202X年高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.1定積分的概念課件3北師大版選修2_2

1、一、引進(jìn)定積分概念的兩個例子一、引進(jìn)定積分概念的兩個例子第一節(jié)定積分的概念第一節(jié)定積分的概念二、定積分的定義二、定積分的定義三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義一、引進(jìn)定積分概念的兩個例子一、引進(jìn)定積分概念的兩個例子1. .曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系下，曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系下， 由閉區(qū)間由閉區(qū)間 a, b 上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線 y = f (x) 0， 直線直線 x = a，x = b 與與 x 軸圍成的平面圖形軸圍成的平面圖形 AabB.yxOabABx = ax = by = f (x)基于這種想法，基于這種想法， 可以用一組平行于可以用一組平行于 y 軸

2、的直線軸的直線把曲邊梯形分割成假設(shè)干個小曲邊梯形，把曲邊梯形分割成假設(shè)干個小曲邊梯形，只要分割得較細(xì)，只要分割得較細(xì)，每個小曲邊梯形很窄，每個小曲邊梯形很窄， 那么 其那么 其高高 f (x) 的變化就很小的變化就很小. 這樣，可以在每個小曲邊梯形這樣，可以在每個小曲邊梯形上作一個與它同底，上作一個與它同底， 底上某點函數(shù)值為高的矩形，底上某點函數(shù)值為高的矩形，曲線曲線 y = f (x) 是連續(xù)的，是連續(xù)的， 所以，當(dāng)點所以，當(dāng)點 x 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上某處變化很小時，上某處變化很小時， 那么相應(yīng)的高那么相應(yīng)的高 f (x) 也就也就變化不大變化不大.顯然，分割越細(xì)，顯然，分割越細(xì)，

3、 近似程度就越高，近似程度就越高，當(dāng)無限細(xì)分時，當(dāng)無限細(xì)分時， 那么所有小矩形面積之和的那么所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值極限就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值.用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用所有小矩形面積之和近似代替整個曲邊進(jìn)而用所有小矩形面積之和近似代替整個曲邊梯形面積梯形面積. .( (1) ) 分割分割在區(qū)間在區(qū)間 a, b 內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入 n 1 個分點：個分點：a = x0 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 xn = b， 把區(qū)間把區(qū)間 a, b 分成分成 n 個小區(qū)間：個小區(qū)間：x0, x1，x1,

4、 x2， ，xi- -1, xi ， ，xn- -1, xn.這些小區(qū)間的長度分別記為這些小區(qū)間的長度分別記為 xi = xi xi - -1 (i = 1, 2, , n). 過每一分點作平行于過每一分點作平行于 y 軸的直線，軸的直線， 它們把曲邊梯它們把曲邊梯形分成形分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形.根據(jù)以上分析，可按下面四步計算曲邊梯形面積根據(jù)以上分析，可按下面四步計算曲邊梯形面積.a a = x0 x1xi- -1xn= = bOy = f (x)yBAxxiOyBAx( (2) ) 近似代替近似代替在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 xi- -1, xi( (i = 1, 2, , n)

5、)上取一點上取一點 x xi ( (xi- -1 x xi xi),),以以 f( (x xi) )為高，為高， xi 為底作小矩形，為底作小矩形，用小矩形面積用小矩形面積 f (x xi) xi 近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形面近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形面積積 Ai ， 即即 Ai f (x xi) xi (i = 1, 2, , n) .x x1x x2x xix xnxOy = f (x)yBAa a = x0 x1xi- -1xn= = b xi( (4) ) 取極限取極限當(dāng)分點個數(shù)當(dāng)分點個數(shù) n 無限增加，無限增加，即即01lim( ).niiiAfxx( (3) ) 求和求和把把 n 個小

6、矩形面積加起來，個小矩形面積加起來，1( ),niiifxx得和式它就是曲邊梯形面積的近似值，它就是曲邊梯形面積的近似值，即即11( ).nniiiiiAAfxx 且小區(qū)間長度的最大值且小區(qū)間長度的最大值 ( (即即 = max xi) )趨近于趨近于 0 時，時， 上述和式的極限就是上述和式的極限就是曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，2. .變速直線運動的路程變速直線運動的路程設(shè)一物體作直線運動，設(shè)一物體作直線運動， 速度速度 v = v(t) 是時間是時間 t 的的連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)， 求在時間間隔求在時間間隔 T1, ,T2 上物體所經(jīng)上物體所經(jīng)過的路程過的路程 s .( (1

7、) ) 分割分割在時間間隔在時間間隔 T1, ,T2 內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入 n - - 1 個分點：個分點：T1 = t0 t1 t2 ti- -1 ti tn- -1 tn = T2 ， 把把 T1, ,T2 分成分成 n 個小區(qū)間：個小區(qū)間：t0, t1，t1, t2， ，ti- -1, ti ， ，tn- -1, tn.這些小區(qū)間的長度分別為：這些小區(qū)間的長度分別為： ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .相應(yīng)的路程相應(yīng)的路程 s 被分為被分為 n 段小路程：段小路程： si (i = 1, 2, , n) .( (2) ) 近似代替近似代替在每個小區(qū)間上任意取一點

8、在每個小區(qū)間上任意取一點 x xi ( (ti- -1 x xi ti),),用用 x xi 點的速度點的速度 v (x xi) 近似代替物體在小區(qū)間上的近似代替物體在小區(qū)間上的速度，速度，用乘積用乘積 v ( (x xi) ) ti 近似代替物體在小區(qū)間近似代替物體在小區(qū)間 ti- -1 , ti 上所經(jīng)過的路程上所經(jīng)過的路程 si ，即即 si v(x xi) ti (i =1, 2, , n) .( (3) ) 求和求和11( ).nniiiiissvtx( (4) ) 取極限取極限01lim( ).niiisvtx 二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)

9、間在區(qū)間 a, b 上有定義上有定義任意取分點任意取分點a = x0 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 xn = b由于由于 xi- -1 xi ， xi = xi - - xi- -1 b ，同樣可給出定積分，同樣可給出定積分即可，即可，根據(jù)定積分的定義，上面兩個例子都可以表根據(jù)定積分的定義，上面兩個例子都可以表示為定積分：示為定積分：( (1) ) 曲邊梯形面積曲邊梯形面積 A 是曲邊函數(shù)是曲邊函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的定積分，上的定積分，即即( );baAf xxd( (2) ) 變速直線運動的路程變速直線運動

10、的路程 s 是速度函數(shù)是速度函數(shù) v (x) 在時間間隔在時間間隔 T1, ,T2 上的定積分，上的定積分， 即即21( )d .TTSv tt例例 1用定義計算用定義計算10.xx-e d解解被積函數(shù)被積函數(shù) f (x) = ex， 在區(qū)間在區(qū)間 0, 1 上連續(xù)，上連續(xù)，所以所以 e- -x 在在 0, 1 上可積上可積 . 為了計算方便起見，為了計算方便起見，把區(qū)間把區(qū)間 0, 1 等分成等分成 n 份，份，分點為分點為 012120,1,ininxxxxxnnnn每個子區(qū)間的長度都是每個子區(qū)間的長度都是 1,ixn在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間1,iinn-上都取左端點為上都取左端點為 x

11、xi ，1,iinx-即于是和式為于是和式為1( )niiifxx111innin-e1211(1 eee)nnnnn-1111 ()1nnnn-ee11(1),1nn-ee當(dāng)當(dāng) = max xi0 + + 時，即時，即 n + + 有有11lim1.1nnn-e于是有于是有10 xx-e d01lim( )niiifxx111lim (1)1nnn-ee111(1) lim1nnn-ee11 e .- -AabBy=f (x)三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義當(dāng)當(dāng) f (x) 0 時，時， 定積分在幾何上表示定積分在幾何上表示 曲邊曲邊 y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上方的曲邊梯形面積，上方的曲邊梯形面積，( )d.baf xxA如果如果 f (x) 0 ，曲邊梯形在曲邊梯形在 x 軸下方軸下方，此時該定積分為負(fù)值，此時該定積分為負(fù)值，它在幾何上表示它在幾何上表示 x 軸下方軸下方的曲邊梯形