雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、高二數(shù)學(xué)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程式教案課    題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程式 地    點(diǎn)：微機(jī)室        輔助工具：微機(jī)（附軟盤）教學(xué)目的：1能根據(jù)條件利用工具會(huì)畫雙曲線2 常握雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程3 利用定義會(huì)求雙曲線的方程4 利用標(biāo)準(zhǔn)方程的形式會(huì)求雙曲線的方程5 提高運(yùn)算能力重    點(diǎn)：雙曲線的定義和及其標(biāo)準(zhǔn)方程難    點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程中a與b的判斷和換元法教學(xué)過程：（詳見于課件） 一

2、.回顧與引入主題橢圓定義是與兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)的點(diǎn)軌跡是橢圓,那么與兩定點(diǎn)距離的差非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢?二.實(shí)物演示與電腦演示工具: 圖釘,筆,拉鏈.方法: 將拉鏈拉開一部分,在拉開的兩邊上各選取一點(diǎn),分別固定在 , 上, 到 的長為2a(a>0).把筆尖放在 處,隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，筆尖就畫出一條曲線（先用模型演示，后用電腦演示）。問：這條曲線是滿足什么條件的點(diǎn)的集合。答:  如果使點(diǎn)M到點(diǎn)F 的距離減去到點(diǎn)F 的距離所得差等于2a，就得到另一條曲線（電腦演示），這條曲線是滿足下例條件的點(diǎn)的集合，即     

3、;               。名詞：這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。（此時(shí)板書課題）上述演示中有幾個(gè)關(guān)鍵的地方：        1、 = 常數(shù)（=2a>0）        2、 =常數(shù)（=2a>0）       

4、3、a<c此時(shí)M的軌跡是雙曲線問：若a=c 或a>c時(shí)，則M的軌跡又是什么？請(qǐng)思考（先電腦演示后回答，再看結(jié)果）三雙曲線定義(電腦展示)    為了給出雙曲線定義，請(qǐng)?jiān)偎伎迹?#160;   1、 與 哪個(gè)大？    2、點(diǎn)M與F 、F 點(diǎn)的距離之差應(yīng)怎么表示？    3、點(diǎn)M與F 、F 點(diǎn)的距離之差與 的大小關(guān)系怎樣？回答后，電腦展示結(jié)果。通過上述討論得到雙曲線定義：定義(電腦展示和板書)把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(小于 )的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩

5、個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。四求標(biāo)準(zhǔn)方程以過兩定點(diǎn) 的直線為X軸，以線段 的平分線為Y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M（x,y）， =2c,并設(shè) 根據(jù) ，得：（板書此處化簡的過程）化簡方程，得：由雙曲線定義可知，2c>2a，即c>a，所以 >0。令 ，其中b>0，代入上式，得  ( )（板書）這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它的特點(diǎn)是焦點(diǎn)在X軸上，焦點(diǎn)是 ，  ，這里 。想一想：焦點(diǎn)在Y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程又怎樣嗎？（電腦演示）歸納：（方程與圖形都發(fā)生變化）（師生共同完成）   

6、0; 焦點(diǎn)是 、 ，a、b的意義同上，那么只要將原方程的x、y互換，就可以得到它的方程  ( )（板書）這個(gè)也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。小結(jié)：（師生共同完成）電腦展示結(jié)果。練習(xí)：(電腦展示)1.已知： 求：a=_  ,b=_  ,c=_  .2.已知： 求：a=_  ,b=_  ,c=_  .五例題(電腦展示)例1 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，雙曲線上一點(diǎn)P到 的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在X軸上，所以設(shè)它的方程為  (a>0,b>0)   

7、60;  2a=6,2c=10,        a=3 ,  c=5，    b=4所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 注：此題用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的特征來解的，也可以利用軌跡思想和兩點(diǎn)間的距離公式來解，但較繁。練習(xí)：(電腦展示)例2. 已知雙曲線的焦點(diǎn)在Y軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)的 坐標(biāo)分別為 ,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在Y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為          

8、0;     ( a>0,b>0 )  因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線上，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)適合上面方程,將 分別代入其中，得方程組                                   令 ,則方程組化為解這個(gè)

9、方程組，得                                即 所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為 。注 ：本題解題方法是待定系數(shù)法，化簡是用了換元法。六. 練習(xí)(電腦展示)1、 求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)、a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸上；(2)、焦點(diǎn)為(0,-6),(0,6),經(jīng)過點(diǎn)(2,

10、-5)；2、填空：已知方程 表示雙曲線，則的取值范圍是_.七. 小結(jié)：(電腦展示)本節(jié)課主要掌握：  概    念：雙曲線定義，焦點(diǎn)，焦距，長軸，短軸。  公    式：標(biāo)準(zhǔn)方程（兩種形式）。  幾何含義：a,b,c.  繪圖方式：拉鏈。  解題方法：定義法，待定系法，換元法。六、板書設(shè)計(jì)8.3  雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）（一）復(fù)習(xí)提問（二）演示（三）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程定義（四）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 練習(xí)（五）例題例1例2 七、教學(xué)后記雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案設(shè)計(jì)一

11、、教材分析：本課內(nèi)容選自人教版2000年新版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）第八章圓錐曲線方程雙曲線是三種圓錐曲線中最復(fù)雜的一種，傳統(tǒng)的處理方法是先學(xué)習(xí)橢圓，再學(xué)習(xí)雙曲線，通過對(duì)比橢圓知識(shí)來學(xué)習(xí)，降低難度，便于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握。教材為雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程安排兩課時(shí)內(nèi)容，本文是第一課時(shí)，本課的主要內(nèi)容是：（1）探求軌跡（雙曲線）；（2）學(xué)習(xí)雙曲線定義；（3）推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；二、教學(xué)目標(biāo)：1、認(rèn)知目標(biāo)：掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，了解雙曲線及相關(guān)概念；2、能力目標(biāo)：通過學(xué)生的操作和協(xié)作探討，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和分析問題、解決問題的能力，通過知識(shí)的再現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)。3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生

12、的全過程，體會(huì)解析法的思想。通過畫雙曲線的幾何圖形讓學(xué)生感知幾何圖形曲線美、簡潔美、對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探求；領(lǐng)悟解析法思想四、教學(xué)方式：多媒體演示，小組討論。五、教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件，六、教學(xué)設(shè)想：通過師生的相互“協(xié)作”，以提問的形式完成本堂課七、教學(xué)過程：環(huán)節(jié) 內(nèi)容 教學(xué)雙邊活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí) 問題1：橢圓的第一定義是什么？（哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)）問題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？問題3：如何作橢圓？問題4：性質(zhì)： 學(xué)生回顧，教師補(bǔ)充糾正 回顧橢圓學(xué)習(xí)過程，本身具有復(fù)習(xí)提高價(jià)值此處側(cè)重于類比研究橢圓的思想和方法，期望在雙曲線學(xué)習(xí)中有一種方法引領(lǐng)。引入

13、新 課 到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡？ 過渡探求軌 跡 問題：我們用什么方法來探求（畫出）軌跡圖形？用幾何畫板演示拉鏈的軌跡： 同樣的，也有 設(shè)問：定點(diǎn) 、 與動(dòng)點(diǎn) 不在同一平面內(nèi)，能否得到雙曲線？請(qǐng)學(xué)生回答：不能指出必須“在平面內(nèi)” 到 與 兩點(diǎn)的距離的差有什么關(guān)系？請(qǐng)學(xué)生回答， 到 與 的距離的差的絕對(duì)值相等，否則只表示雙曲線的一支，即 是一個(gè)常數(shù)這個(gè)常是否會(huì)大于或等 ？請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于 且大于零當(dāng)常數(shù)= 時(shí)，軌跡是以 、 為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)> 時(shí)，無軌跡 小組討論實(shí)驗(yàn)演示提問 通過提出問題，讓學(xué)生討論問題，并嘗試解決問題。讓學(xué)生了解雙曲線的前提條件，并培養(yǎng)學(xué)生的全面思

14、考的能力。感受曲線，解讀定義 演示得到的圖形是雙曲線（一部分）；歸納雙曲線的定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。數(shù)學(xué)簡記： （ ） 學(xué)生讀課本并分析其中的關(guān)鍵點(diǎn) 通過閱讀和關(guān)鍵點(diǎn)分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀書，學(xué)會(huì)分析書，從而理解書。推導(dǎo)方程，認(rèn)識(shí)特性 （1）建系以兩定點(diǎn)所在直線為x軸，其中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy設(shè) 為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為 ，則 、 ，設(shè)點(diǎn) 與 、 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) 。（2）點(diǎn)的焦合由定義可知，雙曲線上點(diǎn)的集合是 （3）代數(shù)方程 （4）化簡方程 （5

15、）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程形式：焦點(diǎn)在x軸上： 焦點(diǎn)在y軸上： 焦點(diǎn)的中點(diǎn)在原點(diǎn)（中心在原點(diǎn)）（6）數(shù)量特征： （ ） （實(shí)軸長） （焦距）指出：（1）雙曲線方程中 ，但 不一定大于 ；（2）如果 的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 軸上，如果 的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 軸上，有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)的位置；（3）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 的關(guān)系是 ，不同于橢圓方程中 交流：建系的任意性與合理性由一位學(xué)生上黑板演示，教師巡視， 通過對(duì)雙曲線方程的化簡，提高學(xué)生的演算能力?？勺⒁獯蟛糠謱W(xué)生寫得是否正確。類比橢圓，認(rèn)識(shí)共同點(diǎn)，辨別不同。運(yùn)用方程，體驗(yàn)思想 例1 ： 說明：橢圓 與雙曲線 的焦點(diǎn)相同例2：求到兩定點(diǎn) 、 的距離的差的絕對(duì)值為6的點(diǎn)的軌跡方程？如果把上面的6改為10，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？如果改為12呢？ 教師分析，由學(xué)生分析，教師板書及補(bǔ)充。 可以進(jìn)一步鞏固理解雙曲線的定義?；仡欉^程，歸納小結(jié) 雙曲線定義的要點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 課后練習(xí) 書本習(xí)題 八、自我教學(xué)評(píng)價(jià)在教學(xué)過程中