G8 6464且' M°(GJ =027r GrG(3R -OC) G(OC 3R )(3R OC6448235G OC G(3R OC)64OC =0.53R3、實驗室質

11、量作平面分布的物體用實驗法求質心位置較為簡便。在此平面物體上，選兩點B （設A、B和質心不在同一直線上），分別作為懸掛點，懸掛在垂直于平面的光滑轉軸上,過懸掛點的兩個鉛垂線的交點即為質心位置。4、對稱法如果一個物體質量分布具有軸對稱性，例如質量平面均勻分布的菱形物體，其質心必 處在對角線上，兩對角線的交點即為此菱形的質心位置。這是因為垂直于對稱軸方向上， 軸兩旁的正負坐標的質量對應相等。5、分割法8這種方法把整個物體分割成質心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自質心處、 并具有該部分質量的質點，再依質心定義表達式求出整個物體的質心位置。如下左圖的棒錘，假設勻質球 A質量為M、半徑為R ；勻

12、質棒B質量為m、長度為I，求它的重心。第一種方法是將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C 。 C在AB連線上，且AC M =BC m(如圖)。AR+2BCI TmgMg9+(M m)g6、負質量法容易看出，負質量法本質上是分割法的一種 推論，仍然是把整個物體分割成質心易求的幾個 部分。不同的是，每一部分既可以是正質量，也 可以是負質量。同樣，將棒錘看成一個對稱的“啞鈴”和一個質量為-M的球A的合成(如圖)，用反向平行力 合成的方法找出其重心 C，C在AB連線上，且BC (2M mAC M 不難看出兩種方法的結果都是：BC二 一 (R -)m + M 2證明方法與分割法相

13、同。有時，根據(jù)質心的定義，我們還可用坐標法求物體系的質心。通常把物體分割成n個部分，求得這n個部分的質量分別為 m“ m2, m3,mn。所受的重力相應為 mig,m2g, mag,m“g。又求得它們的重心(質心)的坐標分別為(%，乙),(X2,y2,Z2),(X3, y3,Z3), (Xn, yn, Zn)。由于這n個部分所受的重力 Gi = mig (i =1,2,n)可看作是平行力，故可用類似于求同向平行力合力的方法，求得這n個平行力合力的作用點位置(Xc, yC, Zc)，得出整個物體質心(重心)的位置坐標為E mxz mz mzxp 二；yp ； Zc 二、m' m'

14、 miiii上例中，以B點為原點，水平向右為。軸正方向，貝UA, B的合質心的位置為:xc即：XcM (R 2)M mM 0 m 0、=“ M +myc =o10#負號表示質心的位置在 B點左側（如上右圖）。用坐標法求物體的重心是比較方便的。坐標法與分隔法一樣，都是由平行力的合成方 法推導出來的，有興趣的讀者可以嘗試推導一下。7、巴普斯定理及其推論對于質量連續(xù)分布的物體，求質心的一般方法是利用質心定義的三個分量表達式。但 是，有時我們愿意采用處理這類問題的技巧，巴普斯定理提供了一種技巧。巴普斯定理表述為：一個平面物體，質量均勻分布，令其上各質點沿垂直于平面的方 向運動，在空間掃過一立體體積，則

15、此體積等于面物體面積乘以物體質心在運動中所經(jīng)過 的路程。當面物體上各質點以相同的速度沿著一條與物平面垂直的直線運動時，在空間掃過的 體積是一柱體。顯然，巴普斯定理成立。一般情況下，平面物體上的一質點運動保持與物平面垂直，而各質點速度并不相等， 質心將沿曲線運動，平面物體在空間將掃出一個不規(guī)則體積。我們要證明巴昔斯定理仍能 得到滿足。下面分步給出證明。1）、易知，質心為原點的質心參照系下，質心的位置坐標必為零。對于平面物體情況，在物平面內建立坐標 oxy（x軸垂直此面），坐標原點O與質心C重合，因質心x坐標xC =0，得Z mx =02）、我們已經(jīng)知道，剛體的一個無限小運動可以由剛體上任一參考點

16、的無限小平動和 繞此參考點的無限小轉動疊加而成?，F(xiàn)在我們把平面物體的運動分成無限多個無限小運動。每個無限小運動分解成隨質心 的無限小平動和繞質心的無限小轉動。為保證巴普斯定理中對平面物體運動的要求，應滿足：隨質心的無限小平動必須垂直于物平面；繞質心的無限小轉動的瞬時轉動軸必須在物 平面上。3）、討論符合巴普斯定理要求的平面物體運動中第i個無限小運動。設隨質心的第i個無限小平動位移的 z，則平面物體掃過的體積元為：V 二S.迄其中S為平面物體面積。設繞過質心在物平面上的轉軸為y軸，第i個無限小轉動產(chǎn)生的角位移為l- o利用xc =0，得二 x = mii -；八 k二S =0其中二為平面物體質量

17、面密度，對于質量均勻分布的平面物體，C為常量。.S為平面物體上面元的面積。設各面元在無限小轉動下轉過的路徑.： l i為Ulj因平面物體上各質點相同，所以AoxS =0則送Alj g =0此式表示，由無限小轉動所引起的各面元在空間掃過的體積正好抵消（這只有在坐標原點選在質心上，才有此結論 ）。對于整個運動過程，此結論依然成立。因此，在滿足巴普斯定理的運動要求下，面物體在空間掃過的體積為VV =SE Azi其中.：zi為平面物體運動中質心經(jīng)歷的路程。巴普斯定理得證。巴普斯定理的一個推論同樣很實用。此推論表述為一條質量均勻分布的平面曲線，其 上各點沿垂直于曲線平面方向運動，在空間掃過一曲面，則此曲

18、面面積等于質心在運動中 所經(jīng)路程與曲線長度的乘積。這個推論的正確性，只要把此平面曲線看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的結論得到。例4、一直角三角形板質量分布均勻，兩直角邊長度分別為和b，求質心位置。解、由數(shù)學知識可知結論：質心將位于三中線交點。驗證：設質心位置坐標為 （x, y）令直角三角形繞直角邊 a旋轉一周，形成圓錐。設質心離a邊x，則Inb2 a =2二x lab32同理可得，宀.13#例5、半徑為R、均勻半圓板的質心位置。解、以直徑為軸將線環(huán)旋轉 360°，得一球面,4312設質心離直徑邊為 x，貝UR3 = 2 xR232可得4Rx =3兀例6、確定半徑為R、質量分布均勻半圓形金屬線環(huán)的質心位置。解：以AB為軸將線環(huán)旋轉360°，得一球面，得2R4 - R2 =2 二 x 二 Rx =n即：掃過的曲面面積=質心在運動中走過的路程x曲線長度。例7：如圖(a)所示，由勻質金屬絲圍成的封閉圖形，其中曲線部分是半徑為R的半圓，直線部分是直徑。求此封閉金屬絲的質心位置。(a)解：以AB為軸將線環(huán)旋轉360°，得一球面，得22 R4二 R =2：x (二 R 2R)x =2例8、由勻質金屬絲圍成的一直角三角形封閉圖形,兩直角邊長度分別為和b，斜邊長為c，求質心位置。解：方法一、令直角三角形繞直角邊a旋轉一周，形成圓錐。設質心