平面向量的坐標(biāo)運算一

1、平面向量的坐標(biāo)運算（一）（教案）中衛(wèi)市第一中學(xué) 俞清華教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：（1）理解平面向量的坐標(biāo)概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算.過程與方法：（1）通過對坐標(biāo)平面內(nèi)點和向量的類比，培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力；（2）通過平面向量坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算法則的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生歸納、猜想、演繹的能力；（3）通過用代數(shù)方法處理幾何問題，提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力.情感、態(tài)度與價值觀: （1）讓學(xué)生在探索中體驗探究的艱辛和成功的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的求索精神和合作交流的團隊精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（2）使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)運算對于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫數(shù)學(xué)對象的重要性，進而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；（3）讓學(xué)生

2、體會從特殊到一般，從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律.教學(xué)重點和教學(xué)難點：教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算；教學(xué)難點：平面向量坐標(biāo)的意義.教學(xué)方法：“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”、“探究學(xué)習(xí)”及“合作學(xué)習(xí)”的模式.教學(xué)手段：利用多媒體動畫演示及實物展示平臺增加直觀性，提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)過程設(shè)計：一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入課題.同學(xué)們，我們知道，向量的概念是從物理中抽象出來的，人們最初對向量的研究是從幾何的的角度來進行的，但是隨著問題的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)用圖形來研究向量有一些不便之處，那么，有沒有一種更簡潔的方式可以來表示向量呢？我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說過：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！眻D形關(guān)系往往與某些數(shù)量關(guān)系密切聯(lián)

3、系在一起，數(shù)與形是互相依賴的，所以我們想到了用數(shù)來表示向量.思路一：用一個數(shù)能否表示向量？（請學(xué)生回答）（不能，因為向量既有大小，又有方向）思路二：用兩個數(shù)能否表示向量？（引導(dǎo)學(xué)生思考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一個點和一對有序?qū)崝?shù)對之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，那么，向量是否也能找到與之對應(yīng)的實數(shù)呢？ 讓我們先來探討這樣一個問題：探究一：如圖，為互相垂直的單位向量，請用表示圖中的向量1 4 O222223 3123411234534 45 52請學(xué)生動手完成并回答：根據(jù)向量加法的幾何意義，我們只要把分解在的方向上，就可得到：，同理可得 我們用來表示的這種形式是否唯一？根據(jù)是什么？（提問學(xué)生）由此復(fù)習(xí)平面向

4、量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，其中的，稱為平面的一組基底.強調(diào)：基底不唯一，只要不共線，就可作為基底，而一旦基底選定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的.二、理解概念，加深認(rèn)識.根據(jù)平面向量基本定理，我們知道，在選定基底的情況下，所給四個向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是說，這幾個向量用基底、來表示的形式是唯一的，每個向量對應(yīng)的這對實數(shù)對我們就將其稱之為向量的坐標(biāo).推廣到平面內(nèi)的任意向量，我們怎樣來定義向量的坐標(biāo)？（引導(dǎo)學(xué)生思考，請學(xué)生嘗試給出定義）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作

5、為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示在定義中，要注意定義實際上給出了求向量坐標(biāo)的方法：寫出向量在正交基底方向的分解形式，就得到了向量的坐標(biāo)；反過來，知道了一個向量的坐標(biāo)，就相當(dāng)于知道了它在、方向的分解形式.結(jié)合定義，指導(dǎo)學(xué)生求出向量、，的坐標(biāo).（多媒體演示）在坐標(biāo)系中觀察，向量及的坐標(biāo)與其終點坐標(biāo)有何關(guān)系？這幾個向量在坐標(biāo)系中的位置有什么共同點？什么樣的向量其坐標(biāo)就是終點坐標(biāo)？通過這樣的問題引導(dǎo)讓學(xué)生得到結(jié)論：起點在原點的向量其坐標(biāo)就是其終點的坐標(biāo).類比點的坐標(biāo)，提出：向

6、量平移后具體位置發(fā)生了改變，其坐標(biāo)是否會發(fā)生變化？結(jié)合向量坐標(biāo)的定義，將平移前后的向量分別分解在基底的方向上，所得四邊形是全等的，因此，這兩個向量的坐標(biāo)相同.也可這樣理解，通過動畫演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通過平移，可以使它們的起點平移到坐標(biāo)原點處，則其終點必然重合，此時，它們的坐標(biāo)都對應(yīng)著這個終點的坐標(biāo)，由此得到：相等向量的坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量.三、自主探索，推導(dǎo)法則.前面所學(xué)的向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積這幾種運算的結(jié)果是向量，因此，引入向量后，這些運算的結(jié)果也能用坐標(biāo)表示， 請學(xué)生以四人小組為單位，自己討論推導(dǎo)，再將推導(dǎo)方法及所得結(jié)論在班上進行交流，最后，教

7、師再來歸納整理，由此得出平面向量的坐標(biāo)運算法則：（1）兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：（其中）（2）實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)： 若，則；探究三：通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，起點在原點的向量的坐標(biāo)就是其終點坐標(biāo)，那么，對于起點不在原點的向量，又該如何來確定其坐標(biāo)？若已知其起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，如何求出此向量的坐標(biāo)？5AB -2 -1 1 2 3 42-143(2,2)(4,5)yx-2先來看一個具體的例子：求出圖中的向量的坐標(biāo)，并觀察其坐標(biāo)與其起點坐標(biāo)、終點坐標(biāo)之間有何關(guān)系？1（引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納猜想）學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：其坐標(biāo)等于向量的終點坐

8、標(biāo)減去起點坐標(biāo).再將A,B的坐標(biāo)推廣到一般的，可得相應(yīng)結(jié)論。教師指出：這只是我們從具體的例子中得到的猜想，要說明其正確性，必須進行嚴(yán)密的推證。指導(dǎo)學(xué)生進行證明，關(guān)鍵說明：已知A,B兩點的坐標(biāo)相當(dāng)于知道了向量, 的坐標(biāo)，而，從而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算.由此，得到一個重要的結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).練習(xí)2. 四、鞏固應(yīng)用，加深理解.例1、 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標(biāo).解：設(shè)頂點D的坐標(biāo)為例2、已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求點

9、D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形的四個頂點.（引導(dǎo)學(xué)生思考，多媒體演示） 分析：未固定四邊形四個頂點的順序，因此，點D的位置有3個.五、課堂小結(jié).（先請學(xué)生歸納，再由教師完善）1.平面向量的坐標(biāo)的概念；2.幾個重要結(jié)論：(1) 相等的向量坐標(biāo)相同；坐標(biāo)相同的向量是相等向量；(2) 起點在原點的向量的坐標(biāo)等于其終點的坐標(biāo).（3）一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).即：3.平面向量的坐標(biāo)運算:六、布置作業(yè).（選做題）我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系（兩條數(shù)軸的原點重合且單位長度相同）稱為斜坐標(biāo)系.平面上任意一點P的斜坐標(biāo)定義為：若（其中、分別為斜坐標(biāo)系的x

10、軸、y軸正方向上的單位向量，x、yR），則點P的斜坐標(biāo)為（x, y）.在平面斜坐標(biāo)系xoy中，若，已知點M的斜坐標(biāo)為 (1, 2)，則點M到原點O的距離為 . （使學(xué)生進一步加強對向量坐標(biāo)表示的理解，把對數(shù)學(xué)知識的探究由課內(nèi)延伸到課外）平面向量的坐標(biāo)運算（一）（教案說明）一、教學(xué)內(nèi)容分析及目標(biāo)設(shè)定.向量是“形”與“數(shù)”的結(jié)合體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，常與三角、數(shù)列、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容交叉滲透，自然地交匯在一起；同時，向量具有豐富的物理背景，在物理中應(yīng)用很廣泛，因此，向量是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個重要的內(nèi)容。本課時內(nèi)容是向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)

11、運算，之前的教學(xué)內(nèi)容為向量的概念及向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的運算，集中在對向量的幾何特征的研究上，而本節(jié)課之后，主要研究向量的代數(shù)運算，因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，正是由于向量坐標(biāo)概念的引入及向量坐標(biāo)運算法則的導(dǎo)出，使得對向量的研究由“形”轉(zhuǎn)向 “數(shù)”成為了可能。本節(jié)內(nèi)容是讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)化的一個很好的過程，它有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)的思考和數(shù)學(xué)的說理，所以它在學(xué)生的學(xué)習(xí)上也具有重要的作用。基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：知識與技能：（1）理解平面向量的坐標(biāo)概念，（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算。過程與方法：（1）通過對坐標(biāo)平面內(nèi)點和向量的類比，培養(yǎng)學(xué)生

12、類比推理的能力；（2）通過平面向量坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算法則的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生歸納、猜想、演繹的能力；（3）通過用代數(shù)方法處理幾何問題，提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力。情感、態(tài)度與價值觀: （1）讓學(xué)生在探索中體驗探究的艱辛和成功的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的求索精神和合作交流的團隊精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（2）使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)運算對于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫數(shù)學(xué)對象的重要性，進而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；（3）讓學(xué)生體會從特殊到一般，從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律。二、教學(xué)診斷分析.本節(jié)課既有概念的教學(xué)，又有運算法則的推導(dǎo)和應(yīng)用，知識點繁多而且相互間的銜接并不緊密，依據(jù)以往的經(jīng)驗，學(xué)生往往只注重對法則的應(yīng)用，而忽視

13、對概念的理解，對概念本質(zhì)的理解不到位導(dǎo)致在處理相關(guān)問題時出現(xiàn)偏差，也使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的發(fā)展受到限制。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要解決“學(xué)什么”的問題，更應(yīng)讓學(xué)生明白“為什么學(xué)”。依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，因此，在向量坐標(biāo)概念的引入過程中，我從平面向量知識體系的發(fā)展引入，使學(xué)生明白用數(shù)來表示向量是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的必然，是為對向量的研究從“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”搭建橋梁，從而激發(fā)起學(xué)生的求知欲。在提出“如何用數(shù)來表示向量”這一問題后，類比點的坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生猜想：點可以用一對有序?qū)崝?shù)對來表示，向量也是平面圖形，是否也能用一對實數(shù)來表示？這一問題的解決，不是由教師直接

14、告訴學(xué)生，而是通過學(xué)生自己探索得到答案。通過設(shè)置探究：讓學(xué)生將所給向量用給定的基底表示出來，結(jié)合平面向量基本定理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所給的每一個向量用基底來表示的形式都是唯一的，也就是說，對于每一個向量，都可以用一對實數(shù)唯一表示，這就使剛才的問題得到了解決，從而引入坐標(biāo)的概念。學(xué)生對向量坐標(biāo)表示的意義的理解是本節(jié)課的難點，由于對概念理解不清，使得不少學(xué)生到高三時還常常在這樣一個問題上犯錯：向量平移后，將向量坐標(biāo)也按平移公式來進行計算。這正是對向量坐標(biāo)概念的理解不到位造成的，因此，類比坐標(biāo)系內(nèi)不同的點的坐標(biāo)不同，提出：平移后向量的具體位置發(fā)生了變化，向量的坐標(biāo)會不會變？師生共同分析：平移前后的向量是

15、相等向量，其方向相同，大小相等，按照向量坐標(biāo)的定義，將其分解在方向的形式是一致的，因此，坐標(biāo)相同。接著通過動畫演示，從另一個角度來說明此問題：平移前后的向量是相等向量，通過平移，可以使它們的起點平移到坐標(biāo)原點處，則其終點必然重合，此時，它們的坐標(biāo)都對應(yīng)著這個終點的坐標(biāo)。通過不同的途徑，讓學(xué)生自己得出“平移不改變向量的坐標(biāo)”即“相等向量坐標(biāo)相同”這一重要結(jié)論，在這一過程中也滲透了對向量坐標(biāo)概念本質(zhì)的理解。三、教法特點.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是獲取知識的過程,學(xué)習(xí)是在一定的情境下,借助他人的幫助而實現(xiàn)的意義建構(gòu)過程。因此“情境”、“協(xié)作”、“交流”和“意義建構(gòu)”被認(rèn)為是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)過程的四大要

16、素。因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，我采用了“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”、“探究學(xué)習(xí)”及“合作學(xué)習(xí)”的模式，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，教師充當(dāng)?shù)氖呛献髡摺⒁龑?dǎo)者和組織者的角色，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比和歸納，充分發(fā)掘?qū)W生的自主能力，組織學(xué)生進行探究式學(xué)習(xí)，在交流合作中獲取知識。教學(xué)中多處設(shè)置學(xué)生自主探究的環(huán)節(jié)，如：向量坐標(biāo)概念的得出，向量坐標(biāo)運算法則的推導(dǎo)及向量坐標(biāo)與其起點、終點坐標(biāo)的關(guān)系的推導(dǎo)。通過自主探究，使學(xué)生親歷了知識發(fā)生和發(fā)展的過程，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，通過師生之間的交流合作以及同學(xué)之間的交流合作，使學(xué)生獲取了知識，主動完成了知識的建構(gòu)。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，在教學(xué)中，我遵循從特殊到一般的原則，如：平面向量坐標(biāo)的概念，探究向量坐標(biāo)與其起點、終點坐標(biāo)的關(guān)系這兩個教學(xué)環(huán)節(jié)的處理上，我都采用了從特殊到一般的教學(xué)方法。作業(yè)采用了分層布置的方式，選做題是一個斜坐標(biāo)系下平面向量坐標(biāo)表示的問題，選做題的設(shè)置使學(xué)生進一步理解了向量坐標(biāo)的本質(zhì)，使他們的數(shù)學(xué)思維得到了更好的發(fā)展，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探究由課內(nèi)延伸到課外。