函數(shù)單調(diào)性和奇偶性 總結(jié) 復(fù)習(xí)

1、 課次教學(xué)計劃（教案） 課題函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性教學(xué)目標(biāo)1. 通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增（減）函數(shù)的證明和判別2. 結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何意義，能熟練判別函數(shù)的奇偶性教學(xué)策略重點(diǎn)難點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)教學(xué)策略：講練結(jié)合，查漏補(bǔ)缺函數(shù)的單調(diào)性1.例1：觀察y=x2的圖象，回答下列問題問題1：函數(shù)y=x2的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，說明什么？隨著x的增加，y值在增加。問題2：怎樣用

2、數(shù)學(xué)語言表示呢？設(shè)x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).當(dāng)x1<x2時，f(x1)< f(x2).結(jié)論：這時，說y1= x2在0，+上是增函數(shù)。（同理分析y軸左側(cè)部分）由此可有：2.定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1x2時都有f(x1)< f(x2).那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)（increasing function）。如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)(decr

3、easing function)。如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函說y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；（2）注意區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1,x2的任意性；（3）函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是一個局部概念。3.例2.己知函數(shù)f（x）x22x3,畫出函數(shù)的圖象;根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;利用定義證明函數(shù)f（x）x22x3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù);當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(一,m上是增函數(shù)時,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.1、 用定義判斷

4、單調(diào)性：A 設(shè)且；B計算f(x)f(x)=幾個因式的乘積形式C判斷上述差的符號； D.下結(jié)論。如果，則函數(shù)是增函數(shù)；如果，則函數(shù)是減函數(shù)用定義法判斷單調(diào)性1試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解：任取(0,1)，且. 則. 由于，故，即. 所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù). 【擴(kuò)展】判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明之判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明之求單調(diào)區(qū)間1. 判斷函數(shù)yx26x10在區(qū)間（2，4）的單調(diào)性_2. 已知，指出的單調(diào)區(qū)間_.根據(jù)圖像判斷單調(diào)性 （看圖像，向上趨勢的就是增函數(shù)，向下趨勢的就是減函數(shù)；）1 已知函數(shù)（1） 畫出該函數(shù)的圖象；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)

5、區(qū)間1已知點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖像上，則AB C D （ ）根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍1.若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍_2. 如果函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。4.若與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是_。5.若函數(shù)在上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） .利用單調(diào)性判斷函數(shù)值例6.己知函數(shù)y=f(x)在0,十)上是減函數(shù),試比較f()與f(a2一a十1)的大小.函數(shù)的值域二、新知導(dǎo)航：1. 函數(shù)最大（?。┲刀x最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得那么，稱M是函數(shù)的最大值

6、【例1】畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？ 2. 注意：函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在，使得；函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的，都有利用函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)最大（?。┲档姆椒?（1）配方法 （2）換元法 （3）數(shù)形結(jié)合法【例2】求函數(shù)在區(qū)間2，6 上的最大值和最小值【例3】求函數(shù)的最大值三、經(jīng)典范例：【例1】求函數(shù)的最大值.解：配方為，由，得.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】1. 已知函數(shù)，求出函數(shù)的最值_；2. 已知函數(shù)，求出函數(shù)的最值_；3. 已知函數(shù)，求出函數(shù)的最值_;【擴(kuò)展】 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增

7、函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；并根據(jù)所求的m的值求函數(shù)在上的最值已知函數(shù)（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值已知函數(shù)（1）試討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明之；（2）由（1）試求函數(shù)在上的最值【例3】求函數(shù)的最小值. 解：此函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)， 所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為2.點(diǎn)評：形如的函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令，則，所以，在時是增函數(shù)，當(dāng)時，故函數(shù)的最小值為2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函數(shù)的對稱軸為，即.畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)時，； 當(dāng)時，. 所以函數(shù)的最大值為4,最小值為.

8、四、課堂練習(xí)1. 已知函數(shù)，下列說法中正確的是（ ）（A）函數(shù)有最大值2 （B）函數(shù)有最小值2（C）當(dāng)時函數(shù)有最大值2 （D）當(dāng)時函數(shù)有最大值22. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；并根據(jù)所求的m的值求函數(shù)在上的最值_3. 已知函數(shù)，求該函數(shù)的最值_4. 已知函數(shù)（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值6. 函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是（ ）. A B C D 7. 的最大（?。┲登闆r為（ ）. A. 有最大值，但無最小值 B. 有最小值，有最大值1 C. 有最小值1，有最大值 D. 無最大值，也無最小值8. 函數(shù)的最大值是 .9. 已知函數(shù)在區(qū)間0，1

9、上的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.函數(shù)的奇偶性1.回憶增函數(shù)、減函數(shù)的定義，并復(fù)述證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。2.初中幾何中軸對稱，中心對稱是如何定義的？軸對稱：兩個圖形關(guān)于某條直線對稱（即一個圖形沿直線折疊，能夠與另一圖形重合）中心對稱：兩個圖形關(guān)于某一點(diǎn)對稱（即把一個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，能夠與另一圖形重合）這節(jié)課我們來研究函數(shù)的另外一個性質(zhì)奇偶性1.偶函數(shù)（1）觀察函數(shù)y=x2的圖象（如右圖）圖象有怎樣的對稱性？從函數(shù)y=f(x)=x2本身來說，其特點(diǎn)是什么？當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f(1)=1，即 f(-1

10、)= f(1)，由于（-x）2=x2 f(-x)= f(x). 以上情況反映在圖象上就是：如果點(diǎn)（x,y）是函數(shù)y=x2的圖象上的任一點(diǎn),那么,與它關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(-x,y)也在函數(shù)y=x2的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=x2是偶函數(shù)。（2）定義：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)= f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)（even function）。例如：函數(shù),等都是偶函數(shù)。2.奇函數(shù)（1）觀察函數(shù)y=x3的圖象（投影2）當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，它們對應(yīng)的函數(shù)值有什么關(guān)系？也是一對相反數(shù)。這個事實(shí)反映在圖象上，說明函數(shù)的圖象有怎樣的對稱性呢？如果點(diǎn)（x,y）是

11、函數(shù)y=x3的圖象上任一點(diǎn)，那么與它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)（-x,-y）也在函數(shù)y=x3的圖象上，這時，我們說函數(shù)y=x3是奇函數(shù)。（2）定義一般地，（板書）如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)。例如：函數(shù)都是奇函數(shù)。3.奇偶性如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性。（1）f(x)=x3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; (3) f(x)=x2+2x+5;(4) f(x)=x2,x; (5) f(x)=; (6) f(x)=x+;分析： 這里主要是根據(jù)奇函數(shù)或偶函

12、數(shù)的定義進(jìn)行判斷；函數(shù)中有奇函數(shù)，也有偶函數(shù)，但是還有些函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，唯有f(x)=0（xR或x(-a,a).a>0）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。 從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)，首先其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判斷某一函數(shù)的奇偶性時：首先看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對稱，再計算f(-x)，看是等于f(x)還是等于-f(x)，然后下結(jié)論；若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，則函數(shù)沒有奇偶性。例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性（1） ； (2） 判斷下列分段函數(shù)的奇偶性(1) (2) f(x)=x|x|+x3 例3.函數(shù)

13、f(x)x的圖象關(guān)于() （判斷圖像性質(zhì)）Ay軸對稱B直線yxC坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D直線yx例4、已知函數(shù)y=f(x)在R上是奇函數(shù)，而且在是增函數(shù)。證明y=f(x)在上也是增函數(shù)。4.結(jié)論： 奇函數(shù)在兩個對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相同的；偶函數(shù)在兩個對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性是相反的；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對稱;奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)求參數(shù)例1.若函數(shù)是奇函數(shù)，則 例2.若函數(shù)是奇函數(shù)，則3、如果定義在區(qū)間上的函數(shù)為奇函數(shù)，則=_4.已知函數(shù),是偶函數(shù),則 5.已知，其中為常數(shù)，若，則_ 6.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是_;7. 已知函數(shù)（

14、1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a，b，c滿足的條件；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a，b，c滿足的條件【總結(jié)】若函數(shù)是奇函數(shù)，則_;若函數(shù)是偶函數(shù)，則_; 求函數(shù)表達(dá)式：2. 已知是偶函數(shù)，時，求時的解析式.解：作出函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)為. 是偶函數(shù)， 其圖象關(guān)于y軸對稱. 作出時的圖象，其頂點(diǎn)為，且與右側(cè)形狀一致， 時，.【擴(kuò)展】若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，試求函數(shù)在時的解析式若函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，試求函數(shù)的解析式判斷抽象函數(shù)的奇偶性1.設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（）是奇函數(shù)是奇函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)2.設(shè)函數(shù)和分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. 是

15、偶函數(shù) D.是奇函數(shù)利用函數(shù)的圖像比較函數(shù)值的大小例 定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有則的大小關(guān)系是_.利用奇偶圖像判斷單調(diào)性以及解不等式（數(shù)形結(jié)合）1. 若奇函數(shù)在3, 7上是增函數(shù)，且最小值是1，則它在上是（ ）.A. 增函數(shù)且最小值是1 B. 增函數(shù)且最大值是1 C. 減函數(shù)且最大值是1 D. 減函數(shù)且最小值是12.若為奇函數(shù)，且在(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，又,則的解集為_.3.已知奇函數(shù)的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域為，則不等式的解集是（ ） 1 1 A. B. C. D.題型5：抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性（一般是代入特殊值0,1）例1 已知函數(shù)的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時，（1）求證：是偶函數(shù)；（