氣體固體和液體的基本性質(zhì)

1、第八章氣體、固體和液體的基本性質(zhì)8-2 在一個容器內(nèi)盛有理想氣體，而容器的兩側(cè)分別與沸水和冰相接觸(熱接觸)。顯然，當(dāng)沸水和冰的溫度都保持不變時，容器內(nèi)理想氣體的狀態(tài)也不隨時間變化。問這時容器內(nèi)理想氣體的狀態(tài)是否是平衡態(tài)？為什么？解不是平衡態(tài)，因?yàn)槠胶鈶B(tài)的條件有二：一是系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間變化, 二是沒有外界的影響和作用。題目所說的情況不滿足第二條。8-3 氧氣瓶的容積是 32 dm3,壓強(qiáng)為130 atm,規(guī)定瓶內(nèi)氧氣的壓強(qiáng)降至 10 atm 時，應(yīng)停止使用并必須充氣，以免混入其他氣體。今有一病房每天需用1.0 atm的氧氣400 dm3 ,問一瓶氧氣可用幾天？解 當(dāng)壓強(qiáng)為 仍=130 a

2、tm、體積為V =32 dm3時，瓶內(nèi)氧氣的質(zhì)量 Mi為Mi =這.RT當(dāng)壓強(qiáng)降至p2 =10 atm、體積仍為V =32 dm3時，瓶內(nèi)氧氣的質(zhì)量 M2為P2VM2 =.RT病房每天用壓強(qiáng)為 p3 =1 atm、體積為 V2 =400 dm3的氧氣質(zhì)量加為P 3V2.m =.RT以瓶氧氣可用n天：乂 )M1 -M2 RT(P1 P2) V(P1 -P2) 32 (130 -10)n = =-i = = d = 9.6 d .mP3V2P3V21 400RT8-4 在一個容積為10 dm3的容器中貯有氫氣，當(dāng)溫度為7c時，壓強(qiáng)為50 atm。由于容器漏氣，當(dāng)溫度升至17c時，壓強(qiáng)仍為50 at

3、m,求漏掉氫氣的質(zhì)量。解 漏氣前氫氣的質(zhì)量為 M1 ,壓強(qiáng)為P1 =50 atm,體積為V1 =10 dm3 ,溫度為T1 =(273+7) K = 280 K ,于是M1可以表示為M1 =加.RT漏氣后氫氣的質(zhì)量為 M2 ,壓強(qiáng)為P1 =50 atm ,體積為M =1。dm3 ,溫度為 T2 =(273+17) K = 290 K,于是M2可以表示為m2=3 RT2所以漏掉氫氣的質(zhì)量為.m =M1 -M2 =PV1 (工一)二15 10，kgRT1 亂計算中用到了氫氣的摩爾質(zhì)量=2.0X10' kg mol-1 o8-5 氣缸中盛有可視為理想氣體的某種氣體，當(dāng)溫度為T1 = 200

4、K時，壓強(qiáng)和摩爾體積分別為P1和Vm1 o如果將氣缸加熱，使系統(tǒng)中氣體的壓強(qiáng)和體積同時增大， 在此過程中，氣體的壓強(qiáng)P和摩爾體積Vm滿足關(guān)系p = Wm，其中a為常量。(1)求常量a(2)當(dāng)摩爾體積增大到 2Vm1時，求系統(tǒng)的溫度。解(1) 1 mol理想氣體的物態(tài)方程可以表示為pVm = RT ,當(dāng)溫度為T1 (= 200 K)、壓強(qiáng)為P1和摩爾體積為Vm1時，上式應(yīng)寫為PVm1 =RT1 .(1)升溫過程滿足P 二=Vm,在溫度為T1時，上式應(yīng)寫為R =二 Vm1，將式(2)代入式(1),得 2 -Vm1 =RT1.由上式可以解得2RT17P1a =-1或 a =- .Vm12RT1(2)

5、根據(jù)式(3)可以得到:V22 = RT2,M V2 =2Vmi ,代入上式，得24 1 Vm1 = RT2 ,將式(4)與式(3)聯(lián)立，可以求得240Vm24 RTT2 =m11 =4T1 =800 K . R R 18-8 證明式(8-9)。解 v2的平均值V2定義為 2222VlV2 .VN一 N在以下的證明中用到上面的關(guān)系。下面的關(guān)系顯然是成立的： 2222Vl =Vlx Vly Viz，2222V2 =V2xV2yV2z ,2222VN =VNxVNy VNz .將以上N個式子相加并除以粒子總數(shù) N,得222101 1051.38 1043 300=2.4 1025V1 -v2 ,vn

6、(2)分子間的平均距離 r1/325、，/39r =n =(2.44父10 )=3.5父10 m.容器中氧氣的密度：:.-p 101 105 32 1 0"I RT8.31 3003= 1.3 kg m(4)分子的平均平動動能Ek一a=3kT =-138 1023 300 =6.2 1021 228-10 容器內(nèi)盛有1.50 mol氮?dú)?，其分子熱運(yùn)動動能的總和為 器內(nèi)氮?dú)獾臏囟取?.63 103J,求容解 設(shè)系統(tǒng)內(nèi)氣體的溫度為 T,分子熱運(yùn)動動能的總和，就是 動和1個振動自由度上平均動能之和，即L i 6 3 ,Ek =、, 一RT=150 - RT = 9.63 1 03 J ,2

7、23個平動、2個轉(zhuǎn)所以9.63 103丁 =1.50 300831 K 258 K.8-11在一個容積為10.0 dm3的密封容器內(nèi)盛有 50.0 g瀛氣，溫度為180C,容 器以200 ms上的速率作勻速直線運(yùn)動，如果容器突然停止，分子定向運(yùn)動的動能全部轉(zhuǎn)化為熱運(yùn)動動能。問當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時，容器內(nèi)瀛氣的溫度和壓強(qiáng)各增大多少？解整體作定向運(yùn)動的動能，就是全部瀛分子共同作定向運(yùn)動的動能:Ek =- Mv2k 21 _3 2 ._3 .=萬 M50.0 M10 X (200)2 J = 1.00 X103 J .全部轉(zhuǎn)變?yōu)殄肿訜徇\(yùn)動動能,氣體的溫度將升高_(dá) i M瀛分子是單原子分子,只有EkR

8、T.3個平動自由度，即i=3 o代入上式就可以求得 M-TEk3 JM2-3100 10 3 =64.2 K . 50.0 108.311.50 3-40.0 10根據(jù)物態(tài)方程PV =M RT,可得由上式可解得系統(tǒng)壓強(qiáng)的增加"PM RLT8.31 64.2T二125 V10.0 10= 66.7 1 03 Pa .8-12 分別計算在 300 K時1.00 mol氫氣和1.00 mol氨氣的內(nèi)能。解 1.00 mol氣體的內(nèi)能可以表示為1U =-(i s)RT.氫氣是雙原子分子氣體，理論上有6個自由度(t = 3, r =2, s = 1),內(nèi)能為13 ,U 二萬(6 1)RT =8

9、.73 103 J.而實(shí)驗(yàn)表明在室溫下氫分子的振動自由度不被激發(fā)，所以內(nèi)能應(yīng)為 13U =-(3 - 2)RT =6.23 1 03 J.氨氣分子是單原子分子，i = t = 3, r = 0, s = 0,代入內(nèi)能表達(dá)式，得,3 -3 ,U =一 RT =3.74 103 J.28-13 將10 g氧氣(看作理想氣體)從20c加熱到50 C,內(nèi)能增大多少？ 解 氧氣分子是雙原子分子，t = 3, r = 2, s = 1,內(nèi)能的增加為3卻=1(i +s) RT =- 10 10X8,31 X(50 -20) J = 2.7 X102 J22 32 108-14某種三原子分子氣體被看作理想氣體

10、，試寫出分子平均平動動能、平均轉(zhuǎn)動動能和平均振動動能的表達(dá)式。解 對于三原子分子，平動自由度 t = 3,轉(zhuǎn)動自由度r = 3,振動自由度s = 3。 分子的平均平動動能為. t = kT = kT ,22分子的平均轉(zhuǎn)動動能為r32T = kT = kT ,22分子的平均振動動能為s3；s = - kT = 一 kT .228-16 說明以下各式的物理意義：f(v)dv ； Nf(v)dv ; V2 f(v)dv ；v2 N f (v)dv; V2 vf(v)dv; v2 v2 f (v)dv。解dN ，一. .，、(1) f (v)dv =dN表不在dv范圍內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)N的比率；(2

11、) N f(v)dv = dN表示在dv范圍內(nèi)的分子數(shù)；(3) v2 f(v)dv表示在vi v2速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)N的比率;v1(4) v2 N f (v)dv表不在v1 v2速率間隔內(nèi)的分子數(shù)；(5) v2vf(v)dv表示在vi v2速率間隔內(nèi)的分子對平均速率的貢獻(xiàn)；(6) vv2 v2 f (v)dv表示在viv2速率間隔內(nèi)分子對速率平方平均值的貢獻(xiàn)。8-17求溫度為300 K時氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率，并分別闡明這三種速率的物理意義。解最概然速率RTvp =1.41=1.418.31 30032 1011m s =394 m s ,表示系統(tǒng)中在此值附近的速率

12、間隔內(nèi)的分子所占比率為最大。平均速率RT1v =160407 m s ,II N表示系統(tǒng)中分子速率的算術(shù)平均值。方均根速率Vv2 =173«RT =483 m s,表示系統(tǒng)中分子速率平方平均值的平方根。8-18 求速率處于vp與1.01vp之間的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。解速率分布函數(shù)可以具體寫為dNm 3/2 -mv2 /2kT 2f (v) = =4.() e v .Ndv2 XT將vp =J2kT、x =和dx =dv代入上式，得mvpvp2 . 22。1/2 -3/2 -v /vp 2 24 x-x2f (v) =4 .vpe vp x = e = f (x),pp .二

13、 vp并且f,、 dN f (v):N dvdN 1Ndx vn p由上式得dNdx4 x2= Nvpf(x)=Nvp e.二 vp二“，27 ji所以當(dāng) v =vp、v +dv =vpdN 一、，=vpf (x)dx =+1.01Vp 時，2dx .dx=dv vpx =1 ,101vD=p =1.01 ,vp將以上兩式代入式（1）,得dNN4二7；1_1 e 101 =083% .8-19 求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下1.00 cm3氮?dú)庵兴俾试?00 m 數(shù)（可將dv近似地取為1 m s）。s到501 m s之間的分子解先求在0C時1.00 cm3中氮?dú)獾獨(dú)獾姆肿訑?shù)N：M pV19N =N0 N02.

14、68 1019RT個分子.dN =N f (v)dv = 41N ( m 2*T2_、3/2 -mv2/2kT 2 .)e v dv .心m將一二kN°mN°kT =273 K , v =500s,以及dv =1 m s,代入上式，得dN =4 二N (- 21RT3/2-，v2/2RT 2 .)e v dv=4 7： 2 68 1019 (28.0 10)e2 二 8.31 27332-28.0 肉0 >5002/2X8.31X273 黑 5002 黑 1 個=4.97X1016 個(分子).8-20 系統(tǒng)中總共有 N個分子，分別求速率高于最概然速率和低于最概然速率

15、 的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分?jǐn)?shù)。解根據(jù)題8-18的結(jié)果其中dNN=V f (x)dxp=_4 x%/2dx,Jjiv x =vpdx=a vp分子速率低于最概然速率 vp ,對應(yīng)于0 <x <1 ,所以，速率低于最概然速率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率可以表示為N1 /-4=x2e-x2dx =-4 1 x2edx=-4= (x)e-x2(-2xdx)N0 .二.二 0.二 02)')為求解上式，令 u =«2 , du = _2xdx ,代入上式，得Ni4N.二'-eudu. )2上式可用分部積分法求解，為此令R = x / 2 , s = eu ,則上式變?yōu)?

16、 '24x /2 i 1 1 /2 2 1。"2查表得于是得匚e0-0e dx二 二 0e dx.二e，2 i ，0 e dx =0843 , fTl-=0843 0.415 =0.428 =42.8% .N即速率低于最概然速率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為42.8%,而速率高于最概然速率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為1 42.8% = 57.2% 。8-21已知氧的范德瓦耳斯常量b = 31.83父106 m3 mol，試估計氧分子的半徑。解 我們已經(jīng)知道范德瓦耳斯常量b大約等于1 mol氣體分子自身體積總和的4倍，所以2343b ： 6.023 10 r 4 .3由上式可以解得氧

17、分子的半徑，為r（3b23-）1/3 =1.467 10 40 m .2 2 二 6 023 108-22 二氧化碳和氫的范德瓦耳斯常量a分別為 3.59M10* atm m6 mol 2和0.244黑106atm m6 mol W求體積為22.4 dm3的兩種氣體的內(nèi)壓強(qiáng) pio解 22.4 dm3正好是在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的摩爾體積，氣體的內(nèi)壓強(qiáng)應(yīng)表示為Pia-vm2對于二氧化碳：359 10-63pi =3-2 atm = 7.15 10 atm（22.4 10 ）對于氫：0.244 10 s工pi =c atm = 4.86 10 atm .（22.4 10 ）28-23 已知氧的范德瓦耳斯常

18、量a = 1.36 X1Q-atm m6 mol", b = 31.8 x 10 fm3 mol，求 解 壓強(qiáng)為100 atm、密度為100 g dm&的氧氣系統(tǒng)的溫度; 氧的臨界壓強(qiáng)Pk和臨界溫度Tk。范德瓦爾斯方程為2(pf5)(vM .-b）Mrt,用體積V除以上式，得（p 號V2）（19)JMRT w rT,其中M = p是氣體的密度為已知量，代入上式得 V（p Y梟）（1-話）=:當(dāng).由上式解出T,得（p 咋）（1-當(dāng) 系二398 K .V范德瓦爾斯常量可以表示為27R2T，a 二64 pk8pk由式(2)得Pk二巫88b將式(3)代入式(1),得_27RbT_8由

19、上式可以解得臨界溫度K = 154 K .8a 8 136 10-6 101 105TK 二Z- 二r27Rb 27 8.31 31.8 10將Tk的表達(dá)式代入式(3),得a 1.36 10 f6Pk =-2 =6- atm4 9. 8 a=tm 03106 Pa.27b227 (318 10 )28-24 一定量的理想氣體，分別在體積不變和壓強(qiáng)不變的條件下升溫，分子的碰撞頻率和平均自由程將怎樣變化？解當(dāng)體積不變時：Z=.21d2nV -2 二 d2N 8RT,V ,二由上式可見，在 N和V 一定的情況下， Z X 廳，碰撞頻率隨溫度上升而增大。 平均自由程可以表示為-_ _v _1_ V一Z

20、 一 .2二d2n - .2二d2N ,可見，在N和V一定的情況下，平均自由程與溫度無關(guān)。當(dāng)壓強(qiáng)不變時：Z=、2d2nV = .21:d2-P- 8RT =、.2二d2P 8R 1 ,kT ,二k,二,T上式表明，在壓強(qiáng)不變的情況下，Z比二，碰撞頻率隨溫度上升而減小。,t平均自由程可以表示為-v 1kT'=Z = 2-：d2n =、.2:d2p, 所以，在壓強(qiáng)不變時，兀hT ，平均自由程隨溫度上升而增大。10.8-25 設(shè)氮分子的有效直徑為3.8X10 m,求：(1)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的碰撞頻率和平均自由程；(2)在溫度不變而壓強(qiáng)降為2.0M104Pa時，碰撞頻率和平均自由程。標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài) P0

21、 =1.01 M105 Pa、T0=273 K，代入碰撞頻率和平均自由程的分別得到2 P 8R 197.8 1： 10 sk /-/TkT_82 =5.8 10 m. ,2 P2p將p =2.0 M10” Pa、T0 =273 K代入以上兩式，可以分別求得1Z =16 s -29 m .也可以這樣來處理:Z =pZ0P0Z"將已知各量代入上式，可以求得對于平均自由程也可以作同樣的處理，即P0p所以P0 一一10P8-26當(dāng)溫度為27c時，電子管內(nèi)的真空度為 1.0M10"mmHg,殘余氣體分子的 有效直徑為3.0 10" m,求：(1)單位體積中的分子數(shù)；(2)平

22、均自由程和碰撞頻率。解(1)單位體積中的分子數(shù)n = =3.2 1017 m".kT(2)平均自由程= 7.8 m .-_1.2d2n碰撞頻率為8RT8-28 由實(shí)驗(yàn)測得在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氨氣的黏度為n = 1.89X10- Pas,求:(1)平均自由程度；(2)氮原子的有效直徑。解(1)根據(jù)公式1-PV，3只要求出其中的 戶和v,代入上式就可以算出平均自由程_8 RT3 jv120 103 m s ,.L 4.00 10“31 ,js：-=3 k gm=1.79 10 k gm .Vm22.4 10所以一3: = =2.64 10 m.：v(2)氮原子的有效直徑：根據(jù) 一 kT'

23、=,2-d2p,可以求得氮原子的有效直徑為d =:尸 _ =178 父10,0 m .2 V2叩兒8-29 已知氨和瀛的原子量分別為4.00和39.95,它們在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的黏度分別為 e =1.89X10人 Pas 和3r=2.10 父103 Pas,求：(1) 氮和瀛的熱導(dǎo)率之比網(wǎng)He)/網(wǎng)Ar);(2)氮和瀛的擴(kuò)散系數(shù)之比D(He)/D(Ar)。解(1)因?yàn)?1 £3所以1Cv=一:v q = cv = - .3式中cV是比熱，CV是摩爾熱容，4是摩爾質(zhì)量，它們之間有如下關(guān)系cv =0/ .He和Ar都是單原子氣體，所以Cv(Ar)=Cv(He)故有一一 一 一一 一一一 一35

24、,(He)(H el( A r) 39.95 10189 109V9 . .,.(A r)(Ar)L(He) 4.00 10210 10擴(kuò)散系數(shù)可以表示為D包PM p于是有D(He)(He)L(Ar)9.00 .D(Ar) (Ar "He)8-33 組成晶體的原子之間的相互作用勢能u(r)可以用式(8-66)表示，并可以描繪成圖8-24所示的圖線，試證明此式中m > n,并說明此結(jié)果的物理涵義。解 題目要求證明在下式,、A Bu(r) =- -r r中，m >n ou(r)存在極小值，此極小值對應(yīng)于r =r0。也就是說由書中圖8-24(a)可以看到, 在r =r0處滿足下

25、面兩個關(guān)系：(引=0,drd2u(2 )r=rG 0dr將式(1)代入式(2),得-mAr0的- nBr0”4 =0由此解得mA 1/(m f r0 -(-IT)nB由式(3)得m(m - 1) Ar0"m-2 -n(n - 1) Br0"n "2 0可化為將式(4)代入上式，得m(m 1) Am_n:ron(n 1)Bm(m ：； 1) AmA、1/(m _n)】m _n()n(n 1)B nBmA nB即mA(m _n) 0nB(n 1).要求上式左邊大于零，就必須有m . n .這表明，隨原子間距的增大，斥力勢要比引力勢衰減的更快，也就是說斥力作用與 引力作

26、用相比更具有短程性。8-36 在深為h = 2.0 m的水池底部有一個直徑為d = 5.0M105 m的氣泡，當(dāng)它等溫上升到接近水面時，直徑變?yōu)槎啻?？已知水的表面張力系?shù)cr= 7.3X10-2 N m。解 設(shè)水泡到達(dá)水面時的半徑為Ri,在等溫的情況下，應(yīng)滿足pV =C ,或PVl = p2 V2 .式中Pi、V1分別是氣泡在池底時的內(nèi)部的壓強(qiáng)和體積，P2、V2分別是氣泡接近水面時的內(nèi)部的壓強(qiáng)和體積。于是可以列出下面的方程式一 2 ： 432： 43(P0 - ： gh ')R = (P0 一)R1 ,R 3Ri 3簡化為-2 ：- Q2 二 Q(P0：gh )R =(P0 )Ri .RR)由上式可以解出氣泡接近水面時的直徑，為5d1 =2R1 ： 53 10 m .8-37當(dāng)把毛細(xì)管插入水杯時，毛細(xì)管中的水面要上升。若對于某一直徑的毛細(xì) 管，水面上升的高度為h,問當(dāng)毛細(xì)管本身高出杯中水面的高度小于h時，水是否會從毛細(xì)管中溢出？為什么？解不會溢出，因?yàn)榇藭r水在毛細(xì)管上端雖然仍形成凹球面，不過其曲率半徑比原來毛細(xì)管本身高出杯中水面的高度大于h時的曲率半徑要大一些，因而所產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)比原來要小一些，只能使水達(dá)到毛細(xì)管