考研高數(shù)習(xí)題集(下)(共48頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 下 冊 目 錄 第五講: 多元微分與二重積分2單元一: 概念.2單元二: 偏導(dǎo)與全微分計(jì)算.3單元三: 隱函數(shù)求導(dǎo)(方程或方程組) .5單元四: 二元極值.7單元五: 交換二次積分次序.9單元六: 二重積分計(jì)算.10單元七: 二重積分應(yīng)用.14 第六講: 無窮級數(shù).15單元一: 收斂定義.15單元二: 數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂.16單元三: 冪級數(shù).18單元四: 傅里葉級數(shù).22 第七講: 向量代數(shù),解析幾何與偏導(dǎo)應(yīng)用.24單元一: 向量代數(shù).24單元二: 解析幾何.25單元三: 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用.26單元四: 方向?qū)?shù)與梯度.28 第八講: 三重積分與線面積分.29單元一:

2、三重積分計(jì)算.29單元二: 三重積分應(yīng)用.31單元三: 第一類線面積分計(jì)算.33單元四: 第一類線面積分應(yīng)用.36單元五: 第二類曲線積分與Grenn公式.38單元六: 積分與路徑無關(guān)性.41單元七: 第二類曲面積分與Gauss公式.43單元八: 第二類線面積分應(yīng)用.46單元九: 環(huán)流量與Stokes公式.47 第五講: 多元微分與二重積分單元一: 概念1. 函數(shù)在點(diǎn) :連續(xù)不可導(dǎo); :可導(dǎo)不連續(xù); :可導(dǎo)連續(xù)不可微; :全微分存在2. 函數(shù)在點(diǎn) :連續(xù)不可導(dǎo); :可導(dǎo)不連續(xù); :可導(dǎo)連續(xù)不可微; :全微分存在3. 函數(shù)(1); (2) 在點(diǎn) :連續(xù)不可導(dǎo); :可導(dǎo)不連續(xù); :可導(dǎo)連續(xù)不可微;

3、 :全微分存在4. , 其中在含點(diǎn)的鄰域內(nèi)有界, 則在點(diǎn)處: :連續(xù)不可導(dǎo); :可導(dǎo)不連續(xù); :可導(dǎo)連續(xù)不可微; :全微分存在5. 設(shè)連續(xù),研究在原點(diǎn)的連續(xù),可導(dǎo),可微性. 略6. 證明: 在點(diǎn)可微,但偏導(dǎo)不連續(xù). (1) (2), 不連續(xù)單元二: 偏導(dǎo)與全微分計(jì)算1. , 求: . 2. , 的一階偏導(dǎo)存在, 證明: . 3. , 可導(dǎo), 且, 證明: . 4. 證明: 方程 有形如: 的解. 其中為任一可微函數(shù). 5. , 且當(dāng)時, , 求: . 6. , 的一階偏導(dǎo)存在, 求:. 7. 設(shè)滿足, 證明: 在極坐標(biāo)下只與極徑有關(guān). 8. 設(shè), 變換方程: . 9. 證明: 若, 作變換:

4、, 則: 10. 可導(dǎo),求:. 11. 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求: , 其中: (1) (2) (3) 略 (4) 12. , 求: 略單元三: 隱函數(shù)求導(dǎo)(方程或方程組)1. (1)設(shè),求:. (2),求: 2. 確定,其中, 求. 3. , 其中可微, , 證明: . 4. 設(shè)由方程確定,偏導(dǎo)存在,求 5. 求: (1). (2) 6. ,求:. 7. , 且由確定, 求: . 8. (1), 求: (2), 求: 9. , 求: 10. 設(shè),其中,可微,且有,求:. 11. , 且, 當(dāng)時, 若,求在處的全導(dǎo)數(shù) 單元四: 二元極值1. 求函數(shù)的極值點(diǎn). 極大值點(diǎn)2. 求的極植. 為極大值

5、3. 由確定,求極值 極小; 極大4. 有無窮個極大值而無極小值 (極大); (非極值)5. 在上,求距平面的最近點(diǎn)與最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近最遠(yuǎn)距離. 6. 求 滿足:的條件極值 7. 經(jīng)過點(diǎn)的平面與三個坐標(biāo)面在第一卦限內(nèi)可圍成四面體，求體積最小值 8. 求: 在上的最值. 無駐點(diǎn); (2) 9. 求在區(qū)域上的最值 (1);(2) 10. 拋物面被平面截成橢圓,求原點(diǎn)到該橢圓的最長,最短距離 11. 設(shè), 求在條件: 下, 函數(shù) 的極 大值與極小值之和 解(1)正定,之和; 解(2), 12. 求橢圓: 的面積. 法(1); 法(2), , , 單元五: 交換二次積分次序.1. 設(shè)函數(shù)連續(xù), 交換積分次

6、序: (1) (2) (3) (4) (5). 2. 計(jì)算: (1) (2) (3) (4). (5) (6). 3. 證明: 4. . 左式右式5. 證明: 左式=右式 另解: 單元六: 二重積分計(jì)算1. 利用對稱性計(jì)算: (1) (2) “”奇函數(shù) (3). (4) 2. 單變量積分 (1)以為頂點(diǎn)的三角形. (2)計(jì)算, 為與所圍成的有界閉區(qū)域. (3), 其中由圓心在點(diǎn), 半徑為, 且與坐標(biāo)軸相切的圓的較 短一段弧和坐標(biāo)軸所圍的區(qū)域. (4) (5) ; 或 (6)是以點(diǎn)和為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域. (7) 3. , 由圍成. 4. 求,由及圍成. 5. 計(jì)算 , 其中是以直線和曲線為邊界的

7、曲邊三角形. 6. . 7. “分塊”積分 (1), 計(jì)算, 由所圍. (2),求,其中 為無界域, (3) (4) 8. 設(shè)在上連續(xù), 由與軸, 軸所圍, 證明: 左式右式9. 極坐標(biāo)計(jì)算 (1) (2). (3)所圍. (4),. (5)1. (6), 由與所圍 (7). 10 ，求 11. . 12. 連續(xù), 且, 求 13. ,連續(xù),且,求 , 單元七: 二重積分應(yīng)用1. 求被平面所截得的曲面面積. 2. 球面含在柱面內(nèi)部分的面積恰為全球面積的 一半, 求 3. 求由及所確定的立體的體積. 4. 記為在點(diǎn)處的切平面, 立體由及平面所 圍, 求的體積. 第六講: 無窮級數(shù)單元一: 收斂定

8、義1. 若,且收斂, 證明: 級數(shù)也收斂. 2. 設(shè): (常數(shù)), , 證明級數(shù): 收斂. 3. , 證明:收斂,并求和. 另解: 4. 收斂,又收斂,證明:收斂. 5. 設(shè)拋物線上的點(diǎn)是這樣得到的: , 過作拋物線切線交軸于 ,過作軸平行線交拋物線于,再過作拋物線的切線得, 這樣無限作下去, 又為點(diǎn), 求. ,單元二: 數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂1. 若,且收斂,問:是否收斂? 否!反例:2. 設(shè): , (1)求的值; (2)證明:任意, 級數(shù)收斂. (1); (2) ,收斂3. , 且滿足: , 證明: (1)若收斂,則收斂; (2)若發(fā)散, 則發(fā)散. 4. 設(shè), 證明: (1)級數(shù)絕對收斂; (2)數(shù)

9、列收斂. (1); (2)5. 若級數(shù) 發(fā)散, 則必有: 發(fā)散 ; 6. 設(shè) , 則下列級數(shù)收斂的是 ; ; ; .7. 設(shè) 為常數(shù), 則級數(shù) 絕對收斂; 條件收斂; 發(fā)散; 收斂性與的取值有關(guān)8. 考察下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 (1) , 收斂 (2). 或收斂 (3) , 發(fā)散 (4). , 收斂 (5). : 散, 斂 (6). ,收斂9. 考察下列交錯級數(shù)的斂散性 (1) : 條件收斂 (2)設(shè) . 條件收斂 (3) 條件收斂 (4)設(shè)為等差數(shù)列, , 問:是否收斂(說明理由). : 絕對收斂10. 考察級數(shù)的斂散性 發(fā)散原級數(shù)發(fā)散11. 設(shè), 求證: 收斂. 收斂,收斂12. 設(shè),其中是

10、正整數(shù),. (1)證明:方程有唯一的正根; (2)若, 證明存在, 且. (1)(唯一) (2)收斂, ; 又:單元三: 冪級數(shù)1. 求冪級數(shù)的收斂半徑: (1); (2). 2. 若的收斂半徑為, 則的收斂半徑為:3. 的收斂半徑為, 求的收斂區(qū)間. 4. 求冪級數(shù)的收斂域: (1) (2) (3) 5. 將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù),并指明展開式成立的范圍 (1). (2). (3). (4) (5). 或: 6. 將在處展開為冪級數(shù) 7. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和. 8. 將展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和. ,9. 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù) (1). (2). (3) (4) (5)

11、 (6). (7) 10. 求: 的收斂域及和函數(shù) 11. 是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列部分和,求和. 12. 求和: (1) (2) 13. 求,使之滿足: . 設(shè), 14. 設(shè), 求(1); (2)和函數(shù) (1); (2)單元四: 傅里葉級數(shù)1. 設(shè)函數(shù)以為周期,它在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為: 記為的傅立葉級數(shù)的和函數(shù) (1)求,; (2)求的傅立葉級數(shù)的系數(shù). (1), ; (2)2. 已知函數(shù)以為周期,它在上的表達(dá)式為: 將在上展開成傅立葉級數(shù), 并由收斂定理求該級數(shù)的和函數(shù). 3. 將展開成級數(shù),并求:. 4. 利用在內(nèi)的級數(shù):及求出: 在內(nèi)的級數(shù) (1) , (2)5. 把展開成傅立葉

12、級數(shù),并指明展開式成立的范圍 6. 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù), 為其傅立葉系數(shù), 求函數(shù): 傅立葉系數(shù): 連續(xù),周期為 第七講: 向量代數(shù),解析幾何與偏導(dǎo)應(yīng)用單元一: 向量代數(shù)1. 與面的夾角分別為,求:. 2. , 求:, 使: , 且 3. 設(shè)向量垂直于向量和,且在向量方 向上的投影為:, 求: 4. 且 , , 確定, 使: (1); (2)以與為鄰邊的平行四邊形面積為 (1) (2)5. 求證向量:在同一平面上, 并沿分解. 6. , 求點(diǎn)到直線的距離 7. 為已知非零向量, 證明: 當(dāng)與垂直時, 取得最小值 當(dāng)時最大, 即單元二: 解析幾何1. 設(shè)直線在平面上,且過點(diǎn), 若與平面有最大

13、交角, 求直線的方程. 2. 在平面上求一直線, 使它與直線垂直相交. 與交點(diǎn):;過垂直的平面為3. 求點(diǎn)到直線的距離. 4. 滿秩, 問兩直線: 與的位置關(guān)系. , 相交5. 設(shè)動點(diǎn)到面的距離與其到定點(diǎn)的距離相等,的軌跡為,若 是和柱面的交線在面的投影曲線,求上對應(yīng)于的一段弧的長度. 單元三: 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1. 證明: 在任一點(diǎn)的切平面都與直線平行. 2. 上點(diǎn)處的切平面垂直于直線, 若在第三卦限, 求. ,3. 求直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面的方程, 并求該旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn) 處的切平面方程. 4. 設(shè), 其中函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 在處法向量 求曲面在處的切平面方程. 5. 過直線, 作曲面的切平

14、面, 求此切平面方程 平面束: , 切平面: ; 得:和6. 設(shè)是曲面: 上任一點(diǎn), 證明: 在這點(diǎn)處曲面的法線垂直于向徑 . 其中可導(dǎo). 7. 曲面上點(diǎn)的切平面與平面垂直, 求點(diǎn)的軌跡. 8. 設(shè) , 問哪些點(diǎn)處的切線平行于平面: . 9. 設(shè)方程為,若上恰有兩個點(diǎn)處的切線與平面 平行，問應(yīng)滿足什么關(guān)系式? 10. 求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程. 單元四: 方向?qū)?shù)與梯度1. 在曲線上點(diǎn)處并沿該點(diǎn)切向的方向?qū)?shù). 2. 設(shè)是直線上任一異于原點(diǎn)的點(diǎn), 為原點(diǎn), , 求函數(shù) 在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù): . 3. 在原點(diǎn)處指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為,求. 4. 函數(shù)在點(diǎn)沿其梯度方向的方向?qū)?shù) ; ; ;

15、 .5 設(shè)是由方程: 所確定的隱函數(shù), 問: 在處, (1)沿什么方向的增長率最大? (2)函數(shù)在該點(diǎn)沿此方向的方向?qū)?shù) 6. 在點(diǎn)處沿方向恰取得最大增長率為,求 7. 設(shè) 是曲面: 在點(diǎn) 處的指向外側(cè)的法向量, 求函數(shù): 在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù) 8. , 求:. 第八講: 三重積分與線面積分單元一: 三重積分計(jì)算1. 求, 其中由以及圍成. 2. 計(jì)算, 其中由,及平面圍成. 法(1) 法(2)3. 利用截面法計(jì)算 (1). (2). (3)., 其中由所圍 (4)., 其中是圓臺柱體,其上,下底半徑分別為, 高為, 下底為平面內(nèi)圓域: . 4. ,由平面與三坐標(biāo)面所圍. 5.,為由繞軸旋轉(zhuǎn)

16、一周形成的曲面與所圍成的區(qū)域. 6. 是由曲線 與原點(diǎn)連接所得的錐面, (1)寫出的方程, (2)證明:, 其中是所圍的面積,是錐面與平面所圍立體的體積. 7. . 8. 9. 證明: 并化簡: (1); (2) 10. 連續(xù), , 求: ,其中: . 單元二: 三重積分應(yīng)用1. 已知, 線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為, 求由及兩 平面所圍成的立體體積 2. 設(shè)是一底為圓盤的曲頂柱體,其頂面為繞軸旋轉(zhuǎn)而 成, 頂面上一點(diǎn)處的切平面與平面平行, (1)寫出頂面方程和點(diǎn)坐標(biāo); (2)求位于頂面與切平面之間的體積. (1)頂面: (2)切平面3. 求曲面上點(diǎn)處的切平面與曲面所圍成空間立體 的體積.

17、 切平面, 交線, 4. 由與平面所圍的立體, 求, 并求 5. 設(shè)有一勻質(zhì)物體,在空間所占據(jù)的區(qū)域?yàn)橛汕蛎媾c圓錐面 所圍成(含軸的部分),其中,求該物體的重心坐標(biāo). 6. 求曲面圍成的,密度為的,關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量. 7. 求密度為的均勻圓柱體: 對直線的轉(zhuǎn)動慣量. 8. 求質(zhì)量為均勻柱體: 對位于點(diǎn)的單位質(zhì)點(diǎn)的引力. 9. 密度均勻的球錐體: 頂點(diǎn)為,對稱軸為軸,球半徑為,半頂角為,求對于其頂 點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力. 單元三: 第一類線面積分計(jì)算1. 設(shè)為橢圓,其周長記為,則求. 2. 利用對稱性計(jì)算下列積分 (1) (2) 3. (1)設(shè)是圓周在第一象限的部分,求:. (2)第一象限部分.

18、 (3)從點(diǎn). (4)從點(diǎn). (5),其中是. 4. (1)是由與所圍區(qū)域的邊界. (2)所圍扇形的邊界. 5. 折線. 6. 利用性質(zhì)計(jì)算下列積分 (1)設(shè)是平面在第一卦限的部分,計(jì)算. (2)設(shè)為平面: 被柱面所截得的部分, 求: . (3)計(jì)算,其中是球面在第一卦限部分. (4)計(jì)算,其中是. (5)計(jì)算,其中是. 7.(1)計(jì)算, 其中為 部分. (2)計(jì)算, 其中 介于 及 之間. (3)計(jì)算, 其中為錐面在柱體內(nèi)的部分. (4)計(jì)算, 其中是球面被平面截出的頂部. (5)計(jì)算, 其中為上半球面. (6)計(jì)算, 其中為柱面介于之間的部分. 8. 設(shè)為橢球面的上半部分,點(diǎn),為在點(diǎn)處的切

19、平面, 為點(diǎn)到平面的距離, 求. 單元四: 第一類線面積分應(yīng)用1. 已知物質(zhì)曲線上任一點(diǎn)處的線密度為,求該物質(zhì)的質(zhì)量. 2. 求曲線時的質(zhì)量. 3. , , 求的質(zhì)量. 4. 球殼上各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到軸的距離, 求球殼的質(zhì)量. 5. 一簿殼形狀為,其上任一點(diǎn)處的面密度,求其 質(zhì)量. 6. 求心形線的形心 7. 求曲線的一段弧關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量 8. 曲頂柱體由與所圍,求側(cè)面積. 9. , (1)寫出向面投影的曲線方程. (2)求投影柱面介于和之間的面積. 10. 平面曲線繞直線旋轉(zhuǎn)成一旋轉(zhuǎn)曲面,求側(cè)面積. 單元五: 第二類曲線積分與Grenn公式1. 計(jì)算,其中是曲線上從至的一段. 2.

20、在過點(diǎn)和的曲線族中, 求一條曲線, 使沿該曲線從 到的積分的值最小. 3. 求: , 其中正向. 4. 利用Grenn公式計(jì)算下列積分 (1),逆時針方向 (2)的正向邊界. (3)所圍 第一象限正向. (4)正向. (5)是以和為頂點(diǎn) 的三角形的正向邊界線. (6), 其中為取逆時針方向. 5. 的正向, (1)計(jì)算; (2)求,使; (3)求,使取到最大. ; ; 6. . 7. . 8.(1), . (2)逆時針. (3). (4),從 (5),其中為折線 . (6),:自至的弧段. 9. 求: , 其中 為自點(diǎn) 沿曲線 到的弧段. 10. ,其中曲線弧起點(diǎn)為,終點(diǎn)為 ,且位于線段的下方

21、,又曲線弧與線段所圍圖形面積為. 11. 定義:, 證明: 當(dāng)時, 常數(shù)), 12. 證明: (1); (2). 其中是的外法 向,是所圍的面積. (1) (2)13. 利用全微分計(jì)算下列積分: (1), 其中是沿橢圓正向從到的一 段弧. (2)設(shè)是平面上從圓周上任一點(diǎn)到圓周上任一點(diǎn)的一條 光滑曲線, 求: . 單元六: 積分與路徑無關(guān)性1. 設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中一階連續(xù) 可導(dǎo), , 求函數(shù)的表達(dá)式. 2. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 是上半平面內(nèi)的有向分段光滑 曲線,其起點(diǎn),終點(diǎn)為, 記 (1)證明:曲線積分與路徑無關(guān); (2)當(dāng)時,求的值. (1)3. 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)

22、的任意分段光滑正向簡單閉曲線上, 曲線積分: 的值恒為一常數(shù). (1)證明: 對右半平面 內(nèi)的任意分段光滑簡 單閉曲線, 有: , (2)求函數(shù)的表達(dá)式. (2)4. , 問: (1)為何值時,積分與路徑無關(guān)(與不相交); (2)計(jì)算從到的積分值 5. 已知,求(1); (2). 6. 確定常數(shù),使在右半平面上的向量 為某二元函數(shù)的梯度,并求. 單元七: 第二類曲面積分與Gauss公式1. 利用單一投影法計(jì)算下列積分 (1),其中為平面位于第一卦限部分的上側(cè) (2)外側(cè). (3),其中是圓柱面被平面和所 截出部分的外側(cè). 2. 利用合一投影法計(jì)算下列積分 (1),是拋物面 被平面:, 所截部分的上側(cè). (2)計(jì)算,其中為的前側(cè). 3. 位于第一卦限部分上側(cè)(多解) 4. 計(jì)算,其中為的下半部分,是向上的法向量與軸 正向的