數(shù)學建模——優(yōu)秀論文

1、鱸魚質量分析模型摘要本文討論了鱸魚的質量和其身長，胸圍的關系。首先我們假設鱸魚的體重和其身長呈正相關，利用題目中所給出的數(shù)據(jù)進行擬合，并計算出鱸魚體重和身長的函數(shù)關系以及鱸魚實際體重和估算值之間的相對誤差，驗證假設成立。通過多次擬合，得出最佳函數(shù)關系：，其相對誤差如下：鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表1（方法一）身長/cm31.832.132.135.936.836.843.845.1體重/g48248245465273776511621389擬合值/g466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對誤差/%3.20.445.73.444.935.75

2、3.570.86平均相對誤差為：3.49%從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差較小，說明用二次函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關系式可行的。然后，我們利用同樣的思想分析鱸魚體重與胸圍的關系，其結果如下：鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表2胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81平均相對誤差為： 4.98% 從

3、表中的數(shù)據(jù)，我們可以看出方法二的相對誤差小于方法一的相對誤差，所以方法二的結果更貼近實際。在原有的基礎上，我們進而提出，鱸魚的體重與其身長和胸圍都有關系，其結果如下： 鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表3重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相對誤差（%）3.252.124.050.421.607.375.587.87平均相對誤差為： 4.0375%根據(jù)表三的數(shù)據(jù)，可以知道模型三的擬合程度也較好，相對于模型一、二，此模型充分考慮到了身長、胸圍對體重的相互影響，用此模型估計鱸魚的體重可能會更符合實際，更合適推

4、廣。一問題重述1.1. 基本內容垂釣的樂趣在于修心，放生的樂趣在于養(yǎng)性。一垂釣俱樂部為鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的質量給予獎勵。由于俱樂部只準備了一把用于魚的身長和胸圍的軟尺，于是眾垂釣者開始考慮根據(jù)測量的長度估計魚的質量的方法，希望體味到垂釣的更大樂趣。因此，利用應用軟件以及相應的知識找到所測長度與魚的質量的變化規(guī)律，顯得尤為重要。1.2. 擬解決的問題 試從鱸魚的實際質量和身長體重的變化特點出發(fā)，利用題中所給數(shù)據(jù)，建立鱸魚質量分析的數(shù)學模型，并指出最佳模型及模型中存在的優(yōu)缺點。二問題的分析我們都知道鱸魚的體重主要由魚的身長、胸圍決定。一般來說，鱸魚的胸圍越大，魚的體重會越重

5、，身長越長，體重也越重。但影響鱸魚體重的因素并不唯一，我們要考慮單一變量對魚體重的影響，即身體長度與體重的關系和胸圍與體重的關系，我們要根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用相關軟件進行模擬，來確定鱸魚體重與身長、胸圍之間的數(shù)量規(guī)律。三基本假設1）. 假設題目中所給的數(shù)據(jù)、信息以及網(wǎng)上查閱的數(shù)據(jù)都是有效準確的，可以充分的說明問題；2）. 假設池塘里只有一種鱸魚，不存在其他魚種。3）. 假設池塘里鱸魚數(shù)量眾多，分布均勻，密度相同。4）. 假設鱸魚全都正常生長，沒有人為因素影響鱸魚的發(fā)育于成長。5）. 假設鱸魚的形態(tài)近似為與胸圍等周長與身長等高的圓柱體。6）. 鱸魚的身長越長體重越重，體重與身長存在正相關關系；7）.

6、 鱸魚的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關的關系；8）. 鱸魚的胸圍、身長互相影響，共同作用鱸魚的體重；4 符號說明鱸魚的身長L鱸魚的胸圍C鱸魚的體重W模型三的待定系數(shù)5 模型的建立與求解模型一：建立鱸魚的身長與鱸魚的體重的模型身長(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454為了研究鱸魚身長與體重的關系，我們利用已測量的數(shù)據(jù)，取出身長及體重的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件畫出散點圖，如下：方法一：我們把圖形可以近似看成一條拋物線，身長與體重近似成二次函數(shù)關系通過多次擬合可得： W=1.6247*L2-5

7、9.3124*L+709.7392根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫出擬合圖：方法二： 根據(jù)散點圖決定利用三次多項式擬合得到的各項系數(shù)如下：1 -80 3008 -37262從而得到了擬合函數(shù)： 畫出擬合圖如下：模型二：鱸魚體重與胸圍模型建立考慮鱸魚胸圍對體重的影響，我們采用與模型一相同的方法，先畫出鱸魚體重與胸圍的散點圖：胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6重量(g)76548211627374821389652454從圖形上看，鱸魚體重與胸圍可能成線性關系，利用多項式擬合的方法，我們得到鱸魚體重與胸圍的函數(shù)表達式： W=92*C-1497.5 根據(jù)擬合函數(shù)，畫出

8、胸圍與體重關系的擬合圖：從圖形上看，大部分點分布在直線左右，我們可以近似看成二者成線性關系。模型三.同時考慮身長和體重對鱸魚體重的影響題中附錄此模型要用到基本假設4及即：鱸魚的體態(tài)用與胸圍等周長，與身長等高的圓柱形來近似。因為圓柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長表示：.因此可以分析得出.又物體質量等于密度與體積的乘積，因此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長、胸圍與體重的關系可以表示為：，問題轉化為對系數(shù)的求解。利用MATLAB軟件和已知的八組數(shù)據(jù)可以求出對應的值：0.0303 0.0305 0.0322 0.0334 0.0326 0.0346 0.0338 0.0341 為了得到精確

9、地模型對數(shù)據(jù)進行處理0.0327因此 6 模型檢驗模型一 方法一、鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表身長（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389擬合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對誤差（%）3.20.445.73.444.935.753.570.86平均相對誤差為：3.49%從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差較小，說明用二次函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關系式可行的。 方法二：得出的函數(shù)對魚的體重進行估測并列如下表：身

10、長（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389擬合值（g）454.4481.4481.4695.5726.6726.61180.01377.1相對誤差（%）5.730.126.046.671.415.021.640.86平均相對誤差為：3.51% 從表中的數(shù)據(jù)，我們可以看出方法一的相對誤差小于方法二的相對誤差，所以方法一的結果更貼近實際。模型二鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)4824824546527377651162

11、1389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81 平均相對誤差為： 4.98% 從表中的數(shù)據(jù)，我們可以看出鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差不太大。模型三重量估計值及相對誤差重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相對誤差（%）3.252.124.050.421.607.375.587.87平均相對誤差為： 4.0375%根據(jù)表三的數(shù)據(jù)，可以知道模型三的擬合程度也較好，相對于

12、模型一、二，此模型充分考慮到了身長、胸圍對體重的相互影響。七模型優(yōu)缺點優(yōu)點：1.模型簡單，易于理解。 2.數(shù)據(jù)處理簡明，計算思路清晰。 3.通過對比，結果更有說服力。缺點：1.模型是基于個人經(jīng)驗建立，可能存在誤差。 2.鱸魚實際呈梭型，看成圓柱體較為牽強。8 模型中的程序畫兩散點圖的程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454 ;plot(x,z,'*')xlabel('身

13、長');ylabel('體重');title('身長與體重散點圖');plot(y,z,'*')xlabel('胸圍');ylabel('體重');title('胸圍與體重散點圖');畫身長與體重擬合圖程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;x1=30:0.1:50;z1=1.6247.*x1.2-59.312.*x1+709.7392plot(x,z,'*

14、9;,x1,z1)xlabel('身長');ylabel('體重');title('身長與體重擬合圖');畫胸圍與體重擬合圖程序：y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737 482 1389 652 454;y1=20:0.1:40；z1=92.*y1-1497.5;plot(y,z,'*',y1,z1)xlabel('胸圍');ylabel('體重');title('胸圍與體重擬合圖');得到式（1）、（2）表達式的程序：x=36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1;y=24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6;z=765 482 1162 737