第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽第二試 試題

1、數(shù)學(xué)競賽 第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽第二試及答案1.攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息，司機說，再走從C市到這里路程的三分之一就到達目的地了。問:A、B兩市相距多少千米？2問：（a）1995年全年有幾個星期日？全年有幾個月有五個星期日？（b）1996年全年有幾個星期日？全年有幾個月有五個星期日？3 甲、乙、丙三個班人數(shù)相同，在班之間舉行象棋比賽，將各班同學(xué)都按1，2，3，編號。當(dāng)兩個班比賽時，具有相同編號的同學(xué)在同一臺對壘，在甲、乙兩班 比賽

2、時，有15臺是男、女生對壘；在乙、丙兩班比賽時，有9臺是男、女生對壘試說明在甲、丙兩班比賽時，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過24。什么情況下， 正好是24？4用0，1，2，3，4五個數(shù)字，組成四位數(shù)，每個四位數(shù)中的數(shù)字不同（如1023，2341），求全體這樣的四位數(shù)之和。5某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人，大班比小班多6人，春節(jié)分橘子25箱，每箱橘子不超過60個，不少于50個，橘子總數(shù)的個位數(shù)是7，若每人分19 個，則橘子數(shù)不夠，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個，中班每人比小班每人多分一個，剛好分完，問這時大班每人分多少橘子？小班有多少人？6一個圓周上有12個點，以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰

3、是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交。問有多少種連法？1A，B兩市相距600千米     2（a）1995年共有53個星期日，全年有五個月有五個星期日。（b）1996年共有52個星期日，全年只有四個月有五個星期日。     3略     4259980     5大班每人分得18個橘子；小班有25人。     6共有55種不同的連法1.【解】如圖所示。設(shè)小鎮(zhèn)為D點，傍晚到達E點，F(xiàn)為AB中

4、點。AD是AC的三分之一，即DC2×AD，EB是CE的二分之一，即CE2×EB，所以DEDCCE2×(AD十EB)已知DE400，所以ADEB400÷2200，從而AB400200600(千米)答：A、B兩市相距600千米【注】本題中，“計劃上午比下午多走100千米”這一條件是多余的2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天，每7天有且僅有一個星期日7×52364，因此，從1995年1月2日到1995年12月31日。這364天中有52個星期日，加上1995年1月1日這個星期日，共是53個星期日。最小的月有28天，最大的

5、月有31天，因此無論哪個月都最少有4個星期日，最多有5個星期日。5312×45，因此，1995年中有五個月有五個星期日。(b)1995年1月1日是星期日，經(jīng)過364天后，1995年12月31日也是星期日。所以1996年1月1日是星期一。1996年是閏年，2月有29天，經(jīng)過364天后，1996年12月30日是星期一，所以1996年全年共有52個星期日，全年只有四個月有五個星期日。3.【解】我們可以把乙班同學(xué)分成三部分，第一部分為與甲班相同編號的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為15人），第二部分為與丙班相同編號的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為9人），其余為第三部分。設(shè)A同學(xué)

6、屬于第三部分，他與甲班相同編號的同學(xué)通性，與丙班相同編號的同學(xué)也為同性，所以，與A相同編號的甲班和丙班同學(xué)必為同性。由此可知，甲、丙兩班比賽時，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過24。只有當(dāng)與乙班第一部分相同編號的丙班同學(xué)均與乙班同學(xué)同性，并且與乙班第二部分相同編號的甲班同學(xué)也均與乙班同學(xué)同性時，甲、丙兩班比賽中，男、女生對壘的臺數(shù)正好是24。4.【解】千位數(shù)字是1的有4×3×224個(因為百位數(shù)字可從0、2、3、4中選擇，有4種，百位確定后，十位有3種選擇，百位，十位確定后，個位有2種選擇)。千位數(shù)字是2、3、4的也有24種。百位數(shù)字是1的有3×3×218個(

7、因為千位數(shù)字可從2、3、4中選擇，有3種。千位確定后，十位數(shù)字也有3種選擇(可以為0)，千位、十位確定后，個位數(shù)字有兩種選擇)百位數(shù)字是2、3、4的也有18個。同樣，十位數(shù)字、個位數(shù)字是1、2、3、4的也各有18個因此，所求的和是(1000200030004000)×2418×(1234)×(110100)2599805.【解】第一步，估計全園人數(shù)的上界因為小班人數(shù)少于中班27人，最多為26人所以大班最多為32人，全園人數(shù)最多為26273285(人)。第二步，計算中班每人分得的橘子數(shù)假如大班每人拿出一個橘子，小班每人多分一個橘子，全園小朋友每人分得橘子一樣多，還余

8、6個因此19中班每人分得橘子數(shù)14.6所以中班每人分得橘子數(shù)只可能是15，16，17，18。橘子總數(shù)的個位數(shù)是7，(橘子總數(shù)6)的個位數(shù)字是1，所以(全園人數(shù)×中班每人分得橘子教)的個位數(shù)字是1。因此，中班分得橘子數(shù)不能是15，16，18，只能是17。第三步，計算全園人數(shù)85全園人數(shù)73。再由(全園人數(shù)×17)的個位數(shù)字是1，可知全園人數(shù)的個位數(shù)字是3，從而：全園人數(shù)83(人)第四步，計算小班人數(shù)大班人數(shù)小班人數(shù)832756(人)，大班人數(shù)一小班人數(shù)6(人)所以小班人數(shù)25(人)答：大班每人分得18個橘子，小班有25人。6.【解】我們采用遞推的方法(1)如果圃上只有3個點；那么只有一種連法(2)如果圓上有6個點，除點所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在所在三角形的一條邊所對應(yīng)的圓弧上，表1給出這時有可能的連法,表1:共有3種連法(3)如果圓上有9個點，考慮所在的三角形此時，其余的6個點可能分布在所在三角形的一個邊所對的弧上；也可能三個點在一個邊所對應(yīng)的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上。在表2中用“”號表示它們分布在不同的邊所對的弧。如果是情形，則由(2)，這六個點有三種連法；如果是情形，則由，每三個點都只能有一種連法。