用二分法解方程課題

1、課題：用二分法求方程的近似解一、教材背景分析1.教材的地位和作用以及學(xué)情本節(jié)內(nèi)容位于數(shù)學(xué)必修1第三章第一節(jié)“函數(shù)與方程”，共分三個(gè)課時(shí)。第一課時(shí)學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系”，第二課時(shí)學(xué)習(xí)了“函數(shù)零點(diǎn)的存在性”，學(xué)生通過(guò)前面兩節(jié)的學(xué)習(xí)，對(duì)方程的根的存在性以及函數(shù)零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系有了一定的認(rèn)識(shí)。掌握了基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)并具有了一定的數(shù)形結(jié)合的思想，這為理解函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號(hào)提供了直觀認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上介紹用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值，也就水到渠成。本節(jié)是第三課時(shí)，二分法是求方程近似解的常用方法，它體現(xiàn)了函數(shù)的思想以及函數(shù)與方程的聯(lián)系。為高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法

2、的算法思想打下了基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)3中算法內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了鋪墊。二分法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的逼近思想，對(duì)學(xué)生以后學(xué)習(xí)圓周的計(jì)算，球的面積體積公式的由來(lái)等微積分的知識(shí)起了奠基的作用。因此決定了它的重要地位。2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：滲透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求給定方程近似解。難點(diǎn)：二分法的原理；零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷；精確度的理解。理論依據(jù) 學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，然而不管他們從事什么工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。因此數(shù)學(xué)思想方法的滲透是重點(diǎn)之一。二、教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)與技能：1.體會(huì)二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的

3、一般步驟 。2.會(huì)用二分法求方程的近似解，并能用計(jì)算機(jī)輔助求解。3.會(huì)用二分法思想解決其他的實(shí)際問(wèn)題。（2）過(guò)程與方法：1.通過(guò)對(duì)二分法原理的探索，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解函數(shù)與方程，形成用函數(shù)的觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí)。2.通過(guò)求具體方程近似解介紹二分法并總結(jié)其步驟，體現(xiàn)了從具體到一般的認(rèn)知過(guò)程。3.利用逼近求解，滲透從有限到無(wú)限的數(shù)學(xué)思想。（3）情感與態(tài)度：1.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。2.在二分法步驟的探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉了克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。三、教法選擇和學(xué)法指導(dǎo)情境教學(xué)法，發(fā)現(xiàn)法教學(xué)理論依據(jù) “問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，也是數(shù)

4、學(xué)教學(xué)的心臟。問(wèn)題成功掌握教學(xué)是適應(yīng)新課改要求的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，是在課堂教學(xué)條件下，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，由教師與學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，在教師的主導(dǎo)下，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。四、教學(xué)基本流程設(shè)計(jì)活動(dòng)內(nèi)容活動(dòng)目的活動(dòng)1 引入方程的求解通過(guò)簡(jiǎn)單指數(shù)型方程求解讓學(xué)生體會(huì)成功，為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容做鋪墊活動(dòng)2 變化為方程的求解由簡(jiǎn)單問(wèn)題遷移到類似但復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題，引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)活動(dòng)3 用諸葛亮“神機(jī)妙算”引入二分思想。通過(guò)知識(shí)的類比遷移，培養(yǎng)學(xué)生提煉方法，歸納概括的能力，并學(xué)會(huì)學(xué)以至用。滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想?；顒?dòng)4 老師例題示范，用計(jì)算計(jì)輔助求解。學(xué)生練習(xí)鞏固，拓展知識(shí)。通過(guò)辨析明確二分法的適用范圍

5、。應(yīng)用二分法求方程近似解，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)算能力和實(shí)際應(yīng)用的能力?；顒?dòng)5 用程序框圖回顧二分法的步驟，小結(jié)評(píng)價(jià)。通過(guò)程序語(yǔ)言的展現(xiàn)滲透算法的知識(shí)，為算法的學(xué)習(xí)做鋪墊，并歸納梳理了本節(jié)的知識(shí)和方法?；顒?dòng)6 作業(yè)分層布置作業(yè)進(jìn)一步鞏固了本節(jié)課知識(shí)，并拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)的文化知識(shí)，體現(xiàn)了不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。五、教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情 境滲透數(shù)學(xué)思想問(wèn)題1：誰(shuí)會(huì)解方程問(wèn)題2：這只是拋磚引玉，再看方程，會(huì)解嗎？問(wèn)題3：不能一眼看出解是多少，退一步，有解嗎？方案1：畫(huà)出函數(shù)的圖像，研究方程的根即相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)。方案2：轉(zhuǎn)化方程為，分別化出函數(shù)的圖像，發(fā)現(xiàn)方程的根即這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

6、。問(wèn)題轉(zhuǎn)化：函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)。問(wèn)題4：你能進(jìn)一步在區(qū)間(1,2)內(nèi)搜索出零點(diǎn)嗎？情境：諸葛亮“神機(jī)妙算”相傳有一天，諸葛亮把將士們召集在一起，說(shuō)：“你們?nèi)芜x一個(gè)11000的數(shù)記在心中，我只要問(wèn)10個(gè)問(wèn)題，你只要回答是與不是，我就能算出你心中的那個(gè)數(shù)?！蹦阒乐T葛亮是怎么算的嗎？學(xué)生活動(dòng)：猜數(shù)字方案1：隨機(jī)猜測(cè)。方案2：每次增加100地猜測(cè)。如：150，200，250，方案3：每次取上次范圍的中間值進(jìn)行猜測(cè)。老師活動(dòng)：?jiǎn)栴}引導(dǎo)問(wèn)題1：你們認(rèn)為哪些方案保險(xiǎn)？問(wèn)題2：一定能在10次之內(nèi)猜中這個(gè)數(shù)嗎？問(wèn)題3：諸葛亮的算法對(duì)你解決剛才的數(shù)學(xué)問(wèn)題有什么啟示？1.從學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單指數(shù)方程入手，

7、輕松的進(jìn)入課堂，開(kāi)門見(jiàn)山，進(jìn)入數(shù)學(xué)的情境中并為下一個(gè)問(wèn)題做好鋪墊。2 自然地引入函數(shù)，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)判定問(wèn)題，自然地滲透函數(shù)思想。3.從多個(gè)角度的圖像來(lái)研究方程根的問(wèn)題，拓展學(xué)生的思維。4.學(xué)生在猜測(cè)數(shù)字和思考老師問(wèn)題過(guò)程中已經(jīng)利用了二分法的思想將價(jià)格的范圍不斷縮小，并用逼近的原理猜測(cè)出整數(shù)。以問(wèn)題研討的形式替代教師的講解，分化難點(diǎn)、解決重點(diǎn)，有利與學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，并強(qiáng)化對(duì)二分法原理的理解。從而有效地滲透了數(shù)學(xué)思想。5.使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，并學(xué)會(huì)類比遷移的思想思考問(wèn)題。新 課 引 入 從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)問(wèn)題 老師活動(dòng)：任務(wù)驅(qū)動(dòng) 問(wèn)題引導(dǎo)任務(wù)：求函數(shù)在（

8、1，2）內(nèi)的零點(diǎn)？方案：由于上面問(wèn)題的鋪墊，學(xué)生自然想到取中點(diǎn)，計(jì)算中點(diǎn)函數(shù)值，縮小區(qū)間的方法。問(wèn)題1：如此效法下去，一定能得到精確解嗎？方案1：出現(xiàn)某個(gè)中點(diǎn)的函數(shù)值為零時(shí)才能出現(xiàn)精確解？方案2： 出現(xiàn)精確解的概率很小很小，于是我們基本上只能取近似解。問(wèn)題2：何時(shí)終止計(jì)算，取得近似解？問(wèn)題3： 近似解的選取，取最后一次a,b,(a+b)/2，還是其他的？學(xué)生活動(dòng)：回憶舊知 遷移到新知對(duì)比實(shí)際問(wèn)題，直觀的想法：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定的精確度 的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值。 （畫(huà)表格計(jì)算）次數(shù)取a取b|a-b|115031212125-0.81150.531375-0.

9、2125150.254143750021375150.1255140625-0 .030.06得出：當(dāng)|a-b|<0.1時(shí)，終止計(jì)算。 近似解為2.5或2.5625，或最后（a，b）中的任意實(shí)數(shù)。老師活動(dòng)：提出當(dāng)時(shí)，方程的近似解是？學(xué)生活動(dòng)：利用計(jì)算器，同桌配合，迅速求解出結(jié)果6學(xué)生在討論、合作中解決問(wèn)題。充分體會(huì)不斷重復(fù)機(jī)械化的取中點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)的過(guò)程進(jìn)而獲得成功的愉悅。3.利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、精確度高，適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)，感受現(xiàn)代工具帶來(lái)的便捷。探究原理歸 納步驟老師活動(dòng)：給出二分法的定義二分法：對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過(guò)

10、不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法學(xué)生活動(dòng)：分析定義中的關(guān)鍵詞并歸納二分法的步驟二分法及步驟：給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1確定區(qū)間，驗(yàn)證·，給定精度；2求區(qū)間，的中點(diǎn)；3計(jì)算：若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；若·<，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；4判斷是否達(dá)到精度；即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2-4。 1.讓學(xué)生從特殊到一般得出求函數(shù)零點(diǎn)近似解的的常用方法，揭示數(shù)學(xué)通常的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)，這種引出方式自然而易于學(xué)生接受。2

11、培養(yǎng)學(xué)生提煉方法，歸納概括的能力，并學(xué)會(huì)學(xué)以至用。滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。練習(xí)鞏固 拓展知識(shí)老師活動(dòng)：例2：求方程lnx+2x-12=0的近似解（精確到0.1）師生共同完成：（四個(gè)步驟）1. 轉(zhuǎn)化成求函數(shù)y= lnx+2x-12的零點(diǎn)的近似值。2.求函數(shù)y= lnx+2x-12的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。3.確定函數(shù)y= lnx+2x-12的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間。4.求函數(shù)y=lnx+2x-12的零點(diǎn)的近似解。 從而體會(huì)用二分法求方程近似解的完整過(guò)程。 1.利用計(jì)算器，求方程的近似解 （精確到0.1）.方案1：確定零點(diǎn)所在區(qū)間為(0,1),得到一個(gè)近似解方案2：確定零點(diǎn)所在區(qū)間為(-1,2),得到一個(gè)近似

12、解方案3：確定零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2),得到一個(gè)近似解問(wèn)題1：是否存在其他的解？為了揭出底牌，畫(huà)出函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)只有三個(gè)解。反思：如果確定零點(diǎn)所在的區(qū)間為(-1,2),用二分法能得到幾個(gè)近似解，在用二分法求解方程之前，我們需要注意一些什么？問(wèn)題：如果將圖像向下平移至只有兩個(gè)零點(diǎn)的情況，左邊的零點(diǎn)能否用二分法求得？1.利用課堂練習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法以求達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。2.本環(huán)節(jié)老師以個(gè)別指導(dǎo)為主。個(gè)別學(xué)生可以上臺(tái)使用軟件計(jì)算。體現(xiàn)了課改的理念，多給學(xué)生自主活動(dòng)的空間。3引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二分法的局限性和辨析二分法應(yīng)用的前提。歸納小結(jié)1.    什么是二分

13、法？2.    二分法使用的范圍是什么？3.    如何利用二分法求方程的近似解？（用程序框圖復(fù)習(xí)二分法求方程近似解的步驟通過(guò)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)這堂課所學(xué)內(nèi)容。作業(yè)布置1.趣味數(shù)學(xué)：有48小形狀一樣的小球，有一個(gè)質(zhì)量和其它47一樣，不知道是重還是輕?，F(xiàn)只有一個(gè)天秤，如何最快的把這個(gè)質(zhì)量不同的球找出來(lái)？（寫(xiě)出操作方案）2.知識(shí)鞏固：  課本P92習(xí)題3.1A組的第4題； （左端點(diǎn)0代入沒(méi)有意義，那怎么辦呢）3.技能掌握： 課本P93習(xí)題3.1B組的第3題；（如何確定函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的大致

14、區(qū)間，以及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)） 4.課外拓展：中外歷史上方程的求解經(jīng)歷了哪些過(guò)程？結(jié)合閱讀材料和二分法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，你對(duì)二分法以及對(duì)數(shù)學(xué)有哪些新的認(rèn)識(shí)。作業(yè)進(jìn)一步鞏固了本節(jié)課知識(shí)，并拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)的文化知識(shí)，體現(xiàn)了不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。六板書(shū)設(shè)計(jì)3 .1.3 用二分法求方程的近似解 一復(fù)習(xí) 1.函數(shù)零點(diǎn)與方程的根關(guān)系 三。練習(xí)鞏固 2.零點(diǎn)存在定理 四。歸納總結(jié) 二二分法 1.原理 2.定義 3.步驟七教學(xué)評(píng)價(jià)分析1、評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程本節(jié)課在情境創(chuàng)設(shè)，例題設(shè)置中注重與實(shí)際生活聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在教學(xué)中注意觀察學(xué)生是否置身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，是否精神飽滿、興趣濃厚、探究積極，并愿意與老師、同伴交流自己的想法。2、評(píng)價(jià)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力教學(xué)中通過(guò)學(xué)生回答問(wèn)題，歸納總結(jié)等方面反饋學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度，對(duì)數(shù)學(xué)技能的掌握程度和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。教師根據(jù)反饋信息適時(shí)點(diǎn)撥，同時(shí)從新課標(biāo)評(píng)價(jià)理念出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)、充分質(zhì)疑，并抓住學(xué)生在語(yǔ)言、思想等方面的亮點(diǎn)給予表?yè)P(yáng)，樹(shù)立他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。并觀察學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度變化，適時(shí)對(duì)教學(xué)做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，以便提高教學(xué)效果。八教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明（1）教學(xué)定位說(shuō)明1.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透2.注重知識(shí)的探求和發(fā)現(xiàn)3.注重加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)