第三章一階微分方程的解的存在定理

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理教學(xué)目的：使學(xué)生掌握解的存在唯一性定理的內(nèi)容及證明思想、延拓定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性定理的內(nèi)容；掌握逐次逼近法；會(huì)判斷解的存在區(qū)間；了解奇解的概念和解法教學(xué)內(nèi)容：1、 解的存在唯一性定理與逐次逼近法解的存在唯一性定理及其證明、Lipschitz條件、Picard逼近序列、逐次逼近法2、 解的延拓定理與延拓條件3、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性定理4、奇解、包絡(luò)、奇解、Clairaut方程教學(xué)重點(diǎn)：解的存在唯一性定理及其證明教學(xué)難點(diǎn)：解的延拓定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性、可微性定理的證明教學(xué)過程：§3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法3.1.1

2、 存在唯一性定理定理如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足李普希茲條件，則方程 (3.1)存在唯一解定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件 （3.3）其中可用皮卡（Picard）逐步逼近法證明這個(gè)定理，此外，用歐拉折線法（差分法）、紹德爾（Schouder）不動(dòng)點(diǎn)方法等亦可證明逐步逼近法的基本思想分五個(gè)命題來證明定理命題設(shè)是方程(3.1)的定義于區(qū)間上，滿足初始條件 的解，則是積分方程（3.5）的定義于區(qū)間上的連續(xù)解，反之亦然現(xiàn)取，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下： (3.7)命題對(duì)于所有的，(3.7)中函數(shù)在上有定義、連續(xù)且滿足不等式(3.8)命題函數(shù)序列在上是一致收斂的設(shè)，則也在上連續(xù)，且由(3.)又可知，命題是積

3、分方程（3.5）定義于區(qū)間上的連續(xù)解命題設(shè)是積分方程（3.5）定義于區(qū)間上的另一個(gè)連續(xù)解，則附注（84）附注2 由于利普希茲條件比較難于檢驗(yàn)，常用在上對(duì)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)代替 附注（85）定理如果在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)，對(duì)所有變?cè)B續(xù)，且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；則方程(3.15)存在唯一解（未足夠小的任意正數(shù)）滿足初始條件3.1.2 近似計(jì)算與誤差估計(jì)在(3.14)中令可得第次近似解和真正解在區(qū)間 (3.19) 在近似計(jì)算時(shí)，可根據(jù)誤差的要求，選取適當(dāng)?shù)闹鸩奖平瘮?shù)例方程定義于矩形區(qū)域上，試?yán)么嬖谖ㄒ恍远ɡ泶_定過點(diǎn)的解的存在區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過的近似解的表達(dá)式作業(yè)：P88 1、3、4、5、

4、7、9§3.解的延拓局部利普希茲條件，即對(duì)于內(nèi)的每一點(diǎn)，有以其為中心的完全含于內(nèi)的閉矩形存在，在上關(guān)于滿足利普希茲條件解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于滿足局部利普希茲條件，則方程(3.1)的通過內(nèi)任意一點(diǎn)的解可以延拓，直到點(diǎn)任意接近區(qū)域的邊界以向增大的一方的延拓來說，如果只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)時(shí)，趨于區(qū)域的邊界推論如果是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)的通過的解可以延拓，以向增大的一方的延拓來說，有下面兩種情況：(1) 解可以延拓到區(qū)間；(2) 解只可以延拓到區(qū)間，其中為有限數(shù)，則當(dāng)時(shí)，或者無界，或者點(diǎn)趨于區(qū)域的邊界例討論方程的

5、分別通過點(diǎn)的解的存在區(qū)間例討論方程滿足條件的解的存在區(qū)間§3.解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理3.3.1 解關(guān)于初值的對(duì)稱性解關(guān)于初值的對(duì)稱性定理設(shè)方程(3.1)的滿足初始條件的解是唯一的，記為，則在表達(dá)式中，和可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式3.3.2 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性引理如果函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茲條件，則對(duì)方程(3.1)的任意兩個(gè)解，在它們的公共存在區(qū)間成立著不等式 (3.20)其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部利普希茲條件，是(3.) 的滿足初始條件的解，它在區(qū)間上有定義，則對(duì)于任意給定的，存在正數(shù)使得當(dāng)時(shí)，方程(3.1)的滿足條件的解在區(qū)間上也有定義，并且證明（略，見P96）解對(duì)初值的連續(xù)性定理 若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部利普希茲條件，則方程(3.1)的解作為的函數(shù)在它