復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、【知識(shí)梳理】一、復(fù)數(shù)的基本概念1、虛數(shù)單位的性質(zhì)22.i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算； i =-1；這樣方程x =1就有解了,解為x = i或x = i2、復(fù)數(shù)的概念(1)定義：形如a+bi (a, bCR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，a叫做, b叫做 全體復(fù)數(shù)所成的集合 C叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z = a+bi(a, bCR)對(duì)于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點(diǎn)：z =a +bi (a, be r)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中bi表示b與虛數(shù)單位i相乘復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，否則不是代數(shù)形式(2)分類：滿足條件(a, b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a+bi為實(shí)數(shù)?b = 0

2、a+ bi為虛數(shù)?bw0a+bi為純虛數(shù)?a = 0且b w 0例題：當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(m -5m +6) +(m2 -3m)i是實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)?二、復(fù)數(shù)相等也就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部分別相等注意：只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知(x+y-3)+(x4)i =0求x, y的值三、共軻復(fù)數(shù)a +bi 與 c + di 共軻 u a = c, b = -d (a,b, c, d 亡 R)一_2.2z =a+bi的共軻復(fù)數(shù)記作 z =abi ,且z N =a +b四、復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平

3、面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。2、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)及平面向量OZ =(a,b)(a,b w R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量)相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)例題：(1)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z = (m2 _8m + 15)+(m2 _5m _14)i的點(diǎn)位于第三象限；位于直線y = x上TT TT(2)復(fù)平面內(nèi)AB =(2,6),已知CD/ AB ,求CD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù) z = a+bi的模

4、，記作 z或a+bi ,表示點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離，即 z =a +bi =、：a2 +b2 , z = z若 z1 =a +bi , z2 =c+di ,則4-z2 表示(a, b)到(c, d)的距離，即 z1 -z2 = V(a c)2 +(b d)2例題：已知z=2 + i ,求z1+i的值五、復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè) z1 = a+ bi, z2 = c+di, a, b, c, dCR z1 zz2 = a bi c di = (a c) (b d)i z1 z2 = (a bi) (c di) = (ac - bd) (bc ad )i生 z1_ (abi) _ (a bi

5、)(c -di)_ (ac bd)(bc- ad )i22z2 (cdi) (c di) (c -di)cd如圖給出oZ = oZ1+(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行的平行四邊形 OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即OZ2,Z1Z2=0Z2 oZ1.六、常用結(jié)論(1) i, i2 =_1, i3 =-i, i4 =1求in,只需將n除以4看余數(shù)是幾就是i的幾次例題:(2)(1 +i)2 =2i , (1 i)2 = 2i(3)/ 13.、3 1.1(-2±_2-i) =1， (2土i)3【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或&q

6、uot;x”）（1）方程x2+x+ 1 = 0沒有解.（）（2）復(fù)數(shù) z= a+bi（a, bC R）中，虛部為 bi.（ ）（3）復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.（）（4）原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).（）（5）復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模【考點(diǎn)自測】.()1 .（2015安彳數(shù)）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1 i）（1 + 2i）等于（）A.3 + 3iB.1+3i C.3 + iD.-1 + i2 .（2015課標(biāo)全國I）已知復(fù)數(shù)z滿足（z 1）i = 1 + i,則z等于（）A. -2-i B.-2+i C.2 i D.2 + i3

7、.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 6+5i, -2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn) 復(fù)數(shù)是（）A.4 + 8i B.8+2i C.2+4i D.4+i4 .已知a, bC R, i是虛數(shù)單位.若a+i = 2 bi,則（a + bi）2等于（）C對(duì)應(yīng)的A.3 4iB.3+ 4i C.43iD.4 + 3i5.已知(1 + 2i) z=4+3i,則 z=.【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念例1設(shè)i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)z= a-10(a R)是純虛數(shù)，則a的值為()3 iA.3 B.1C.1D.3(2)已知a R,復(fù)數(shù)zi = 2+ ai, Z2=1 2i,若“為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù) "的

8、虛部為()Z2Z2A.1B.iC.2D.05(3)若 z1= (m2+m+ 1) + (m2 + m4)i(mC R), z2= 3- 2i,則"m= 1"是"z1 =z2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件引申探究1 .對(duì)本例(1)中的復(fù)數(shù)z,若憶|=阮，求a的值.2 .在本例(2)中，若z1為實(shí)數(shù)，則 a=.Z2思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)

9、數(shù)是否為a + bi(a, be R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.跟盼訓(xùn)搞1(1)若復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A. -1B.0C.1D. 1 或 1(2)(2014 浙江)已知 i 是虛數(shù)單位，a, bC R,則 “ a=b=1” 是 “(a+bi)2=2i” 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算 命題點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例2 (1)(2015湖北)i為虛數(shù)單位，i607的共軻復(fù)數(shù)為()A.iB. i C.1D. 1(2)(2015北京)復(fù)數(shù)i(2 i)等于()A.1+2i B.12i C.1 + 2

10、i D.-1-2i命題點(diǎn)2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，、1 i 2例3 (1)(2015湖南)已知z ' =1 + i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()A.1 + i8.1 iC. 一 1 + i D. 一 1 一 i1 + i 6(2*) +>/3-V2i命題點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題 例4 (1)(2015天津)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1 2i)( a+ i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a的值為(2)(2014江蘇)已知復(fù)數(shù)z= (5 + 2i) 2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為 .命題點(diǎn)4復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算例5 (1)(2014安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位，乏表示復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù).若z=1+i,則z+

11、iW等于()A. -2 B.-2i C.2 D.2i(2)若復(fù)數(shù)z滿足(3 4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()A. -4 B.-4C.4D.455思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的哥寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為a+bi(a,bR)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.般化為a + bi(a, bC R)的形(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)

12、數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡,式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.（5）復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.跟蹤訓(xùn)嫉2 （1）（2015山東）若復(fù)數(shù)z滿足匚y =i,其中i為虛數(shù)單位，則z等于（）A.1i B.1+i C.-1-i D. -1+i1 + i(2)百016-2 ：3+i 7Z3r+它 J=.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6 （1）（2014重慶）實(shí)部為2,虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（2） ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z1, Z2, Z

13、3,若復(fù)數(shù)Z滿足憶一4|=憶一Z2|=|Z Z3|,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ABC的（）A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.外心思維升華因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可跟蹤訓(xùn)嫉3 （1）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軻復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A.A B.B C.C D.Dz2 .（2）已知z是復(fù)數(shù)，z+ 2i、 均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（z+ ai）2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一 2 i象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化思想典例 已知x, y為共軻復(fù)數(shù)，且（x+ y）

14、23xyi = 4 6i,求x, y.思維點(diǎn)撥（1）x, y為共軻復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來；（2）利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題.溫馨提醒（1）復(fù)數(shù)問題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.這是常用的數(shù)學(xué)（2）本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解方法.（3）本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解【方法與技巧】1 .復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過程2 .復(fù)數(shù)z=a+bi（a, bC R）是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是

15、復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn) 化為實(shí)數(shù)問題的主要方法.對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù) z=a+bi（a, bCR）,既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù) 看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí)3 .在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和 加法、減法相結(jié)合.【失誤與防范】1 .判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.2 .兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.3 .注意復(fù)數(shù)的虛部是指在 a + bi（a, bC R）中的實(shí)數(shù)b,即虛部是一個(gè)實(shí)數(shù).【鞏固練習(xí)】1 .（2015福建）若（1 +i）+（2 3i） =a+bi（a, bC R, i是虛數(shù)單位），則a,

16、 b的值分別等于（）B.3,2D. 1,4C.3, - 312 .設(shè)z= 市 + i,則|z|等于（）1A. 22B.T7Cy. 2D.23.（2015課標(biāo)全國n）若a為實(shí)數(shù)，且（2+ai）（a-2i） = - 4i,則a等于（A. 1B.0C.1D.24.若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)乙則表示復(fù)數(shù)右的點(diǎn)是（）A. E B.FC.GD.H5.（2014江西）z是z的共軻復(fù)數(shù)，若z+ z =2,億一z ）i = 2（i為虛數(shù)單位），則z等于（）A.1 + i B.-1-i C.1 + i D.1 -i6 .（2015江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為7 .若善

17、=a+bi（a,b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a+b=8 .復(fù)數(shù)（3+ i）m （2+ i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是1i9.計(jì)算：(1)； (2)1-i , 1+i2+i1+ i ：21 -i :210 .復(fù)數(shù)1熹+ （1° a2）i,逅=£+（2”，若，1+z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.【能力提升】11 .復(fù)數(shù) Z1,Z2滿足 z1= m+（4m2）i,z2= 2cos。+ （計(jì) 3sin凱（m,Z,R）,并且 z1=z2,則 入的取值范圍是（）A. 1,112.設(shè) f(n) =11.1 1t 11 C看 71叱11 711）（nC N*），則集合f（n）中

18、元素的個(gè)數(shù)為（A.1B.2C.3D.無數(shù)個(gè)13 .已知復(fù)數(shù)z= x+yi,且憶一2戶*, 則y的最大值為 x14 .設(shè)ae R,若復(fù)數(shù)z=-a-+1y1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y=0上，則a的值為1 i 215.若1 + >/2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程 x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則 b =, c=. 【鞏固練習(xí)參考答案】1A.2.B. 3.B. 4.D. 5.D.6訴 7.3.8.m<|.?- 1+i?+i? -3+i9.解(1) 尸 = = 131.' ' i i + 2i)+3?i? 3+4i + 33i ii72-i? 1 2(2) 2+i =2+i =2+i=5= 5+5i.1-i 1 + i 1-i 1 + i 1 + i -1+i , ，+年產(chǎn)=丁 +與=與+-1.(4)1_3.44 i.班+i寸一炳+i歹一5+1 gi _ ?g+ i ? i ?_ i ?他i?一3223,2210.解zi+z2=+ (a2-10)i+ ;+ (2a-5)i =口+ ； i+ (a2 10) + (2a 5)ia+ 51 -a+ 5 1 - aj=a3