第4節(jié)-平面匯交力系

1、第四節(jié) 平面匯交力系 一、平面匯交力系合成的幾何法和平衡條件各力作用線在同一平面內(nèi)，并且匯交于一點(diǎn)的力系稱為平面匯交力系。在圖7-6中的梁和吊環(huán)都是受到平面匯交力系作用的例子。 c) d) 圖7-l5 平面匯交力系合成的幾何法設(shè)剛體上作用有一個(gè)平面匯交力系F1、F2和F3，見圖715a； 根據(jù)力的可傳性，可簡(jiǎn)化為一個(gè)等效的平面共點(diǎn)力系見圖7-15b；連續(xù)應(yīng)用力三角形法則，見圖715c：先將F1和F2合成為合力 F12， 再將 F12與 F3合成為合力F，則F就是力系的合力。如果只需求出合力F，則代表F12的虛線可不必畫出，只需將力系中各力首尾相接，連成折線，則封閉邊就表示合力F，其方向與各分力

2、的繞行方向相反。比較圖715c和圖715d可以看出，畫分力的先后順序并不影響合成的結(jié)果。這種用作力多邊形來求平面匯交力系合力的方法稱為幾何法。顯然，上面求兩力合力的力三角形法則是力多邊形法則的特例。同時(shí)對(duì)于有n個(gè)力的平面匯交力系，上述方法也是適用的?？梢娖矫鎱R交力系合成的結(jié)果為一個(gè)合力F，它等于各分力的矢量和，寫為 （7-3）顯然，物體在平面匯交力系作用下平衡的必要和充分條件是力系的合力等于零，即 （7-4）如上所述，平面匯交力系的合力是用力多邊形的封閉邊來表示的。當(dāng)合力等于零時(shí)，力多邊形的封閉邊（圖7-15 c和d中的F邊）不再存在。所以平面匯交力系平衡的幾何條件是力系中各力構(gòu)成自行封閉的力

3、多邊形。二力平衡公理中的兩力等值、反向、共線，其合力等于零，它是平面匯交力系中最簡(jiǎn)單的平衡力系。 二、平面匯交力系合成的解析法和平衡條件 1力在坐標(biāo)軸上的投影圖7-16 力在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)有一力F，見圖 7-16，在力F作用平面內(nèi)選取直角坐標(biāo)系Oxy，過力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向x軸和y軸作垂線，得垂足a1、bl和a2、b2，則線段a1bl和a2b2分別稱為力F在x軸上和y軸上的投影，并分別用Fx和Fy表示。 設(shè)力F與x軸所夾的銳角為，則求力F的投影的表達(dá)式為 （7-5）當(dāng)由a1到bl和a2到b2的指向分別與x軸、y軸的正方向一致時(shí)取“”，反之取“”。在圖7-l6 中，F(xiàn)x應(yīng)取“”，F(xiàn)y應(yīng)取

4、“”號(hào)，即 需要注意：力是矢量，而力在坐標(biāo)軸上的投影則是代數(shù)量。 2合力投影定理 設(shè)有力系F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n，其合力為F。則由于力系的合力與整個(gè)力系等效，所以合力在某軸上的投影一定等于各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和（證明從略），這一結(jié)論稱為合力投影定理。寫為 (7-6) 3平面匯交力系合成的解析法和平衡條件 用解析法求平面匯交力系合力的步驟如下： l）由式（7-5）求出各分力在兩坐標(biāo)軸上的投影； 2）由式（7-6）求出合力F在兩坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy； 3）由下式求出合力的大小 （7-7） 平面匯交力系平衡的條件為合力F0。由上式可知，必須分別等于零。因此可得平面匯交力系平衡的解析條件為 (7

5、-8) 即力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和應(yīng)分別等于零。 式（7-8）通常稱為平面匯交力系的（解析）平衡方程。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，因此可以求解兩個(gè)未知數(shù)。 例7-3 圖7-17a所示為一利用定滑輪勻速提升工字鋼梁的裝置。若已知梁的重力W15kN，幾何角度45°，不計(jì)摩擦和吊索、吊環(huán)的自重，試分別用幾何法和解析法求吊索1和2所受的拉力。 a） b） 圖7-17 平面匯交力系解題舉例 解： 1幾何法 1）取梁為研究對(duì)象。 2）受力分析。梁受重力W和吊索1、2的拉力Fl和F2的作用。其中W的大小和方向均為已知；Fl和F2為沿著吊索方向的拉力，大小待求，且三力組成平面匯交力系，并處于平

6、衡。 3）作出梁的受力圖，見圖717b。 4）列出平衡方程。 即 5）解方程，即作出矢量封閉圖，求出待求量。首先選取適當(dāng)?shù)牧Φ谋壤逨5kN/cm，見圖7-17c；然后畫出已知力W，即取JK=W/F(15/5)cm3cm，見圖717d，并從力W的末端K和始端J分別作力Fl和F2的方向線，得交點(diǎn)L，則KL即為力Fl，LJ即為力F2。量得兩線段的長(zhǎng)度為KLLJ2.1cm，因此吊索1、2的拉力為 或按幾何關(guān)系計(jì)算 2解析法 1）、2）、3）選梁為研究對(duì)象、受力分析、作受力圖，以上步驟均同幾何法。4）列平衡方程 5）解方程組，可得 Fl和F2的方向如圖7-17b所示。本裝置中，當(dāng)角度(0°9

7、0°)改變時(shí)，拉力Fl和F2將如何變化？如何求吊索3的拉力F3？請(qǐng)自行分析求解。（答：在圖7-17d的力三角形中，W一定，若角度減小，則拉力Fl和F2將減小；增大，則拉力Fl和F2將增大。取吊環(huán)和梁整體為研究對(duì)象，吊索3的拉力F3W，方向向上）補(bǔ)例1 支架如補(bǔ)例1圖所示，由桿AB與AC組成，A、B、C處均為鉸鏈，在圓柱銷A上懸掛重量為G的重物，試求桿AB與AC所受的力。補(bǔ)例1圖解 (1)取圓柱銷A為研究對(duì)象，畫受力圖 作用于圓柱銷A上有重力G，桿AB和AC的作用力FAB和FAC(補(bǔ)例1圖c)。因桿AB和AC均為二力桿(補(bǔ)例1圖b)，所以力FAB和FAC的方向必分別沿桿AB和AC兩端的

8、連線，指向暫假設(shè)。圓柱銷A受力如補(bǔ)例1圖c所示，顯然這是一個(gè)平面匯交的平衡力系。(2)列平衡方程 建立坐標(biāo)系如圖所示，列平衡方程 由式得 桿AC受壓 將FAC代入式得 桿AB受拉補(bǔ)例2 補(bǔ)例2圖所示為一夾緊機(jī)構(gòu)，桿AB和BC的長(zhǎng)度相等，各桿自重忽略不計(jì)，A、B、C處為鉸鏈連接。已知BD桿受壓力F=3kN，h=200mm，l=1500mm。求壓塊C加于工件的壓力。補(bǔ)例2圖解 (1)取DB桿為研究對(duì)象，作用于DB桿上有壓力F，桿AB和BC作用的力FAB和FBC，設(shè)二力桿AB和BC均受壓力(補(bǔ)例2圖c)，因此DB桿受力如補(bǔ)例2圖b所示。這是一個(gè)平面匯交的平衡力系。建立直角坐標(biāo)系xBy，列平衡方程 解得 (2)取壓塊C為