FANUC機械手資料相關(guān)機器人正運動學(xué)方程的D-H表示法

1、2.8機器人正運動學(xué)方程的 D-H 表示法在 1955 年，Denavit 和 Hartenberg在 “ASME Journal of Applied Mechanics發(fā)”表了一篇論文， 后來利用這篇論文來對機器人進行表示和建模， 并導(dǎo)出了它們的運動方程， 這已成為表示機器人和對機器人運動進行建模的標準方法， 所以必須學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。Denavit-Hartenberg（D-H）模型表示了對機器人連桿和關(guān)節(jié)進行建模的一種非常簡單的方法， 可用于任何機器人構(gòu)型， 而不管機器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。 它也可用于表示已經(jīng)討論過的在任何坐標中的變換， 例如直角坐標、圓柱坐標、球坐標、歐拉角坐標

2、及RPY 坐標等。另外，它也可以用于表示全旋轉(zhuǎn)的鏈式機器人、 SCARA 機器人或任何可能的關(guān)節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對機器人直接建模會更快、更直接，但D-H 表示法有其附加的好處，使用它已經(jīng)開發(fā)了許多技術(shù)，例如，雅克比矩陣的計算和力分析等。假設(shè)機器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成。這些關(guān)節(jié)可能是滑動（線性）的或旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動）的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長度（包括零） ，它可能被彎曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一組關(guān)節(jié)和連桿都可以構(gòu)成一個我們想要建模和表示的機器人。為此，需要給每個關(guān)節(jié)指定一個參考坐標系，然后，確定從一個關(guān)節(jié)到下一個關(guān)節(jié) （一個坐標系

3、到下一個坐標系） 來進行變換的步驟。 如果將從基座到第一個關(guān)節(jié)， 再從第一個關(guān)節(jié)到第二個關(guān)節(jié)直至到最后一個關(guān)節(jié)的所有變換結(jié)合起來，就得到了機器人的總變換矩陣。在下一節(jié)，將根據(jù)D-H 表示法確定一個一般步驟來為每個關(guān)節(jié)指定參考坐標系， 然后確定如何實現(xiàn)任意兩個相鄰坐標系之間的變換，最后寫出機器人的總變換矩陣。Jiff-平行五或連桿相似， 但是他們非常常見， 且能很容易地表示實際機器人的任何關(guān)節(jié)。 這 些關(guān)節(jié)可能是旋轉(zhuǎn)的、滑動的、或兩者都有。盡管在實際情況下，機器人的關(guān)節(jié)通常只有一個自由度，但圖 2.25 中的關(guān)節(jié)可以表示一個或兩個自由度。圖2.25 （a）表示了三個關(guān)節(jié)，每個關(guān)節(jié)都是可以轉(zhuǎn)動或平

4、移的。第一個關(guān) 節(jié)指定為關(guān)節(jié)n,第二個關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+1 ,第三個關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+2o在這些關(guān)節(jié) 的前后可能還有其他關(guān)節(jié)。 連桿也是如此表示， 連桿 n 位于關(guān)節(jié) n-1 與 n+1 之間， 連桿 n+1 位于關(guān)節(jié) n+1 與 n+2 之間。為了用 D-H 表示法對機器人建模， 所要做的第一件事是為每個關(guān)節(jié)指定一個本地的參考坐標系。因此，對于每個關(guān)節(jié)，都必須指定一個z 軸和 x 軸，通常并不需要指定y 軸， 因為 y 軸總是垂直于 x 軸和 z 軸的。此外， D-H 表示法根本就不用 y 軸。以下是給每個關(guān)節(jié)指定本地參考坐標系的步驟：所有關(guān)節(jié)，無一例外的用 z 軸表示。如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的， z 軸位

5、于按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)的方向。如果關(guān)節(jié)是滑動的， z 軸為沿直線運動的方向。在每一種情況下，關(guān)節(jié)n 處的 z 軸（以及該關(guān)節(jié)的本地參考坐標系）的下標為n-1。例如，表示關(guān)節(jié)n+1的z軸是乙。這些簡單規(guī)則可使我們很快地定義出所有關(guān)節(jié)的 z 軸。對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，繞z 軸的旋轉(zhuǎn)（ 角）是關(guān)節(jié)變量。對于滑動關(guān)節(jié)，沿z 軸的連桿長度d 是關(guān)節(jié)變量。如圖2.25 （a）所示，通常關(guān)節(jié)不一定平行或相交。因此，通常 z軸是斜 線，但總有一條距離最短的公垂線，它正交于任意兩條斜線。通常在公垂線方向上定義本地參考坐標系的x軸。所以如果an表示Zn 1與Zn之間的公垂線， 則 xn 的方向?qū)⒀豠n 。 同樣， 在zn 與

6、zn 1 之間的公垂線為 an 1 ，xn 1 的方向?qū)⒀豠n 1 。 注意相鄰關(guān)節(jié)之間的公垂線不一定相交或共線， 因此，兩個相鄰坐標系原點的位置也可能不在同一個位置。根據(jù)上面介紹的知識并考慮下面例外的特殊情況，可以為所有的關(guān)節(jié)定義坐標系。如果兩個關(guān)節(jié)的 z 軸平行，那么它們之間就有無數(shù)條公垂線。這時可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線，這樣做就可以簡化模型。如果兩個相鄰關(guān)節(jié)的 z 軸是相交的，那么它們之間就沒有公垂線（或者說公垂線距離為零） 。 這時可將垂直于兩條軸線構(gòu)成的平面的直線定義為x 軸。也就是說，其公垂線是垂直于包含了兩條z 軸的平面的直線，它也相當于選取兩條z 軸的叉積方向作

7、為x 軸。這也會使模型得以簡化。在圖2.25 （a）中， 角表示繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離， a 表示每一條公垂線的長度（也叫關(guān)節(jié)偏移量） ，角 表示兩個相鄰的 z 軸之間的角度 （也叫關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)） 。通常，只有和 d 是關(guān)節(jié)變量。下一步來完成幾個必要的運動， 即將一個參考坐標系變換到下一個參考坐標系。 假設(shè)現(xiàn)在位于本地坐標系 xnzn ， 那么通過以下四步標準運動即可到達下一個本地坐標系 xn 1 zn 1 。（1）繞zn軸旋轉(zhuǎn)nl （如圖2.25 （a）與（b）所示），它使得Xn和Xni互相平行， 因為 an 和 an都是垂直于zn 軸的， 因此繞 zn 軸旋轉(zhuǎn)

8、 n 1 使它們平 行(并且共面) 。(2)沿4軸平移dn i距離，使得Xn和Xn 1共線(如圖2.25 ( C)所示)。因為4和Xn i已經(jīng)平行并且垂直于 4,沿著乙移動則可使它們互相重疊在一起。(3)沿Xn軸平移an i的距離，使得力和Xn 1的原點重合(如圖2.25 (d)和(e)所示)。這是兩個參考坐標系的原點處在同一位置。(4)將Zn軸繞Xn 1軸旋轉(zhuǎn)ni,使得Zn軸與Zn 1軸對準(如圖2.25 ( f)所示)這時坐標系n和n+1完全相同(如圖2.25 (g)所示)。至此，我們成功 的從一個坐標系變換到了下一個坐標系。在 n+1 和 n+2 坐標系間嚴格地按照同樣的四個運動順序可以

9、將一個坐標變換到下一個坐標系。 如有必要， 可以重復(fù)以上步驟， 就可以實現(xiàn)一系列相鄰坐標系之間的變換。 從參考坐標系開始， 我們可以將其轉(zhuǎn)換到機器人的基座， 然后到第一個關(guān)節(jié)，第二個關(guān)節(jié)，直至末端執(zhí)行器。這里比較好的一點是，在任何兩個坐標系之間的變換均可采用與前面相同的運動步驟。通過右乘表示四個運動的四個矩陣就可以得到變換矩陣A ， 矩陣 A 表示了四個依次的運動。 由于所有的變換都是相對于當前坐標系的 (即他們都是相對于當nTn 1An 1 Rot Z, n 1前的本地坐標系來測量與執(zhí)行) ， 因此所有的矩陣都是右乘。 從而得到結(jié)果如下：100001000 0 1 dn 10001Tran

10、0,0,dn 1 Tran an 1,0,0 Rot X,an 1Cn1 Sn1 0 0Sn1Cn10 00010000110 0 an 101000010000110002.51)0 C n1Sn1 00 Sn1 C n1 00001An 1Cn1Sn10S n 1C n 1C n 1C n 1Sn10S n 1S n 1 an 1C n 1C n 1S n 1 an 1S n 1C n 1dn 1012.52)比如，一般機器人的關(guān)節(jié)2 與關(guān)節(jié) 3 之間的變換可以簡化為：C 3S 3c 3S 3s 3a3c 3S 3C 3C 3C 3s 3a3s 30S 3C 3d30001A3(2.53)

11、在機器人的基座上，可以從第一個關(guān)節(jié)開始變換到第二個關(guān)節(jié)，然后到第 三個，再到機器人的手，最終到末端執(zhí)行器。若把每個變換定義為，則可以 得到許多表示變換的矩陣。在機器人的基座與手之間的總變換則為：(2.54)RTh 11T22T3n1TnNA2A3An其中n是關(guān)節(jié)數(shù)。對于一個具有六個自由度的機器人而言，有 6個A矩陣。為了簡化A矩陣的計算，可以制作一張關(guān)節(jié)和連桿參數(shù)的表格， 其中每個連 桿和關(guān)節(jié)的參數(shù)值可從機器人的原理示意圖上確定，并且可將這些參數(shù)代入A矩陣。表2.1可用于這個目的。在以下幾個例子中，我們將建立必要的坐標系，填寫參數(shù)表，并將這些數(shù)值 代入A矩陣。首先從簡單的機器人開始，以后再考慮

12、復(fù)雜的機器人。表2.1 D-H參數(shù)表#da1 ；23 145 6例2.18對于如圖2.26所示的簡單機器人，根據(jù)D-H表示法，建立必要的坐標系， 并填寫相應(yīng)的參數(shù)表。解：為方便起見，在此例中，假設(shè)關(guān)節(jié) 2, 3和4在同一平面內(nèi)，即它們的dn值為00為建立機器人的坐標系，首先尋找關(guān)節(jié)（如圖 2.26所示）。該機器人 有六個自由度，在這個簡單機器人中，所有的關(guān)節(jié)都是旋轉(zhuǎn)的。第一個關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)1）在連桿0 （固定基座）和連桿1之間，關(guān)節(jié)2在連桿1和連桿2之間，等等。首先，如前面已經(jīng)討論過的那樣，對每個關(guān)節(jié)建立 z軸，接 著建立z軸。觀察圖2.27和圖2.28所示的坐標可以發(fā)現(xiàn)，圖2.28是圖2.27

13、的簡化線圖。應(yīng)注意每個坐標系原點 3在它所在位置的原因。圖2.26具有六個自由度的簡單鏈式機器人圖2.28簡單六個自由度鏈式機器人的參考坐標系線圖從關(guān)節(jié)1開始，Z0表示第一個關(guān)節(jié)，它是一個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。選擇 X0與參考坐 標系的X軸平行，這樣做僅僅是為了方便，X0是一個固定的坐標軸，表示機器人 的基座，它是不動的。第一個關(guān)節(jié)的運動是圍繞著 Zo-Xo軸進行的，但這兩個軸 并不運動。接下來，在關(guān)節(jié)2處設(shè)定乙，因為坐標軸Zo和Z1是相交的，所以Xi垂 直于Z0和4 o X2在乙和z2之間的公垂線方向上，X3在z2和z3之間的公垂線方向 上，類似地，X4在Z3和Z4之間的公垂線方向上。最后，Z5和Z6是

14、平行且共線的。 Z5表示關(guān)節(jié)6的運動，而Z6表示末端執(zhí)行的運動。通常在運動方程中不包含末端 執(zhí)行器，但應(yīng)包含末端執(zhí)行器的坐標系，這是因為它可以容許進行從坐標系 Z5 %出發(fā)的變換。同時也要注意第一個和最后一個坐標系的原點的位置，它們 將決定機器人的總變換方程?？梢栽诘谝粋€和最后的坐標系之間建立其他的 （或 不同的）中間坐標系，但只要第一個和最后的坐標系沒有改變， 機器人的總變換 便是不變的。應(yīng)注意的是，第一個關(guān)節(jié)的原點并不在關(guān)節(jié)的實際位置， 但證明這 樣做是沒有問題的，因為無論實際關(guān)節(jié)是高一點還是低一點， 機器人的運動并不 會有任何差異。因此，考慮原點位置時可不用考慮基座上關(guān)節(jié)的實際位置。接下

15、來，我們將根據(jù)已建立的坐標系來填寫表 2.2中的參數(shù)。參考前一節(jié)中 任意兩個坐標系之間的四個運動的順序。 從zo %開始，有一個旋轉(zhuǎn)運動將X。轉(zhuǎn)到了 Xi ,為使得Xo與Xi軸重合，需要沿乙和沿Xi的平移均為零，還需要一個旋轉(zhuǎn)將zo轉(zhuǎn)到Zi ,注意旋轉(zhuǎn)是根據(jù)右手規(guī)則進行的，即將右手手指按旋轉(zhuǎn)的方向彎曲，大拇指的方向則為旋轉(zhuǎn)坐標軸的方向。到了這時，Zo X。就變換到了4Xi。接下來，繞Zi旋轉(zhuǎn)2,將Xi轉(zhuǎn)到了 X2,然后沿X2軸移動距離a2 ,使坐標系原點重合。由于前后兩個Z軸是平行的，所以沒有必要繞X軸旋轉(zhuǎn)。按照這樣的步 驟繼續(xù)做下去，就能得到所需要的結(jié)果。必須要認識到，與其他機械類似，機器人

16、也不會保持原理圖中所示的一種構(gòu) 型不變。盡管機器人的原理圖是二維的， 但必須要想象出機器人的運動， 也就是 說，機器人的不同連桿和關(guān)節(jié)在運動時，與之相連的坐標系也隨之運動。如果這 時原理圖所示機器人構(gòu)型的坐標軸處于特殊的位姿狀態(tài)，當機器人移動時它們又 會處于其他的點和姿態(tài)上。比如，X3總是沿著關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4之間連線a3的方向。當機器人的下臂繞關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)而運動。在確定參數(shù)時，必須記住這一點。表2.2 例2.i9機器人的參數(shù)#daii0090220a20330a30440a4-9055009066000表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，d表示滑動關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。因為這個機器人 的關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)的，因此所有關(guān)節(jié)

17、變量都是角度。通過簡單地從參數(shù)表中選取參數(shù)代入 A矩陣，便可寫出每兩個相鄰關(guān)節(jié)之間的變換。例如，在坐標系。和i之間的變換矩陣A可通過將 (sin90 =i,cos90=0,=90 )以及指定G為i等代入A矩陣得到，對其他關(guān)節(jié)的A2A6矩陣也是這樣，最后得:C10soS10C10Ai0 100C2S20C2a2S2C20S2a200100001A2A3C3S3 0 0S3C3 0 00 C3 a30S3a31001C40S4C4a4S40C4S4 a01000001A4(2.55)A5C50S50S50C5001000001C6S600A6S6C60000100001特別注意：為簡化最后的解，將

18、用到下列三角函數(shù)關(guān)系式:S 1c 2 C 1s 2S( 12)SI2C 1C 2 S 1S 2C( 1C12(2.56)0 001在機器人的基座和手之間的總變換為:RThA A2 A3 A4 A5 A(2.57)C1 (C234C5c6S234 S6 )C1 ( C234C5c68234 c6 )CMC234S5)C4C234 a4S1S5c6S1S5 s6S1C5C23a3C2a2)S1 (C 234 c5c6S234 S5 )S ( C 234 c 5c 68234 c6 )S(C234S5)S1 (C234 a4C1S5 s6C185 ssC1C5C23a3C2a2)S234 c5c6S234c5c6C234C6S234 S5S234 a 4S23 a3 S00012例2.19斯坦福機械手臂。在斯坦福機械手臂上指定坐標系（如圖 2.29所示）, 并填寫參數(shù)表。斯坦福機械手臂是一個球坐標手臂，即開始的兩個關(guān)節(jié) 是旋轉(zhuǎn)的，第三個關(guān)節(jié)是滑動的，最后三個腕關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。圖2.29斯坦福機械手臂示意圖解：在看本題解答之前，現(xiàn)根據(jù)自己的理解來做，問題的答案在本章的最后。建議在看解答中建立的坐標系和機械手臂的解之前，先試著自己做。機器手臂最后的正運動學(xué)解是相鄰關(guān)節(jié)之間的 6 個變換矩陣的乘積：其中nxnynzaxayazTHSTA