實驗一線性方程組迭代法實驗

1、實驗一 線性方程組迭代法實驗一、 實驗?zāi)康?1掌握用迭代法求解線性方程組的基本思想和計算步驟；2能熟練地寫出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比較它們各自的特點及誤差估計；3.理解迭代法的基本原理及特點，并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩陣形式及其各自的特點；4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)方法,及了解松弛因子對SOR迭代的影響；5.用SOR迭代法求解線性方程組時，超松弛因子的取值大小會對方程組的解造成影響，目的就是能夠探索超松弛因子怎樣對解造成影響，通過這個實驗我們可以了解的大致

2、取值范圍。二、 實驗題目1、迭代法的收斂速度用迭代法分別對n=20，n=200解方程組Ax=b,其中（1）選取不同的初值x0和不同的右端向量b，給定迭代誤差，用兩種迭代法計算，觀測得到的迭代向量并分析計算結(jié)果給出結(jié)論；（2）取定初值x0和右端向量b，給定迭代誤差，將A的主對角元成倍放大，其余元素不變，用Jacobi迭代法計算多次，比較收斂速度，分析計算結(jié)果并給出結(jié)論。2、SOR迭代法松弛因子的選?。?）給定迭代誤差，選取不同的超松弛因子，從1.00到2.00，觀察不同的松弛因子對解得影響。然后利用雅可比迭代求的的解與它們比較； （2）給定迭代誤差，選取不同的低松弛因子，從1.00到2.00，觀

3、察不同的松弛因子對解得影響。然后利用雅可比迭代求的的解與它們比較。三、 實驗原理1、迭代法的收斂速度運用了Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代1）Jacobi迭代算法：1. 取初始點x(0),精度要求，最大迭代次數(shù)N，置k：=0；2. 由，計算出x（k+1）；3. 若,則停算，輸出x(k+1)作為方程組的近似解；4. 若k=N，則停算，輸出迭代失敗信息；否則置k：=k+1，轉(zhuǎn)步2。2）Gauss-Seidel迭代算法：1.輸入矩陣A，右端向量b，初始點x(0),精度要求，最大迭代次數(shù)N，置k:=0；2.計算3.若，則停算，輸出x作為方程組的近似解；4. 若k=N，則停算，輸出迭代失敗

4、信息；否則置x（0）:=x，k:=k+1，轉(zhuǎn)步驟2。2、SOR迭代法松弛因子的選?。?）逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel迭代法的加速。Gauss-Seidel迭代格式為：X(k+1)=D-1*L*x(k+1)+D-1*U*x(k)+ D-1*b（2）SOR迭代格式為X(k+1)=（I-w D-1*L）-1*(1-w)I+w D-1*U*x(k)+w(I-w D-1*L)-1* D-1*b其中，w叫做松弛因子，當w>1時叫超松弛，當1>w>0時叫低松弛。W=1是Gauss-Seidel迭代法；（3）SOR迭代法的算法：輸入矩陣A，向量b，初始點x(0),精確度，最大迭

5、代次數(shù)N，松弛因子的選??；進行迭代；判斷迭代的情況。四、 實驗內(nèi)容1、迭代法的收斂速度1.1實驗步驟：（1）打開matlab軟件，新建一個M文件，編寫程序（如下），運行程序，記錄結(jié)果；（2）把程序中x0=ones(n,1)改為x0=eye(n,1)，運行程序，記錄結(jié)果；（3）把程序中A(i,i)=m改為A(i,i)=2*m，注釋掉x1=majacobi(A,b);x1'后面的部分，運行程序，記錄結(jié)果；（4）仿照（3）再把主對角元成倍放大，運行程序，記錄結(jié)果。1.2實驗程序：clcn=20;A=zeros(n);m=4;for i=1:n A(i,i)=m;endfor i=1:n-1

6、A(i,i+1)=-1/3; A(i+1,i)=-1/3;endfor i=1:n-2 A(i,i+2)=-1/5; A(i+2,i)=-1/5;endx0=ones(n,1);b=A*x0;x1=majacobi(A,b);x1'x2=maseidel(A,b);x2'norm(x1-x2)1.3實驗設(shè)備： matlab軟件。2、SOR迭代法松弛因子的選取2.1實驗步驟：（1） 數(shù)據(jù)準備：A=12*eye(200,200);for i=1:199 A(i,i+1)=-2; A(i+1,i)=-2;endfor j=1:198 A(j,j+2)=1; A(j+2,j)=1;en

7、db=5*ones(200,1);（2）給定迭代誤差1e-6，取=1.00,1.10,1.20,1.30,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,1.91,1.92,1.95,1.97,1.98,1.99,2.00，代入x=masor(A,b，)，x20=majacobi(A,b)并利用norm(x-x20)分別分析與雅可比迭代求的解的誤差； (3) 給定迭代誤差1e-6，取=0.02,0.03,0.20,0.30,0.40,0.50,0.60,0.70,0.80,0.90,0.97.0.98,0.99，代入x=masor(A,b，)，x20=majacobi(A,b)并利

8、用norm(x-x20)分別分析與雅可比迭代求的解的誤差。五、 實驗結(jié)果1、迭代法的收斂速度（1）對于n=20時：n = 20Columns 1 through 12 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.

9、0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0

10、0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Columns

11、 13 through 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 -0.

12、2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000k= 11x1 =1.0000 1.0000/有20個1.0000k= 8x2 =1.0000 1.00

13、00/有20個1.0000ans = 3.3039e-007當n=200時：A由于階數(shù)太大省略；k= 11x1=1.0000 1.0000 /有200個1.0000k= 8x2=1.0000 1.0000 /有200個1.0000ans = 1.1368e-006（2）k= 4x1 = 1.0000 1.0000（20階）k= 4x2 = 1.0000 1.0000（20階）ans =4.8999e-0082、SOR迭代法松弛因子的選取表1-1 >1的情況kNorm(x-x20)1.0089.7346e-0071.10109.6821e-0071.20121.0307e-0061.301

14、61.0200e-0061.40201.1434e-0061.50261.2691e-0061.60361.2272e-0061.70511.4364e-0061.80831.4657e-0061.901771.7205e-0061.911981.7542e-0061.922242.2548e-0061.953211.5060e-0061.974711.8146e-0061.98>5001.99>500表1-2 <1的情況kNorm(x-x20)0.000.02>5000.033863.8618e-0040.042972.8217e-0040.101261.0286e-

15、0040.20644.0889e-0050.30422.1010e-0050,40301.4555e-0050.50238.1655e-0060.60185.0040e-0060.70143.7920e-0060.80112.3675e-0060.9091.0772e-0060.9789.7786e-0070.9889.7481e-0070.9989.7361e-007六、 實驗結(jié)果分析1、迭代法的收斂速度的實驗結(jié)果分析：比較實驗結(jié)果可知，選取不同的初值x0和不同的右端向量b，所求得的結(jié)果也會不同，Jacobi迭代和Seidel迭代的誤差也會隨之改變，說明初值對實驗結(jié)果有影響，由迭代誤差可知Seidel迭代優(yōu)于Jacobi迭代。再比較實驗結(jié)果，由k=6與k=5可知，主對角元越大，Jacobi迭代收斂越快。2、SOR迭代法松弛因子的選取的實驗結(jié)果分析：（1）由表1-1可以看出，在其它條件不