2020屆四川省廣安市高三第二次診斷性考試試題數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆四川省廣安市高三第二次診斷性考試試題數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題11,已知集合 A x|y , B 2, 1,0,1,2,3,則(eRA) I B ()2 xA. 2, 1,0,1,2 B. 0,1,2,3C. 1,2,3D. 2,3【答案】D【解析】利用函數(shù)定義域，化簡(jiǎn)集合 A,利用集合交集、補(bǔ)集的運(yùn)算，即得解【詳解】，1-由題意得集合 A x|y 廣 （,2）,所以 eRA 2,）,故（eRA） B 2,3.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題 .2.22 .右i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) z sin icos的共軻復(fù)數(shù) z在復(fù)平面內(nèi)

2、對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 33位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】由共軻復(fù)數(shù)的定義得到 z，通過(guò)三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】22由題懸得z sin i cos,一、，2因?yàn)?sin 一 3所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了共軻復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué) 運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.3. “ 一”是函數(shù)f(x) sin(3x)的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱”的()88A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 先求解函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x對(duì)

3、稱的等價(jià)條件，得到8k 7 ,k Z ,分析即得解.8【詳解】若函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱，8則 3 k一, k Z ,82解得 k 7 ,k Z , 8故“一”是函數(shù)f(x) sin(3x)的圖象關(guān)于直線x一對(duì)稱”的充分不必要88條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.4 .幻方最早起源于我國(guó)，由正整數(shù)1, 2, 3,，n2這n2個(gè)數(shù)填入n n方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫 n階幻方.定義f(n)為n階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和，如f(3) 15,則 f(10)(A . 55

4、B. 500C. 505D, 5050【解析】 因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，可得f (n)因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,所以n階幻方對(duì)角線上數(shù)的和f（n）就等于每行（或每列）的數(shù)的和,又n階幻方有n行（或n列）因此，f（n）于是f(10)1 2 399 100505 .10故選：C本題考查了數(shù)陣問(wèn)題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題5.已知mn是兩條不重合的直線,是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)第11頁(yè)共24頁(yè)誤的是（B.m / 或mm /m /in/C.D.，則 n /【解析】根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定 A;由線面平行的判定定理

5、，可判斷所成的二面角為900 ； D中有可能n/根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有m /故A正確;若m/m /,由線面平行的判定定理,有n /故B正確;選項(xiàng)C:所成的二面角為90°,則C正確;選項(xiàng)D,故選：D【點(diǎn)睛】 本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.256. x 2 (x 2)的展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為()A. 20B. 60C. 70D. 80【答案】B【解析】展開式中含x4的項(xiàng)是由(x 2)5的展開式中含x4和X2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)2和x2項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得解【詳解】由題意，展開式中含x4的項(xiàng)是由(x 2)5的展

6、開式中含x4和x2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)2和x2項(xiàng)相乘得至L所以x2 2 (x 2)5的展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為 2c5 2 C53 23 60 .故選：B【點(diǎn)睛】 本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題A.5B,227C. 2D.-2【答案】A【解析】由題意，可得y )二，z22繼而得到y(tǒng) z,代入即得解2【詳解】xy ,消去y得x2 xz 2z2 0,可得Wz2,x, y, z成等差數(shù)列，且x , y, z成等比數(shù)列，則由x, y , z成等差數(shù)列,x z所以y ，又x, z, y成等比數(shù)列，2所以z2 xy ,消去y得x2 xz 2z2 0,所以2

7、22 0,解得乙1或-2, z zz z因?yàn)閤, y, z是不相等的非零實(shí)數(shù)，一一 .x一z所以22 ,此時(shí)y±,z2所以-y2 -5z22 ,故選：A【點(diǎn)睛】 本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能 力，屬于中檔題.8.周易是我國(guó)古代典籍，用卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）【答案】C一個(gè)陽(yáng)爻， 一”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩D.3C.一14【解析】分類討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻 的有

8、巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒(méi)有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典 概型即得解【詳解】 由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、 艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件， 其種數(shù)是C； 3 ； 僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是1c3 33C33,于是所求的概率P-r.C814故選：C本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.在 VABC中，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB,AC所在直線分別交于點(diǎn) MuuurAMuurABuuirANuuurAC(0,0)，的最小值為B. 2C.D.P , N三點(diǎn)共線,可得轉(zhuǎn)化利用均

9、值不等式,即得解因?yàn)辄c(diǎn)P為BC中點(diǎn)，所以u(píng)urAP1 uuu -AB 21 uuirAC 2uuur又因?yàn)锳Muuir ABuuirANuuurAC所以u(píng)uuAPuuuu AM1 uuurAN2因?yàn)镹三點(diǎn)共線,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)所以故選：B21時(shí)等號(hào)成立,的最小值為2.本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題10 .如圖，平面四邊形 ACBD中，AB BC , AB,3BC 2 , AABD為等邊三角形，現(xiàn)將 4ABD沿AB翻折，使點(diǎn)D移動(dòng)至點(diǎn)P ,且PB BC ,則三棱錐P ABC的外接球的表面積為(B. 6C. 4D.8.2

10、3【答案】A【解析】 將三棱錐P ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易 知外接球球心 O應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在RtVOBE中，計(jì)算半徑OB即可.【詳解】由 AB BC , PB BC ,可知 BC 1 平面 PAB .將三棱錐P ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.由此易知外接球球心 O應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記zABP的外心為E ,由ZXABD為等邊三角形，一 BC ,可得BE 1 .又OE 1 ,故在RtVOBE中，OB J2，2此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8 .故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生

11、空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué) 運(yùn)算的能力，屬于較難題.11.若函數(shù)f(x) ex的圖象上兩點(diǎn) M , N關(guān)于直線y x的對(duì)稱點(diǎn)在g(x) ax 2的圖象上，則a的取值范圍是()e,、 eA.，B, (,e)C.0-D. (0,e)22【答案】D【解析】由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線g(x) ax 2與y In x有兩個(gè)公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程ax 2lnx有兩解，構(gòu)造函數(shù)2 lnxh(x),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解函數(shù)f(x)ex的圖象上兩點(diǎn)Mn關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)在y lnx上,即曲線g(x) ax 2與y lnx有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程ax 2 lnx有兩解,2 ln x即a 有兩解,令

12、h(x)則 h (x)則當(dāng)x2 ln xx1 ln x2，x1x 時(shí)，h (x) 0； e1時(shí)h(x)取得極大值h ee ,也即為最大值,0 時(shí)，h(x)時(shí)，h(x) 0,所以0 a e滿足條件.故選：D本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題 12 .已知拋物線C:y2 4x和點(diǎn)D(2,0),直線x ty 2與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A,B,直線BD與拋物線C交于另一點(diǎn)E.給出以下判斷：以BE為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；直線OB與直線OE的斜率乘積為 2;設(shè)過(guò)點(diǎn)A, B, E的圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r ,則a2 r2 4 .其

13、中，所有正確判斷的序號(hào)是()A.B.C.D.【答案】D【解析】對(duì)于，利用拋物線的定義，利用d d1 d2 |BF | |EF | LBEJ R可 222判斷；對(duì)于，設(shè)直線DE的方程為x my 2,與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線 OB與直線OE的斜率乘積，即可判斷；對(duì)于，將x ty 2代入拋物線C的方程可得，n©i 8,從而，yky2,利用韋2達(dá)定理可得| BE|216m448m232,再由r2| MN|2正可 ，可用m表示r2, 線段BE的中垂線與x軸的交點(diǎn)（即圓心 N ）橫坐標(biāo)為2m2 4 ,可得a,即可判斷如圖，設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，以線段 BE為直徑的圓為 M ,則圓心M為線段B

14、E的 中占設(shè)B , E到準(zhǔn)線的距離分別為di , d2 , e M的半徑為R ,點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d ,顯然B, E , F三點(diǎn)不共線,di d2 |BF | | EF |22由題意可設(shè)直線 DE的方程為x my 2 ,代入拋物線C的方程，有y2 4my 8 0 .設(shè)點(diǎn)b , E的坐標(biāo)分別為 xi,yi , x2, y2 ,則 yi y 4m , yy28.2所以 xix2myi2my22 myy22myiy24 4.v1V2則直線OB與直線OE的斜率乘積為 皿22 .所以正確.x#2將x ty 2代入拋物線C的方程可得，YaYi 8,從而，Ya丫2 .根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,A, E兩點(diǎn)關(guān)于

15、x軸對(duì)稱，所以過(guò)點(diǎn)A, B, E的圓的圓心N在x軸上.2由上，有 Yi Y2 4m , Xi X2 4m 4 ,22則 |BE|x1 x24x1x22Y1Y24y1y2_4_216m48m32 .所以，線段BE的中垂線與x軸的交點(diǎn)（即圓心 N ）橫坐標(biāo)為2m2于是,r2 |MN |222些12m2 4。222y-y24m4 12m2 8,22,代入 x1 x2 4m 4 , y1 y24m ,得 r2 4m4 16m2 12 ,所以a2 r2o 2.o2m 4 4m 16m124 .所以正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算 的能力，

16、屬于較難題二、填空題x y 1 0,13,已知實(shí)數(shù)x, y滿足約束條件 3x y 3 0,則z 2x y的最大值為 .y 0,【答案】7【解析】作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z 2x y為y 2x z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）時(shí)，直線的截距最大，取得最大值，即得解 .【詳解】是以 A(2,3), B(1,0),C(1,0),為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z2x y 為 y 2x z當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線的截距最大此時(shí)z 2 2 37取得最大值7.故答案為：7本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)14 .某中學(xué)舉行了一次消防知識(shí)競(jìng)

17、賽，將參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如 圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組,已知第二組的頻數(shù)是80,則成績(jī)?cè)趨^(qū)間80,100的學(xué)生人數(shù)是4015 1 0.010-1 O.Mf【解析】根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量，再計(jì)算成績(jī)?cè)?0100分的頻率，繼 而得解.根據(jù)直方圖知第二組的頻率是0.040 10 0.4,則樣本容量是-80 200,0.4又成績(jī)?cè)?0100分的頻率是(0.010 0.005) 10 0.15,則成績(jī)?cè)趨^(qū)間80,100的學(xué)生人數(shù)是200 0.15 30.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)

18、形運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題2215.設(shè)雙曲線C:x2 4 1(a 0,b 0)的左焦點(diǎn)為F ,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45。的直線 a buuu uuu與雙曲線C的兩條漸近線順次交于A, B兩點(diǎn)若FB 3FA，則C的離心率為【解析】設(shè)直線AB的方程為x y c ,與yuuub一x聯(lián)立得到A點(diǎn)坐標(biāo)，由FBuur 3FA第28頁(yè)共24頁(yè)得，yB 3yA,代入可得b 2a,即得解.由題意，直線 AB的方程為x y c,與y聯(lián)立得yA旦，yB-， a b b auuuuur由 FB 3FA 得，yB 3丫人，從而一bbc3bc b a '從而離心率故答案為:.5本題考查了雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分

19、析,轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x) .若x 0時(shí)，f (x)2x,則不等式f(2x) f (x 1) 3x2 2x 1的解集是./ 1【答案】13【解析】構(gòu)造g(x) f (x) x2,先利用定義判斷 g(x)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化f(2x) f (x 1) 3x2 2x 1為g(2x) g(x 1),結(jié)合奇偶性，單調(diào) 性求解不等式即可.【詳解】令g(x) f(x) x2 ,則g(x)是R上的偶函數(shù)，g (x) f (x) 2x 0,則g(x)在(0,)上遞減，于是在(，0)上遞增.由 f(2x) f (x 1

20、) 3x2 2x 1 得 f(2x) (2x)2f (x 1) (x 1)2,即 g(2x) g(x 1),于是 g(|2x|) g(|x 1|),則 |2x| |x 1|,一， 1解得1 x -.3- -1故答案為：1,一3【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.三、解答題17 .某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了 200名進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查后,(1)是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？(2)為答謝顧客，該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購(gòu)買該商品的支付

21、情況如下:支付方式現(xiàn)金支付購(gòu)物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧付客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購(gòu)買一件該促銷商品所支付的金額為附表及公式:X ,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.P K2 -k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】(1)有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；(2) 67元，見解析.【

22、解析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；(2) X的可能取值為40, 60, 80, 90,根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué) 期望即可.【詳解】(1)由題得K2200(40 40 80 40)2505.556 5.024,120 80 80 1209所以，有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)(2)由題意可知 X的可能取值為40, 60, 80, 90.1c, 11c,3P(X 40) 60% P(X 60) 60% 一，35210c,1c,21P(X 80) 30%60%一，P(X 90) 10%一.6510則X的分布列為X40608090P13215105

23、101321所以，EX 40- 60 -80-9067 (元)510510【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題18.已知a, b, c分別是VABC三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，acosC /3csin A b c .(1)求 A;(2)若 a 聲，b c 3,求 b , c.【答案】(1) ;(2) b 1, c 2或b 2, c 1.3【解析】(1)利用正弦定理，轉(zhuǎn)化原式為sin AcosC 73sin Csin A sin B，一,-1 r 結(jié)合B AC,可得sin A -即得解；

24、62(2)由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA,結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得解【詳解】(1)由acosC , 3csin A b c及正弦定理得sin AcosC /3sin Csin A sin B sin C .因?yàn)锽 A C ,所以sin B sin AcosC cosAsin C，代入上式并化簡(jiǎn)得73sin C sin A cos Asin C sinC .1由于 sin C 0 ,所以 sin A .62又0 A ，故A 3(2)因?yàn)?a J3, b c 3, A , 3由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA即 3 (b c)2 2bc bc 9 3bc,所以bc 2 .而 b

25、c 3,所以b , c為一元二次方程x2 3x 2 0的兩根.所以 b 1, c 2或 b 2, c 1.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題，"AD 是19.如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是菱形，/ BAD 60邊長(zhǎng)為2的正三角形，PC 聞,E為線段AD的中點(diǎn).求三棱錐AD II BC 可利用二面角即得解.(1)求證：平面PBC 平面PBE;(2)若F為線段PC上一點(diǎn)，當(dāng)二面角 P DB F的余弦值為 巫時(shí), 5B PDF的體積. 【答案】(1)見解析；(2) 5.9 【解析】(1)先證明PE AD

26、, BE AD可證AD 平面PBE ,再由證BC ±平面PBE ,即得證；(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E xyz,設(shè)uuuuuirirrPFPC(0蒯 1),求解面 DBP的法向量 m,面DFB的法向量n ,.5 一 一 一P DB F的余弦值為半，可求解，轉(zhuǎn)化Vbpdf Vp BDCVFBDC【詳解】(1)證明：因?yàn)?PAD是正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，所以PE AD .因?yàn)锳BCD是菱形，所以 AD AB .因?yàn)?BAD 60 ,所以zABD是正三角形，所以BE AD ,所以AD 平面PBE .又AD II BC，所以BC，平面PBE .因?yàn)锽C 平面PBC

27、 ,所以平面PBC 平面PBE .(2)由(1)知 BCL 平面 PBE ,所以 BC PB，pb TPC_BC7 瑪而 PE BE 73,所以 PB2 PE2 BE2，PE EB .又 PE AD所以PE 平面ABCD .(1J3,0) .uuiruur是， DP (1,0,73) , DBIT設(shè)面DBP的一個(gè)法向量m(x, y,z)v uiiv m DB 0, v uuv m dp 0,0,0.irmuuu PF1,1).uuirPC(0 蒯 1)uuir ,DF(I 2 J3 ,73 展).設(shè)面DFB的一個(gè)法向量(x,y,z),v unv ,n DB 由 v iuv rv DF°

28、;，得 0,、3y0,(12 )x .3 y(.3.3 )z 0.依題意ir r |cos m,n |4 3-7tit32,即一13,即所以VB PDFVP BDCVF BDC 二 VP BDC 二 二' 3'' 3 二9939【點(diǎn)睛】 本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解, 棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn)， 考查了學(xué)生空間想象， 邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,其短半軸長(zhǎng)為1, 一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)A 在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y 72上，且OA(1)證明：直線AB與圓x2 y2 1相切;(2)設(shè)

29、AB與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為 D ,當(dāng)VAOB的面積最小時(shí)，求 OD的長(zhǎng).【答案】(1)見解析；(2)匝3【解析】(1)分斜率為0,斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設(shè)OA的方程為y kx,可求解得到|OA|2 22kv , 1 2k2|OB |2 2 2k2,可得。到AB的距離為1,即得證;(2)表示VAOB的面積為S12 2k2-|OA| |OB|,利用均值不等式, 22v1 2k2即得解.(1)由題意，橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，且b c 1,所以a 722所以橢圓C的方程為y21 .2由點(diǎn)B在直線y 應(yīng)上，且OAOB知OA的斜率必定存在,當(dāng)OA的斜率為0時(shí)，|OA|桓|OB|于是|AB| 2

30、,。到AB的距離為1,直線AB與圓x2 y2 1相切.當(dāng)OA的斜率不為0時(shí)，設(shè)OA的方程為y2.x 22kx,與二y2 1聯(lián)立得1 2k 2x2 2,2 2 2k2,從而 |OA| 21 2k2所以xA, yA且01 2k2 yA 1 2k2而OB OA,故OB的方程為x ky ,而B在y 72上，故xJ2k，從而 |OB |2 2 2k2,于曰 TH _22|OA2 |OB |21.此時(shí)，。到AB的距離為1,直線AB與圓x21相切.綜上，直線AB與圓x2 y2 1相切.(2)由(1)知，VAOB的面積為2122k2112kS -|OA| |OB| -=2222%1 2k 21 2k力Er上式

31、中，當(dāng)且僅當(dāng) k 0等號(hào)成立，所以 VAOB面積的最小值為1.此時(shí)，點(diǎn)A在橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，B為(0, J2).不妨設(shè)A為長(zhǎng)軸左端點(diǎn)，則直線 AB的方程為y x J2,代入橢圓C的方程解得yD即yD9, xD9,所以12平.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷，面積的最值問(wèn)題，考查 了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.21 .已知函數(shù)f(x) ex xln x ax, f (x)為f (x)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù) f (x)在x x0處取得最小值.(1)求證：ln x0 x0 0 ；(2)若xxo時(shí)，f(x)1恒成立,求a的取值范圍.【答案】(1)見解析； (2) 1 e,

32、).【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo),令g(x)ex ln x a 1 ,求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析可得存.1-to 1在工to 1使得g to0,即e 7 0，即得證;1(2)分一XoXo, c 1T O , Xo xo2t0, c1, ca 1 0兩種情況討論，當(dāng)一xo a T0時(shí),Xo12r r,1轉(zhuǎn)化f (x)min f Xo XoXoa利用均值不等式即得證；當(dāng)一 x° a 1 0,xoXof (x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) XiX2,分析可得f(x)的最小值為f ” ,分a 1 e,a 1 e討論即得解【詳解】(1)由題意 f (x) ex ln x a 1 ,1令 g(x) e lnx a

33、 1,則 g(x) e ,知 g(x)為(0,)的增函數(shù), x因?yàn)?g (1) e 1 0, g 17e 2 0,21tn1所以，存在to 1使得g to 0,即e 70.2to所以，當(dāng)xo,to時(shí)g(x) g to0, g(x)為減函數(shù)，當(dāng)xto,時(shí)g (x) g to0, g(x)為增函數(shù),故當(dāng)x to時(shí)，g(x)取得最小值，也就是 f (x)取得最小值.x 1- x 1故xo to ,于是有e 一 0 ,即e 一, xoxo所以有l(wèi)n x0 x0 0 ,證畢.(2)由(1)知,x1df (x) e In x a 1 的最小值為一xo a 1 , xo1當(dāng)一xo a10 ,即a1xo1、，

34、一 xo 時(shí)，f(x)為 xo, xo的增函數(shù),所以f (x) minf xoex0x0 In x0xoa12一 xo xoa , xoxo2xoxo 1工xoxo1 x 1x0I )xo由(1)中1xo 1 ,得xo2xo-.1故a1 x0滿足題意.xo_1，八當(dāng)一xoa 1 0,即a 1xo1,，人一 小 時(shí)，f (x)有兩個(gè)不同的手點(diǎn) x1, x2, xo且 Xi X0 X2 ,即 f X2ex2若 XX0, x2 時(shí) f (x) f x2若 XX2,時(shí) f (x) f X2所以f(x)的最小值為f X2 .注意到f e a 1時(shí)，a 1In x2 a 1 0 a In x2 ex2 1

35、 ,0 , f(x)為減函數(shù)，()0, f(x)為增函數(shù),e,且此時(shí) f (1) e a 1 0 ,(i )當(dāng) a 1 e時(shí)，f (1)e a T。 f x2 ,所以 0 x2, 1 ,即 1 x2 0 ,又f x2ex2x2 In x2ax2e“x2 In x2In x2ex21 x21 x2 e“ x21X2ex211 ,而 eX2 1 0,所以 1 X2 eX2 11由于在一x0 1下，恒有21一X0X0,1e,所以 1 e 1 x0X0(ii )當(dāng) a1 e時(shí)，f (1) e a 1 0 f所以X2 1 x0,所以由()知X1,X2時(shí)，f(x)為減函數(shù),所以f (x) f (1) e

36、a 1,不滿足XX0時(shí)，f(x) 1恒成立，故舍去.一1故1 e, a 1 x0滿足條件.X0綜上所述：a的取值范圍是1 e,).本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的恒成立問(wèn)題,考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x cos ,以。為極點(diǎn)，X軸正半軸 y sin .為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A在曲線C2： sin1上，點(diǎn)B在曲線C3：(0)上，且VAOB為正三角形.6(1)求點(diǎn)A, B的極坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P為曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段AP的中點(diǎn)，求|BM |的最大值.【答案】(1) A 2, , B 2, ;(2) - B662【解析】(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解