行列式的應(yīng)用

1、摘 要 行列式是數(shù)學(xué)研究中一類重要的工具之一，行列式最早出現(xiàn)在16世紀(jì)，用于解決線性方程組的求解問題?，F(xiàn)在，行列式經(jīng)過幾世紀(jì)的發(fā)展已經(jīng)形成了一整套完備的理論，并且在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中占有很重要的位置。本論文通過對行列式理論和行列式在線性方程組和中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用展開研究。首先論述了行列式的歷史意義，其次展示了行列式在線性方程組中的應(yīng)用以及在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,重點(diǎn)論述了行列式在中學(xué)代數(shù)領(lǐng)域以及中學(xué)幾何領(lǐng)域的應(yīng)用。論文以求解線性方程組和解中學(xué)幾何與代數(shù)問題為例，論述了行列式在實際中的應(yīng)用。主要通過文獻(xiàn)研究的方法對行列式的應(yīng)用進(jìn)行研究，充分闡釋了行列式在不同方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：行列式，線性方程組，中學(xué)代數(shù)

2、，中學(xué)幾何 The Application of The DeterminantAbstractThe determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of c

3、omplete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, th

4、e second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle sc

5、hool geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects.Key words: determinant, s

6、ystem of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry 目 錄一、引 言1(一)研究背景與問題1（二)文獻(xiàn)綜述1（三)研究意義2（四)研究目標(biāo)2二、行列式理論研究2（一）行列式理論發(fā)展史3（二）行列式的現(xiàn)代理論41.行列式的一些基本性質(zhì)52.行列式的展開6三、行列式在線性方程組中的應(yīng)用7四、行列式在中學(xué)幾何領(lǐng)域的應(yīng)用9（一）應(yīng)用行列式解決空間幾何問題9（二）行列式在平面幾何中的應(yīng)用13（三）行列式在解析幾何中的應(yīng)用15五、行列式在中學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用18（一）應(yīng)用行列式分解因式18（二）應(yīng)用行列式解

7、決代數(shù)不等式問題19（三）應(yīng)用行列式求解方程21（四）應(yīng)用行列式分母有理化23六、結(jié)束語24致 謝24參考文獻(xiàn)25一、引 言 (一)研究背景與問題行列式起源于解二、三元線性方程組，然而它的應(yīng)用早已超過代數(shù)的范圍、成為研究數(shù)學(xué)領(lǐng)域各分支的基本工具。不管是在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的高深理論,還是在現(xiàn)實生活中的實際性問題,都或多或少的與行列式有著直者間接的聯(lián)系。其中有些問題都依賴于行列式來解決。歸根結(jié)底這些問題的研究,也就是行列式在某些方面的研究。行列式是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個極其重要的組成部分,同時也使得行列式成為高等代數(shù)的一個重要的研究對象。高等數(shù)學(xué)應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)思想和方法的形成

8、過程，讓學(xué)生既學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識又學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)知識和思想表達(dá)與解現(xiàn)實世界一般問題的方法和技能。因此，關(guān)于數(shù)學(xué)思想展開的研究，尤其是行列式的重要思想在線性方程組和中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行的研究就顯得更加重要。本文主要研究行列式理論在線性方程組和中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域及幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用1。（二)文獻(xiàn)綜述 行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來的，十七世紀(jì)，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨幾乎是同時提出的。十八世紀(jì)開始，行列式開始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論得到了進(jìn)一步發(fā)展和完善。行列式的主要應(yīng)用就是解線性方程組。19 世紀(jì)末，現(xiàn)代國際教育的奠基人菲利克斯·克萊

9、因主張在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)指導(dǎo)下研究“高數(shù)”與“中數(shù)”之間的聯(lián)系。高等數(shù)學(xué)的方法，可以和中學(xué)數(shù)學(xué)相通，也可以遷移到中學(xué)數(shù)學(xué)中。高等數(shù)學(xué)的思想、方法不僅可以幫助我們從更高的層面上理解初等數(shù)學(xué)問題，確定解題思路，還能幫助我們進(jìn)一步探索初等問題的實質(zhì)，尋求更簡捷的解決問題的方法。 21 世紀(jì)以來，國內(nèi)相繼展開關(guān)于高等代數(shù)應(yīng)用的研究，很多人相繼撰寫了相關(guān)文章，通過例子說明了高等代數(shù)作為一種工具在線性方程組和解析幾何以及中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。行列式作為高等代數(shù)中的一個重要概念，對線性方程組和解析幾何以及中學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的很多問題的解決提供了很好的解決方法，它將使學(xué)生從中學(xué)的解題思維定勢中走出來，用一種更廣闊的眼

10、光來看數(shù)學(xué)問題。本文將針對行列式在線性方程組和中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用而展開討論。（三)研究意義 不管是在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的高深理論,還是在現(xiàn)實生活中的實際性問題,都或多或少的與行列式有著直接或者間接的聯(lián)系。甚至還有好多問題都與行列式是緊密相關(guān)的。這一切表明行列式是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個極其重要的組成部分。本文通過分析行列式的應(yīng)用從而了解到無論是線性方程組,還是在中學(xué)數(shù)學(xué),行列式作為最基本的數(shù)學(xué)工具之一,都有著非常重要的應(yīng)用。（四)研究目標(biāo) 通過對行列式的理論進(jìn)行研究，進(jìn)一步提出行列式作為一種工具來解決線性方程組以及中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題，并不是簡單的一題多解，而是一種知識的融會貫通和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散、聯(lián)想思維。

11、行列式的應(yīng)用讓學(xué)生對高等代數(shù)產(chǎn)生興趣，更重要的是使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的每一個分支都是一種工具，而且各分支之間是有聯(lián)系的，體會知識的融會貫通，同時培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的遷移能力。二、行列式理論研究 行列式的概念是由萊布尼茲最早提出來的。日本著名的“算圣”關(guān)孝和在1683 年的著作解伏題之法中就提出了行列式的概念及算法。與萊布尼茨從線性方程組的求解入手不同,關(guān)孝和從高次方程組消元入手對這一概念進(jìn)行闡述。行列式的發(fā)明應(yīng)歸功于萊布尼茲和關(guān)孝和兩位數(shù)學(xué)家，他們各自在不同的地域以不同的方式提出了這個概念。（一）行列式理論發(fā)展史 1683 年，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在解伏題之法中第一次提出了行列式這個概念。該書中提出了,

12、乃至的行列式，行列式被用來求解高次方組。1693 年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨從三元一次方程的系統(tǒng)中消去兩個未知量得到了一個行列式。這個行式不等于零，就意味著有一組解同時滿足三個方程。由于當(dāng)時沒有矩陣這個概念，萊布尼茨用數(shù)對來表示行式中元素的位置：i j代表第 i 行第 j 列。1730 年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林·麥克勞林在他的論代數(shù)中已經(jīng)開始闡述行列式的理論，其間記載了用行列式解二元、三元和四元一次方程組的解法，并給出了四元一次方程組一般解的正確形式2。 1750 年，瑞士的加布里爾·克萊姆首次在他的代數(shù)曲線分析引論給出了n元一次方程組求解的法則，用于確定經(jīng)過五個點(diǎn)的一般二次曲線的

13、系數(shù)，但并沒有給出證明。此后，行列式的相關(guān)研究逐漸增加。1764 年，法國的艾蒂安·裴蜀在論文中提出的行列式的計算方法簡化了克萊姆法則，給出了用結(jié)式來判別線性方程組的方法。法國人的亞歷山德·西奧菲勒·范德蒙德在 1771 年的論著中首次將行列式和解方程理論分離，對行列式單獨(dú)作出闡述。此后，數(shù)學(xué)家們開始對列式本身進(jìn)行研究。 1772 年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯在論文對積分和世界體系的探討中推廣了范德蒙德著作里面將行列式展開為若干個較小的行列式之和的方法，提出了子式的定義。1773 年，約瑟夫·路易斯·拉格朗日了 列式與空間中體積之間的聯(lián)

14、系：原點(diǎn)和空間中三個點(diǎn)所構(gòu)成的四面體的體積，是它們的坐標(biāo)所組成的行列式的六分之一。行列式被稱為“determinant”最早是由卡爾·弗里德里希·高斯在他的算術(shù)研究中提出的?！癲eterminant”有“決定”意思，這是由于高認(rèn)為行列式能夠決定二次曲線的性質(zhì)。高斯還提出了一種通過系數(shù)之間加減來求解多元一次方程組的方法，即現(xiàn)在的高斯消元法。十九世紀(jì)，行列式理論得到進(jìn)一步地發(fā)展并完善。此前，高斯只不過將“determinant”這個詞限定在二次曲線所對應(yīng)的系數(shù)行列式中，然而奧古斯丁·路易·柯西在 1812 年首次將“determinant”一詞用來示行列式。

15、柯西也是最早將行列式排成方陣并將其元素用雙重下標(biāo)表示的數(shù)學(xué)家?？挛鬟€證明了曾經(jīng)在雅克菲利普·瑪利·比內(nèi)的書中出現(xiàn)過但沒有證明的行列式乘法定理。十九世紀(jì)五十年代，凱萊和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將矩陣的概念引入數(shù)學(xué)研究中。行列式和矩陣之間的密切關(guān)系使得矩陣論蓬勃發(fā)展的同時也帶來了許多關(guān)于行列式的新結(jié)果。（二）行列式的現(xiàn)代理論 定義 1 由 1,2,3,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。 定義 2 在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)。 例如 2431

16、 中，21，43，41，31 是逆序，2431的逆 序數(shù)就是4。而 45321 的逆序數(shù)是 9。排列的逆序數(shù)記為。 定義 3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。例如,2431 是偶排列,45321 是奇排列,1 2的逆序數(shù)是零,因而是偶排列3。 定義 4 n級行列式 等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積 的代數(shù)和,這里是 1,2,n的一個排列,每一項(*)都按下列規(guī)則帶有符號:當(dāng)是偶排列時,(*)帶正號,當(dāng)是奇排列時,(*)帶負(fù)號。這一定義可寫成 這里表示對所有n級排列求和。1.行列式的一些基本性質(zhì)(1)在行列式中，一行（列）元素全為 0，則此行列式的值為 0。=

17、0 (2)在行列式中，某一行（列）有公因子 k，則可以提出 k。D=k=(3)在行列式中，某一行（列）的每個元素是兩數(shù)之和，則此行列式可拆分為兩個相加的行列式。=+(4)行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負(fù)符號。=(5)在行列式中，有兩行（列）對應(yīng)成比例或相同，則此行列式的值為0。=0(6)將一行（列）的 k 倍加進(jìn)另一行（列）里，行列式的值不變。=注意：一行（列）的 k 倍加上另一行（列），行列式的值改變。(7)行列式的乘法定理：方塊矩陣的乘積的行列式等于行列式的乘積。(8)det( AB )= det(A)det(B)。特別的，若將矩陣中每一行每一列上的數(shù)都乘以一個常數(shù)r ，那么所得到

18、的行列式不是原來的r 倍，而是倍。det( rA)=det(r.A)=det(r).det(A)det(A)。2.行列式的展開 （1）余因式： 又稱“余子式”、“余因子”。對一個n階的行列式M ，去掉M 的第i行第j 列后形成的 n-1階的行列式叫做 M 關(guān)于元素的余因式。記作 =（2）代數(shù)余子式M關(guān)于元素的代數(shù)余子式記作，=。（3）行列式關(guān)于行和列的展開一個n階的行列式M 可以寫成一行（或一列）的元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，叫作行列式按一行（或一列）的展開。detM= detM 三、行列式在線性方程組中的應(yīng)用 在線性代數(shù)教材中，行列式一般處在第一章，但是行列式的應(yīng)用貫穿在整個線性代數(shù)中

19、，在線性代數(shù)的教學(xué)中處在非常重要的地位下面介紹行列式在線性方程組中的應(yīng)用4。例1 求解線性方程組 AX = b，其中 A 為 n 階方陣且可逆， X=，b=因為 A 可逆，所以X=所以線性方程組的解為 其中，即為矩陣A 中第 i 列被向量 b 代替后得到的矩陣 這就是 Cramer 法則，由上面推導(dǎo)過程顯然還可以得到這時線性方程組的解是唯一確定的。例2 當(dāng)方程組中D時,兩個方程表示的兩條直線和相交,方程組有唯一解；當(dāng)，且中至少有一個不等于零時,表示直線與平行,方程組無解； 當(dāng)時,表示直線與重合,方程組有無數(shù)組解。對于三元一次方程組的求解,可以把它與三階行列式對應(yīng)地聯(lián)系起來。 當(dāng)系數(shù)行列式時,方

20、程組有唯一解； 當(dāng),且中至少有一個不等于零時,方程組無解； 當(dāng)時,方程組有無數(shù)組解。例3 考慮方程組的解。這個方程組顯然有解問a為何值時，方程組有非零解。 解：考慮系數(shù)行列式，若則方程組有唯一零解。所以方程組要有非零解必定有系數(shù)行列式而從而解僅為或;經(jīng)過檢驗得或時方程組有非零解。說明:事實上我們把常數(shù)項為零的線性方程叫做齊次線性方程組,而齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式。四、行列式在中學(xué)幾何領(lǐng)域的應(yīng)用 行列式是現(xiàn)行高中普通課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）中新增加內(nèi)容，安排在選修 42中，行列式作為高等代數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容安排在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中為高中學(xué)生理解數(shù)學(xué)基本原理、思想、方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的遷

21、移能力，進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。行列式作為一種重要的數(shù)學(xué)工具引進(jìn)，從更高的角度、更便捷地解決了中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題。本文結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，將從空間幾何、平面幾何、解析幾何三個方面探究行列式在中學(xué)幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用5。（一）應(yīng)用行列式解決空間幾何問題 中學(xué)數(shù)學(xué)必修4和選修2-1已經(jīng)針對平面向量和空間向量有了較為深刻的研究，新課標(biāo)要求學(xué)生掌握空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，在此基礎(chǔ)上我們引入空間向量的外積和混合積，探尋行列式的幾何意義，以新的視角去認(rèn)識向量與空間幾何的緊密關(guān)系，開辟新的解題思路和方法，為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接做好鋪墊。定義 1：兩個向量與的外積仍是一個向量，它的長度規(guī)定為,它的方

22、向規(guī)定為：與均垂直，并且使(,)成右手系，即當(dāng)右手四指從彎向（轉(zhuǎn)角小于度 ）時，拇指的指向就是的方向，向量的外積亦稱向量積。 定義 2：設(shè) 是 3 個向量，稱（）為這三個向量的混合積。（）可記作()。 在直角坐標(biāo)計算向量的外積和混合積：設(shè)是一個右手直角標(biāo)架，在其中的坐標(biāo)分別是()()(),則（）=（）=例 1 已知正方體ABCD-的棱長為 1， M 點(diǎn)是棱 的中點(diǎn)，點(diǎn) O是對角線 的中點(diǎn)。(1)求證：OM 為異面直線 和 的公垂線; (2)求二面角M-的大小;(3)求三棱錐 M-OBC的體積。 解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的 DCABABCOD空間直角坐標(biāo)系 D-xyz則由已知 D( 0

23、,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,1),M(1,0,),；(1)證明: 又因為OM 與異面直線和都相交,所以 OM 為異面直線和的公垂線。(2) 取平面的一個法向量為=,設(shè)平面 的法向量為,因為,所以 cos,由圖分析可知,二面角為銳角,故二面角的大小為arccos,(3)因為所以 例 2 如圖所示，在長方體中，已知分別是線段 AB , BC 上的點(diǎn)，且 BE =BF=1，點(diǎn)M , N分別為線段的中點(diǎn)。 (1)求證點(diǎn) M , N,F,Z共面；(2)求點(diǎn)N 到直線ME 的距離；D1MC1NCBEAB1DA1(3)求異面直線

24、的距離。 D1MC1NCBEAB1DA1xz y 如圖 6解：如圖 6 所示以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系 D-xyz，則 D (0,0,0)， (0, 4, 2),N(0,4,1)； 這三個向量的混合積為 顯然有這三個向量張成的平行六面體體積為 0，故這三個向量共面，所以四點(diǎn) M , N,F,Z共面。 (2)由向量外積定義知，設(shè)點(diǎn) N 到直線ME 的距離為d ，所以又解得：。(3)設(shè)異面直線的距離為，易知所以異面直線的公垂線的方向向量為異面直線的距離為直線上任意一點(diǎn)和直線上任意一點(diǎn)連線在公垂線的方向向量的投影，即（二）行列式在平面幾何中的應(yīng)用一些平面幾何問題，按照傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法，一

25、般比較困難，利用行列式的知識解題可以將復(fù)雜的理論問題轉(zhuǎn)化為簡單的計算問題6。例 1 求證：三角形三條中線交于一點(diǎn)。證明：（方法一：斜坐標(biāo)法）AEBDCFG以 B 為原點(diǎn)，建立斜坐標(biāo)如圖所示，設(shè)點(diǎn) B(0,0),C(2a,0),A(0,2b),由于D,E,F 分別是 BC,AB,AC 邊上的中點(diǎn)，從而點(diǎn) D 為(a,0),E(0,b),F(a,b),直線 AD 的方程為直線 CE 的方程為(1)-(2)得：即 BG 直線所在方程。又由于 F 點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),顯然 F 點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程(3)，即 F點(diǎn)在直線 BG 上。故三角形三條中線交于一點(diǎn)。 證明：（方法二：統(tǒng)一法）ECDBFADCEAFB在

26、ABC中，連結(jié) DE,AD,BE,由三角形中位線定理得與 相似,，同理，連結(jié) DF,CF,AD,得，從而點(diǎn)O與重合，根據(jù)統(tǒng)一法得，三角形三條中線交于一點(diǎn)。BDAFCEG證明：（方法三：向量法） 令連結(jié) CD,BF 交于點(diǎn) G，共線，又 B ,G,F共線, 由(1),(2)得, 從而有又從而 A,G,E 三點(diǎn)共線，即三角形三條中線交于一點(diǎn)。擴(kuò)展：應(yīng)用行列式還可以證明三角形三條高線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)。 例 2 求證：三角形三條高線交于一點(diǎn)。CDEAFB 證：建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)直線 AD 法向量為 (-b ,c)，且過點(diǎn) A( a,0),直線 AD 為-bx+cy+ab=0。同理

27、，直線 BE 為-ax+cy+ab=0，直線 CF 為 x=0。將三個直線方程看做是以 x,y,1 為未知數(shù)的齊次線性方程組，其系數(shù)行列式為故齊次線性方程組有唯一解，即三條直線交于 1 點(diǎn)。（三）行列式在解析幾何中的應(yīng)用 利用齊次線性方程組有非零解的充要條件這一理論，能給出中學(xué)解析幾何中直線方程、圓錐曲線方程等的行列式形式7。例1 求經(jīng)過點(diǎn),且焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓方程。解:設(shè)橢圓方程為,若點(diǎn)在橢圓上,則將其看成關(guān)于和-1的齊次線性方程組,因為它有非零解,所以橢圓方程可寫成，代值即解得例 2 求經(jīng)過點(diǎn) (9 ,)和 且焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線方程。解:設(shè)雙曲線方程為,若點(diǎn)在雙曲線上,則將其看成關(guān)

28、于和-1的齊次線性方程組,因為它有非零解,所以橢圓方程可寫成，代值即解得擴(kuò)展：類比可以給出直線方程，圓的方程，一元二次函數(shù)等的行列式形式。例 3 求橢圓內(nèi)接三角形 ABC 面積的最大值。解：不妨設(shè)三角形 ABC 的坐標(biāo)分別為，則有，易知：為圓上三點(diǎn)，不妨依次設(shè)為。 因為又在圓里正三角形面積最大，故所以即橢圓內(nèi)接三角形 ABC 面積的最大值為。五、行列式在中學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用（一）應(yīng)用行列式分解因式 應(yīng)用行列式進(jìn)行分解因式重在構(gòu)造，利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，以使得可以提取公因式。例 1 分解因式解：=（第一列乘以 1 加到第二列）=（提取公因式）=(x+2)=(x+2)()例 2 分解因式解：原

29、式=(x-1)=(x-1)(x+2)(x+3)例 3分解因式解：原式=(x+2y-1)=(x+2y-1)(x-y+3)例 4 分解因式解：原式=（二）應(yīng)用行列式解決代數(shù)不等式問題例 1 求證不等式,其中 a , b, c 證明：要證明，只需證明（將第二行和第三行分別加到第一行）=因為a , b, c 所以,故得證。例 2 求證不等式證明：=（根據(jù)行列式線性性質(zhì)展開）即證。例 3 求證：當(dāng)時，不等式恒成立。證明:=（第二行乘以 1 加到第一行）=（第三行乘以 1 加到第二行）=（分別從第一行和第二行提取公因式x）=所以當(dāng)時，故不等式恒成立。例 4：已知求:解： 在上述的例子中所求證的不等式，分別

30、是中學(xué)數(shù)學(xué)教材中介紹的三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式、二維形式的柯西不等式，在此我們給出了它們的行列式證明方法。此外，利用行列式恒等變形的性質(zhì)也為解決不等式問題提供了新的證明方法和思路8。（三）應(yīng)用行列式求解方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中詳細(xì)介紹了一元二次方程的解法，而學(xué)生要解決未知數(shù)含根式或高次的方程就需要較強(qiáng)的解題技巧和思維能力，而采用行列式這個有用的數(shù)學(xué)工具去解決這類問題就可以取得事半功倍的效果。例1 解方程:解：即解得： x=3， x=4。例 2 已知反比例函數(shù)和一元二次函數(shù)，求在實數(shù)域內(nèi)它們的交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積。解：由已知得，即（第一列乘以 1 加到第二列）=提取公因式)所以在實數(shù)域內(nèi)有三個交點(diǎn)且分別設(shè)為 A，B和 C。易知 A(-3,-2), B (-2,-3), C (1,6),即 AB=(1,-1), AC=(4,8)。所以這三個交點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為:（四）應(yīng)用行列式分母有理化 將形如的分式有理化（其中），顯然直接采用中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行的理論是不能解決這個問題的，我們不妨利用中學(xué)數(shù)學(xué)中求等比數(shù)列前 N 項和的方法構(gòu)建一個齊次線性方程組，結(jié)合行列式給出解決這類分式有理化的通法9。一般地，不妨設(shè) 即將有理化，分別用去乘 S，得到： 將其看成關(guān)于 1，的齊次線性方程