永城高中高一I部數學學案30-柱體、錐體、臺體、球的表面積與體積

1、永城高中高一（1）部數學學案（30）（加強班）柱體、錐體、臺體、球的表面積與體積學案撰寫人：孟麗梅 打印人：張曉一、學習目標：1.了解柱、錐、臺、球的表面積和體積的計算公式。2.會應用空間幾何體的表面積與體積公式解決實際問題。二、學習方法指引：1.預習課本23頁到28頁并做課后練習。2.結合學案理解公式，并準確記憶。熟練記憶。3.用聯系、類比運動變化的思想推導公式。三、基礎知識再現：1.柱體的側面展開圖是 的平面圖形；棱錐的側面展開圖是 的平面圖形；棱臺的側面展開圖是 的平面圖形。2. 叫做多面體的表面積（又稱全面積）。3.圓柱的側面展開圖式 ；圓錐的側面展開圖式 ；圓臺的側面展開圖是由一個大

2、扇形截去一個小扇形所得到的 。圓柱表（為底面圓的半徑，為圓柱的母線長）；圓錐表（為底面圓的半徑，為圓錐的母線長）；圓臺表（為下底面圓的半徑，為上底面圓的半徑，為圓臺的母線長）。4.幾何體的體積是幾何占有空間部分的大小，其主要性質有：完全相同的幾何體的體積 ；體積相等的幾何體叫 ；兩相等體積的幾何體的形狀 相同；底面積相等，高相等的兩個柱體（或錐體）體積 。球的表面積公式：球面 。（為球半徑）體積公式：球 。（為球半徑）5. 柱體的體積公式：柱體 （為底面面積，為柱體的高）；錐體的體積公式：錐體 （為底面面積，為錐體的高）；臺體的體積公式：臺體 （，為兩底面面積，為臺體高）。四、對公式的理解：1

3、.圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖面積，因此弄清楚側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，是掌握它們的側面積公式及解決有關問題的關鍵。2.計算柱體、錐體和臺體的體積，關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題。3.球的截面的性質 球的半徑為，截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，則滿足.4.對于一個幾何體，若體積一定，則這個幾何體是球時表面積最??；反過來，若表面積一定，則球的體積最大。5.解決球與其它幾何體的內切、外接問題的關鍵在于仔細觀察、分析幾何體的結構特征，弄清相關元素的位置關系和數量關系，選準最佳

4、角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球和其他幾何體的各種元素，盡可能地體現這些元素之間的關系），達到空間問題平面化的目的。6.兩個常用結論：（1）球的內接長方體的體對角線長是球的直徑；（2）棱長為的正方體的外接求得半徑為。五、典型例題：例1 如圖所示，底面為菱形的直棱柱的兩個對角面和的面積為6和8，則棱柱的側面積為 。解析 求底面菱形的邊長及側棱的長，代入側面積公式計算。設底面邊長為，高為，則有,，側.故填20.答案 20規(guī)律總結 解決與直棱柱側面積有關的問題，其關鍵是抓住棱柱的側面積公式；其次要注意利用直觀圖的形象直觀來分析問題，要注意方程思想、“設而不求”等思想方法的靈活運用。例2 如

5、圖所示，已知六棱錐，其中底面是正六邊形，點在底面的投影是正六邊形的中心，底面邊長為2cm，側棱長為3cm，求六棱錐的表面積和體積。解析 本例主要考查棱錐（錐體）的體積公式。先求底面正六邊形的面積。答案六邊形ABCDEF，側， 六邊形ABCDEF側。在中，六棱錐P-ABCDEF .例3 已知球的兩平行截面的面積為和，它們位于球心的同一側，且相距為1，求這個球的表面積。解析 要求球的表面積，只需求出球的半徑，因此要抓住球的截面（過直徑的球的平面）。答案 如圖所示，設以為半徑的截面面積為，以為半徑的截面面積為，球的半徑為，那么可得下列關系式：且，且，于是，于是，即，又，即，又，.球的表面積為.規(guī)律總

6、結 球的軸截面（球的過直徑的截面）是將球的問題（立體問題）轉化為平面問題（圓的問題）的關鍵，因此在解決球的有關問題時，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來分析解決問題。六、課堂練習鞏固與提高1. 一個長方體共一頂點的三個面的面積分別為，這個長方體對角線的長是（ ）A 2 B C 6 D 2. 用長為4，寬為2的矩形做側面圍成一個圓柱，此圓柱的側面積為（ ）A B C D 83.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ）A B C D 4. 下圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是（ ）正（主）視圖 側（左）視圖 俯視圖A B C D 5.已知一個正方體的8個頂

7、點都在同一個球面上，則球的表面積與這個正方體的全面積之比為（ ）A B C D 6.一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側面積之比是（ ）A B C D 7.正方體的內切球與外接球的半徑之比為（ ）A B C D8.一個正方體與一個球表面積相等，那么它們的體積之比是（ ）A B C D 9.五棱臺，的表面積是30，側面積等于25，則兩底面積的和等于（ ）A B C D 10.六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側面是矩形，側棱長為4，則其側面積等于（ ）A B C D 11.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表

8、面積為 。正視圖 側視圖 俯視圖 12如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖為三個全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（ ）. 正視圖 側視圖 俯視圖 A B C D 13.圓錐的高擴大為原來的倍，底面半徑縮小為原來的倍，那么它的體積變?yōu)樵瓉淼模?）A 1倍 B 倍 C 倍 D 倍14.已知高為3 棱柱的底面是邊長為1的正三角形（如圖），則三棱錐的體積為（ ）A B C D 15.圓柱的高與底面直徑都和球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積之比是（ ）A 6:5 B 5:4 C 4:3 D 3:216.一個圓柱的底面面積為，側面展開圖式正方形，那么該圓柱的側面積為（ ）A B C D 17.過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積之比為 。18.圓臺上、下底面面積分別為，側面積為，則這個圓臺的體積是 。19.若三個球的表面積之比是1:2:3，則它們的體積之比是 。20.已知高與底面直徑之比為2:1的圓柱內接于球，且圓柱的體積為，則球的體積為 。21.已知三角形得邊長分別是，以所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得幾何體的體積是 。22.將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4cm，則鋼球的半徑是 23.長方體滿足：，則其外接球的表面積為 。24.圓臺的高是12，母線長為13，