勾股定理證法

1、勾股定理的證明【證法1】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即， 整理得 .【證法2】（鄒元治證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90

2、. HEF = 18090= 90. 四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的正方形. 它的面積等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于. . .【證法3】（趙爽證明）以a、b 為直角邊（ba）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， A

3、BCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于. . .【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于. 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于.又 DAE = 90, EBC = 9

4、0, ADBC. ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于. . .【證法5】（梅文鼎證明）做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P. D、E、F在一條直線上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD +

5、 CBE = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則 , .【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba） ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QPBC，交AC于點(diǎn)P. 過點(diǎn)B作BMPQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FNPQ，垂足為N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一個(gè)

6、矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可證RtQNF RtAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD. 過C作CLDE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L. AF = AC，AB = AD，F(xiàn)AB = GAD， FAB GAD， FAB的面積等于，GAD的面積等于矩形ADLM的面

7、積的一半， 矩形ADLM的面積 =.同理可證，矩形MLEB的面積 =. 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ，即 .【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 .同理可證，CDB ACB，從而有 . ，即 .【證法9】（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（ba），斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們

8、拼成如圖所示的多邊形. 過A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BPAF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，從而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT =

9、 HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為 = ， = . 把代入，得= = . .【證法10】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（ba），斜邊的長為c. 做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的

10、編號(hào)（如圖）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 .過Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT

11、 RtQAM . 即 . 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR.又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即. ，又 ， =，即 .【證法11】（利用切割線定理證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)锽CA = 90，點(diǎn)C在B上，所以AC是B 的切線. 由切割線定理，得=

12、 ，即， .【證法12】（利用多列米定理證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作ADCB，過點(diǎn)B作BDCA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b， ，即 ， .【證法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtABC的內(nèi)切圓O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)O的半徑為r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， = =

13、 r + r = 2r,即 ， . ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .【證法14】（利用反證法證明）如圖，在RtABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CDAB，垂足是D. 假設(shè)，即假設(shè) ，則由=可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC和ACB中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，則ADCACB.在CDB和ACB中， B = B， 若BD：BCBC：AB，則CDBACB.又 ACB = 90， ADC90，CDB90.這與作法CDAB矛盾. 所以，的假設(shè)不能成立. .【證法15】（辛卜松證明）

14、設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 =. , .【證法16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（ba），斜邊的長為c. 做兩個(gè)邊長分別為a、b的正方形（ba），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）.在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC，則 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作