一類軌跡問題的探求(阿波羅尼斯圓與卡西尼卵形線)

1、專題：一類動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的探求 專題來源：學(xué)習(xí)了 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”后，對于PA PB 2a,我們可以進(jìn)一步研究:1PAPB 2a, 2a ,各自的軌跡方程如何？PB1引例：已知點(diǎn) M（x,y）與兩定點(diǎn)O（0,0）, A（3,0）的距離之比為-,那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什 2么關(guān)系？（必修2 P103探究拓展）探究 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A、B的距離之比為 （0）,那么點(diǎn)M的軌跡是什么？背景展示阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期 數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作圓錐 曲線一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一 類題1: （1994,全

2、國卷）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q（2, 0）和圓C: x2+y2=1 ,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù) 入（入港動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程，說明它表示什么曲線 .本小題考查曲線與方程的關(guān)系，軌跡概念等解析幾何的基本思想以及 綜合運(yùn)用知識的能力.解：如圖，設(shè) MN切圓于N,則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P=M|MN|=入|MQ|式中常數(shù) 入0. 2分因?yàn)閳A的半徑 |ON|=1 ,所以 |MN|2=|MO|2 |ON|2=|MO|2 1.4 分設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y),則Xx y2 1%X22y25分整理得（入 2-1）（x2+y2 ） 4 入 2x+（1+4 入 2）=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)

3、都屬于集合P.故這個(gè)方程為所求的軌跡方程.一一8分當(dāng)入=1時(shí)，方程化為x=5,它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)（夕，0）,44當(dāng)入w時(shí)，方程化為（x篙）2+丫2=1 3 21 3 2它表示圓,2 1該圓圓心的坐標(biāo)為(, 0),半徑為2 112分類題2: （2008,江蘇）滿足條件 AB 2, ACV2BC的 ABC的面積的最大值是8 / 7類題3: （2002,全國）已知點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M （ 1,0）、N（1,0）距離的比為 J2,點(diǎn)N到直線PM的距離為1,求直線PN的方程解：設(shè)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意有LPM_| 22 ,即 I PN |V(x 1)2y2 72 v;(x 1

4、)2y2,整理得 x2 y2 6x 1 0因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1, | MN | 2所以PMN 30 ,直線PM的斜率為三3,直線PM的方程為y (x 1)33, .W 八22 一 . 一2.一將y (x 1)代入x y 6x 1 0整理得x 4x 1 0 3解得 x 2 J3, x 2 33則點(diǎn)P坐標(biāo)為(2 J3,1 J3)或(2 痣，1 V3)(2 后，1 氏)或(2 點(diǎn),1 石)，直線PN的方程為y x 1或y x 1.類題4: (2006,四川)已知兩定點(diǎn) A( 2,0), B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件PA 2 PB ,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于 ，升, 口人一一 ，一，

5、 MP-類題5: (2011,浙江)P,Q是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)， 且-(0且1),MQ點(diǎn)M的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為S,設(shè)S f(),試判斷函數(shù)的單調(diào)性.引例：(2011,北京)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1( 1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a 1)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；1 O若點(diǎn)P在曲線C上，則 F1PF2的面積不大于一a22其中正確命題的序號為 背景展示：在數(shù)學(xué)史上，到兩個(gè)頂點(diǎn)(叫做焦點(diǎn))的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡成為卡西尼卵形線(Cassini Oval),喬凡尼 多美尼科 卡西尼是一位意大利出生的法國籍天文

6、學(xué)家和 水利工程師，他是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)土星的四個(gè)衛(wèi)星的人.1675年，他發(fā)現(xiàn)土星光環(huán)中間有條暗縫，這就后來以他名字命名的卡西尼環(huán)縫。他猜測，光環(huán)是由無數(shù)小顆粒構(gòu)成，兩個(gè)多世 紀(jì)后的分光觀測證實(shí)了他的猜測。為了紀(jì)念卡西尼對土星研究的貢獻(xiàn)，當(dāng)代人類探測土星 的探測器 朱西尼號”即以他的名字命名?？ㄎ髂崧研尉€是1675年他在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的。探究：設(shè)兩定點(diǎn)為 F1,F2,且F1F2 2,動(dòng)點(diǎn)P滿足PFj| PF2 a2(a 0且為定值),取直線F1F2作為x軸，F(xiàn)1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) P(x, y),則.,(x 1)2y2 ；(x 1)2y2a2整理得：(x2

7、y2)22(x2 y2) a2 1解得：y2( x21) >/4xa2 (1a x21 a)于是曲線C的方程可化為y2 ( x2 1) “x2a2 (1a x2 1a)對于常數(shù)a 0,可討論如下六種情況：(1)當(dāng)a 0時(shí)，圖像變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn) F1( 1,0), F2(1,0)；(2)當(dāng)0 a 1時(shí)，圖像分為兩支封閉曲線，隨著a的減小而分別向點(diǎn) F1,F2收縮;(3)當(dāng)a 1時(shí)，圖像成8字形自相交叉，稱為雙紐線；(4)當(dāng)1 a 、.2時(shí)，圖像是一條沒有自交點(diǎn)的光滑曲線，曲線中部有凹進(jìn)的細(xì)腰；(5)當(dāng)a = J2時(shí)，與前種情況一樣，但曲線中部變平;(6)當(dāng)a 2時(shí)，曲線中部凸起。ffl I -1

8、北京高考題的背景即為本研究的46里研究的結(jié)論；學(xué)有余力的同學(xué)可作進(jìn)一步思考：思考1:若將 兩定點(diǎn)”之一變?yōu)?定直線”，那么距離之比為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么？思考2:若將 兩定點(diǎn)”之一變?yōu)?定直線”，那么距離之和為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么？思考3:到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的k倍之和為定值的定點(diǎn)軌跡是什么？思考4:到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之差（的絕對值）為定值的定點(diǎn)軌跡是什么？思考5:到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為定值的定點(diǎn)軌跡是什么？在高考試題中常常以這類軌跡問題的探究為背景來設(shè)計(jì)考查綜合能力的試題，如1. （2009湖南）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F （3,0）的距離的4倍與它

9、到直線 x=2的距離的3倍之和記為d,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和（I ）求點(diǎn)P的軌跡C;（II）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M , N兩點(diǎn)，求線段 MN長度的最大值。解（I）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y）,則d4 (x 3)2 y2 3| x-21由題設(shè)當(dāng)x>2時(shí)，由得J(x 3)2 y26 -x2 22化簡得y 136 27當(dāng)x 2時(shí)由得J(3 x)2 y2 3 x,化簡得y212x22故自P的軌跡C是橢圓C1 : 匕 1在直線x=2的右側(cè) 36 272部分與拋物線 C2：y 12x在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點(diǎn))所組成的曲線，參見圖1(n)如圖2所示

10、，易知直線 x=2與C1, C2的交點(diǎn)都是A (2, 2娓),B (2,2捉),直線AF, BF的斜率分別為kAF= 2娓,kBF=2j6.1當(dāng)點(diǎn)P在Ci上時(shí)，由知PF 6 x.2當(dāng)點(diǎn)P在C2上時(shí)，由知PF 3 x若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y k(x 3)當(dāng)kWkAF ,或k冰BF ,即k02 J6時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M ( xi, y1),N ( x2 , y2)都在C 1上，此時(shí)由知11I MF I = 6 - - x1I NF I = 6 - x222從而 I MN I = I MF I + I NF I = (6 - 1 x1) +211(6 - x2 ) =12

11、- -( x1 + x2)22y k(x 3)由 x2 y2得(3 4k2) x2 24k2x 36k2 108136 270則x1，y1是這個(gè)方程的兩根,24 k1 ，所以 x1+x2 =2* I MN I =12 - ( x1+ x2 ) =12 -2 3 4k22212k23 4k2因?yàn)楫?dāng)k 2強(qiáng)或k 2J6t,k2 24,MN12叱3 4k2 c 1212 7 4100當(dāng)且僅當(dāng)k112J6時(shí)，等號成立。當(dāng) kAEkkAN，2 6 k2J6時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M(X,y1), N(x2,y2)分別在C1C2上，不妨設(shè)點(diǎn) M在G上，點(diǎn)C2上，則知,1MF 6 Xi, NF 3 X2

12、2設(shè)直線AF與橢圓Ci的另一交點(diǎn)為E(Xo,yo),則X0 Xi,X2 2.MF62X0EF , NF| 3 x2 3 2 AF所以MN MF NFEF AF AE。而點(diǎn)A, E都在Ci上，且kAE2的有(1)知AE 100，所以MN11若直線 的斜率不存在，則 x1=x2=3,此時(shí)MN綜上所述，線段MN長度的最大值為10011100in11112 (X1 X2) 92100112. (2011,湖南文科高考試題)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F (1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(n)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線軌跡C相交于點(diǎn)D, E ,求AD,EB的最小值.1小2,設(shè)11與軌跡C相交于點(diǎn)A,B , I2與21.解析：(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意為(x 1)2 y2 |x | 1.化簡得y2 2x 2 | x |,當(dāng) x OBi , y2 4x;當(dāng) x OBt,y=0.、所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為,y2 4x(x 0)和y=0(x 0).(II)由題意知，直線11的斜率存在且不為 0,設(shè)為k,則I1的方程為y k(x 1).由 y k(X 1),得小2 (2k2 4)x k2 0.y2 4x設(shè)A(X1, y) B(X2, y2),則x,凡是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是4x1 x22 -, x1x21.k、1因?yàn)閘i I