基本不等式習(xí)題教師版

1、基本不等式基礎(chǔ)梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) 一個(gè)技巧用公式解題時(shí)，既

2、要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等 兩個(gè)變形(1)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)；(2) (a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個(gè)注意(1)用基本不等式求最值，失誤的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存

3、在且一致雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)yx(x0)的值域?yàn)锳(，22，) B(0，)C2，) D(2，)解析x0，yx2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號答案C2下列不等式：a212a；2；x21，其中正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析不正確，正確，x2(x21)1211. 答案B3若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A. B1 C2 D4解析a0，b0，a2b2， a2b22，即ab. 答案A4(2011·重慶)若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a() A1 B1 C3 D4解析當(dāng)x2時(shí)，x20，f(x)(x2)22 24，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)，即x3時(shí)取

4、等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x3，即a3. 答案C5已知t0，則函數(shù)y的最小值為_解析t0，yt4242，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)取等號 答案2考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)的最大值為_審第(1)問把中的“1”代換為“2xy”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且2xy1，332.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(2)x0，f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號答案(1)32(2)1方: 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”常用

5、的方法為：拆、湊、代換、平方【訓(xùn)練1】 (1)已知x1，則f(x)x的最小值為_(2)已知0x，則y2x5x2的最大值為_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，則xy的最小值為_解析(1)x1，f(x)(x1)1213當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號(2)y2x5x2x(25x)·5x·(25x)，0x，5x2,25x0，5x(25x)21，y，當(dāng)且僅當(dāng)5x25x，即x時(shí)，ymax. 答案(1)3(2)(3)18(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1，xy(xy)10102102×2× 18，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)取等號，又2x8yxy0，x12，y6，當(dāng)x12

6、，y6時(shí)，xy取最小值18.考向二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求證：abc.審題視點(diǎn) 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到證明a0，b0，c0，2 2c；2 2b；2 2a.以上三式相加得：22(abc)，即abc.方法總結(jié):利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題【訓(xùn)練2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.證明a0，b0，c0，且abc1，3332229， 當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號考向三利用基本不等式解決恒成立問題【例3】

7、(2010·山東)若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_審題視點(diǎn) 先求(x0)的最大值，要使得a(x0)恒成立，只要(x0)的最大值小于等于a即可解析若對任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可，因?yàn)閤0，所以y，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號，所以a的取值范圍是答案 當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解【訓(xùn)練3】 (2011·宿州模擬)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析由x0，y0，xyx2y2 ，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值為

8、10.答案10考向三利用基本不等式解實(shí)際問題【例3】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？審題視點(diǎn) 用長度x表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可還應(yīng)注意定義域0x5；函數(shù)取最小值時(shí)的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性解由題意可得，造價(jià)y3(2x×150×400)5 8009005 800(0x5)

9、，則y9005 800900×25 80013 000(元)，且當(dāng)x，即x4時(shí)取等號當(dāng)側(cè)面的長為4米，總造價(jià)最低 解實(shí)際應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)：(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解【訓(xùn)練3】 東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入100萬元科技成本并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)

10、與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n).若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元(1)求出f(n)的表達(dá)式；(2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？解(1)第n次投入后，產(chǎn)量為(10n)萬件，銷售價(jià)格為100元，固定成本為元，科技成本投入為100n萬元所以，年利潤為f(n)(10n)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)100n1 00080520(萬元)當(dāng)且僅當(dāng)，即n8時(shí)，利潤最高，最高利潤為520萬元所以，從今年算起第8年利潤最高，最高利潤為520萬元忽視基本不等式成立的條件致誤【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn)，其中使用的條件是

11、“一正、二定、三相等”，在使用時(shí)一定要注意這個(gè)條件，而有的考生對基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時(shí)出現(xiàn)多次使用不等式時(shí)等號成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號成立的條件同時(shí)相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求的最小值錯(cuò)因兩次基本不等式成立的條件不一致a0，b0，且ab1，ab2.又2 ，而ab，4，24，故的最小值為4.正解a0，b0，且ab1，(ab)1232 32.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的最小值為32.【試一試】 (2010·四川)設(shè)ab0，則a2的最小值是()A1 B2 C3 D4a2a2ababa(ab)ab2 2

12、 224.當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)且ab， 即a2b時(shí)，等號成立 答案D18.已知二次函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù),都有，且當(dāng)（1，3）時(shí)，有成立. （1）求; （2）若的表達(dá)式; （3）設(shè) ，若圖上的點(diǎn)都位于直線的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由條件知 恒成立又取x=2時(shí)，與恒成立 （2） 又 恒成立，即恒成立， 解出： （3）必須恒成立即 恒成立<0，即 4(1m)28<0，解得： 解出：總之， 19.已知函數(shù)處的切線方程為，（1）若函數(shù)時(shí)有極值，求的表達(dá)式； （2）在（1）條件下,若函數(shù)上的值域?yàn)?，求的取值范圍；?）若函數(shù)在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增，求的取值范圍.解：由求異得，在x = 1處的切線方程為 由已知切線方程為 所以： 時(shí)有極值，故 由（1）（2）（3）相聯(lián)立解得 5分 （2）x200+13極小 當(dāng)，令，由題意得m的取值范圍為 9分 （3）在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增 又，由（1）知 依題意在2，1上恒有在2，1上恒成立，11分 時(shí)， 在 在14分綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是： 16分已知函數(shù)f(x)exex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)(2)若關(guān)于x的不等式