九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納湘教版

1、2018年茶陵思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)第一章反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）反比例函數(shù)的概念ih（Ho）可以寫(xiě)成）二區(qū)“（七*。）的形式，注意自變量x的指數(shù)為T(mén),在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)H0這一限制條件；2 .y一；（0）也可以寫(xiě)成乂丫=卜的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式；_k3 .反比例函數(shù)'/的自變量工工,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn).（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)X的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,且x應(yīng)對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）.（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)IFI丁1 .函數(shù)解析式：X

2、（上mQ）2 .自變量的取值范圍：3 .圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線.川越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.M越小，圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線.當(dāng)今0時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)尢5時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（3）對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（-&,-b)在雙曲線的另一支上.圖象關(guān)于直線二士彳對(duì)稱(chēng)，即若(a,b)在雙曲線的一支上，則(b,&)和(-b,|-S)在雙曲線的另一支上.4 .k的幾何意義如圖

3、1,設(shè)點(diǎn)P(a,b)是雙曲線x上任意一點(diǎn)，作PZx軸于A點(diǎn)，PB，y軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA勺面積是同(三角形PAOffi三角形PBO勺面積都是2%.圖1如圖2,由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QCLPA的延長(zhǎng)線于C,則有三角形PQC勺面積為刎.5 .說(shuō)明：(1)雙曲線的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.(2)直線，=取與雙曲線,一刀的關(guān)系：當(dāng)。時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)尢也。時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.(四)實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)1 .求函數(shù)解析式的方法：(1)待定

4、系數(shù)法；(2)根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.2 .注意學(xué)科間知識(shí)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上.(五)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.三、例題分析Qi.反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().A.y=3xB.4="C.3xy=1D.P=K(2)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().答案：(1)C;(2)A.02.圖象和性質(zhì)(1)已知函數(shù)了二(七+1)"+”是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么k=:若y隨x的增大而減小，那么k=:(2)已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則函數(shù)，的圖象位于第象限.k(3)若反比例函數(shù)X經(jīng)過(guò)點(diǎn)

5、(T,2),則一次函數(shù)y二一女+2的圖象一定不經(jīng)過(guò)第象限.ay=-(4)已知a-b<0,點(diǎn)P(a,b)在反比例函數(shù)1的圖象上，則直線了二縱+'不經(jīng)過(guò)的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限k2y=-(5)若P(2,2)和Q(m,一加)是反比例函數(shù)工圖象上的兩點(diǎn)，則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)().A.第一、二、三象BgB.第一、二、四象限C.第一、三、四象BMD.第二、三、四象限（6）已知函數(shù)J=Mx-D和'一工（kw0）,它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大答案：（1）-21;（2）一、三；（3）四；（4）C;（5）C;（6）B.33,函數(shù)的增減性I上,I

6、（1）在反比例函數(shù)7化"的圖象上有兩點(diǎn)'儕M）,弛，M,且工%Q,則VN的值為（）.A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C,非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)（2）在函數(shù)'一工（a為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)（T，1）,I為，乙y）|號(hào)力,則函數(shù)值K、刀、內(nèi)的大小關(guān)系是（）.a.DXbR/J1cM，Nd為M第二章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為2,整式方程，可化為一般形式;2 .正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)(1)明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a#0時(shí)，整式方程ax2+bx+c=0才是

7、一元二次方程。(2)各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).(3)熟練整理方程的過(guò)程3 .一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4 .列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4,值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如x2=門(mén)或(2*+22=n(a*0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方

8、，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解.形如x2=門(mén)的方程的解法：當(dāng)n>0時(shí)，x=±<n;當(dāng)n=0時(shí)，x1=x2=0;當(dāng)n<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。(2)配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的方程，冉運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x+m)2=n的形式；求解：若n20時(shí)，方程的解為x=-m±Jn,若n<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。(3)公式法：一元二次方

9、程ax2+bx+c=0(a*0)的根x=-2a當(dāng)b2-4aca0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為xi=x2=-上；2a當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b,c的值；代入b2-4ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若b2-4ac之0代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。(因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因

10、式至少有一個(gè)為0,即：若ab=0,則a=0或b=0；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類(lèi)型；(2)對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能

11、用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。(三)、根的判別式1.了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。，一.2.(1)=bb-4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)_.a#0當(dāng),方程有頭數(shù)根；1A之0時(shí),a¥0、，.a,a#0、，.(當(dāng)萬(wàn)程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)萬(wàn)程有兩個(gè)A0時(shí)A=0時(shí)相等的實(shí)數(shù)根；)4/0當(dāng)3口“仁方程無(wú)實(shí)數(shù)根；1A<0時(shí)從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2.常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型(1)利用根的判別式定理，不

12、解方程，判別一元二次方程根的情況(2)已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍(3)應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況先計(jì)算出判別式(關(guān)鍵步驟)；用配方法將判別式包等變形；判斷判別式的符號(hào)；總結(jié)出結(jié)論.第三章相似三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“s”表示，讀作“相似于”3.相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比；4.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知AD/BE/CF,可得BC EF AC DF AB DE AC DF DE EFABD

13、E-ABDE-BCEFiBCEFiABBC一二或=或=或=或相似三角形的預(yù)備定理：A由阻BC可得:普嚏嚼噎或第平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截成的三角形與原三角形相似。斜三角形直角三角形全等三角形的判止SASSSSAAS(ASAHL相似三角形的判定兩邊對(duì)應(yīng)成比例火角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例兩角對(duì)應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。5.相似三角形的判定定理：三角形相似的判定方法與全等

14、的判定方法的聯(lián)系列表如下:7 .相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。8 .相似三角形的傳遞性如果AABCABC,ABiGszXabg,那么AB&ABGEDAECBAAE4E12BBBAB,AB射影定理型)AAEABEEDADCC(D)BBCA21EDC23AD若DE/BC（A型和X型）則AAD曰AABCDEC滿(mǎn)足1、aC=adDB9.相似三角形的幾種基本圖形：）平行于三角形一邊的直線和其

15、他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。這個(gè)定理確定了相似三角形的其中/1=/2,則4AD曰ZXABCW為ACAB都可判定ADaAACB型和“81D一CAE一，或ADAB=AC-AE時(shí).2B稱(chēng)為C垂直型”垂在C角型、雙垂直共角共邊型D1如圖：/1=/2,/B=/D,則AADaAABCD稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。/ACD=B,/ACBWADC者B可判定AD必ACBD、FEAA2DC對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形B-一''C(3)BC0（或基本圖形）“抽”出來(lái)的辦法處理10.證明題常用方法歸納：總體思路：“等積”變“比例”，“比例”找“相似”找中間比

16、：若找不到兩個(gè)三角形相似的，則需要進(jìn)行“替換”，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話(huà)，可以考慮添加輔助線（通常是添加平行線）注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。第四章銳角三角函數(shù)1銳角三角函數(shù)定義銳角/A的正弦（sin）,余弓玄（cos）和正切（tan）叫做角A的銳角三角函數(shù)正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊；sinA=a/c余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；cosA=b/c正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；tanA=a/b銳角三角函數(shù)值的定義方法是在直角

17、三角形中定義的，所以在初中階段求銳角的三角函數(shù)值，都是通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)完成的，即把這個(gè)角放到某個(gè)直角三角形中2特殊角的三角函數(shù)值角度30°45060°正弦(sin)1/2V2/2V3/2余弦(cos)V3/2V2/21/2正切(tan)V3/31V3(注0是銳角：0<sin0<10<cos0<1tan0>0)3銳角三角函數(shù)值的符號(hào)及其變化規(guī)律1）銳角三角函數(shù)值都是正值。2）當(dāng)角度在0°90°間變化時(shí),、正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；、余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；、正切值隨著角度的增大

18、（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；4同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2 a + cos3 a -1sina =cosa tana5互為余角的三角函數(shù)間的關(guān)系sin(90-a)=cosacos(90-a)=sina6解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)在RtAABC中，/C=90°,/A,ZB,/C所對(duì)的邊分別為a,(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(2)銳角之間的關(guān)系：/A+/B=/C=90。(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=a;cosA=-;tanA=;ccbabbcosB=；sinB=；tanB=一cca一一一11(4)面積公式：SA=ab=1ch(h為斜邊上的局)227解直角三角形的基本類(lèi)型及其解法如下表:已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=Ja2+b2,tanA=,/B=90°-/Ab一直角邊a,