高數(shù)極限習(xí)題

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題分析客觀題 例 1 設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo),為常數(shù),則( ) 答案 解 例2（89303）設(shè)在的某個鄰域內(nèi)有定義,則在處可導(dǎo)的一個充分條件是( ) 存在 存在 存在 存在 答案 解題思路 (1) 對于答案，不妨設(shè)，當(dāng)時，則有存在，這只表明在處右導(dǎo)數(shù)存在,它并不是可導(dǎo)的充分條件,故不對.(2) 對于答案與因所給極限式子中不含點(diǎn)處的函數(shù)值，因此與導(dǎo)數(shù)概念不相符和.例如，若取則與兩個極限均存在，其值為零，但，從而在處不連續(xù)，因而不可導(dǎo)，這就說明與成立并不能保證存在，從而與也不對. (3) 記,則與是等價的,于是所以條件是存在的一個充分必要條件. 例3(00103)設(shè)則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件

2、為( ) 存在 存在 存在 存在 答案 解題思路 (1) 當(dāng)時, .所以如果存在,則必有若記,當(dāng)時,所以于是這就是說由存在能推出存在. 但是由于當(dāng)時,恒有,而不是,因此存在只能推出存在,而不能推出存在. (2) 當(dāng)時, ,于是 由于當(dāng)時, 既能取正值,又能取負(fù)值,所以極限存在與存在是互相等價的.因而極限存在與存在互相等價.(3) 當(dāng)時, 用洛比塔法則可以證明,所以由于,于是由極限存在未必推出也存在,因而未必存在.(4)在點(diǎn)可導(dǎo)一定有存在,但存在不一定在點(diǎn)可導(dǎo). 例 4 (98203) 函數(shù)有( )個不可導(dǎo)點(diǎn) 答案 解題思路 當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時,不可導(dǎo)的點(diǎn)就有可能出現(xiàn)在函數(shù)的零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)零

3、點(diǎn)是分段函數(shù)的分界點(diǎn).因此需要分別考察函數(shù)在點(diǎn)考察導(dǎo)數(shù)的存在性. 解 將寫成分段函數(shù):(1) 在附近,寫成分段函數(shù):容易得到由于,所以不存在.(2) 在附近,寫成分段函數(shù):由于,所以不存在.(3) 在附近,寫成分段函數(shù):由于,所以存在. 綜合上述分析,有兩個不可導(dǎo)的點(diǎn). 例5 (95103) 設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則是在處可導(dǎo)的( ) 必要但非充分條件 充分但非必要條件 充分且必要條件 既非充分也非必要條件 答案 分析 從在的導(dǎo)數(shù)定義著手.將解 于是推知的充分必要條件是 例6 (92103) 設(shè)函數(shù),則使存在的最高階數(shù). 答案 解題思路 應(yīng)先去掉中的絕對值,將改寫為分段函數(shù) 解 由得且 又,所以

4、存在.所以存在.即.因而使存在的最高階數(shù)是2. 例7 存在的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等于( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 解題思路 注意,所以只需考察在點(diǎn)的情況. 例8(96203)設(shè)在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)時，恒有，則必是的( ) ， 答案 解 由題目條件易知,因?yàn)樗杂蓨A逼定理于是. 例9 (87103)設(shè) 則為( ) 答案 解題思路 因?yàn)榉侄魏瘮?shù),故它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)的定義， 又由于是型未定式,可用洛必達(dá)法則求極限.解 當(dāng)時,與是等價無窮小,所以當(dāng)時,與是等價無窮小.因而 例10 (88103) 設(shè)可導(dǎo)且,則時,在處的微分與比較是( )的無窮小. 等價 同階 低階 高階 答案 解

5、題思路 根據(jù)在處的微分的定義:. 解 ,可知與是同階的無窮小. 例11 (87304) 函數(shù)在處( ) 連續(xù),且可導(dǎo) 連續(xù),不可導(dǎo) 不連續(xù) 不僅可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)也連續(xù) 答案 解題思路 一般來說,研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時,應(yīng)當(dāng)分別考察函數(shù)的左右極限;在具備連續(xù)性的條件下,為了研究分段函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)性,應(yīng)當(dāng)按照導(dǎo)數(shù)定義,或者分別考察左右導(dǎo)數(shù)來判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.因此,本題應(yīng)分兩步: (1) 討論連續(xù)性; (2) 討論可導(dǎo)性. 解 (1) 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性 由于,可知函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的. (2) 討論函數(shù)在點(diǎn)處的可導(dǎo)性 由于不存在,所以,函數(shù)在點(diǎn) 處不可導(dǎo). 例12 設(shè)

6、 在點(diǎn)可導(dǎo),但是導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)不連續(xù),則必須滿足( ) 答案 解題思路 (1) 當(dāng)時,下述極限不存在:因此不存在.當(dāng)時,所以.這就是說,只有當(dāng)時, 才存在,所以選項可以被排除. (2) 當(dāng)時當(dāng)且僅當(dāng),即時,所以當(dāng)且僅當(dāng)時, 在點(diǎn)可導(dǎo),但是在點(diǎn)不連續(xù).例13 (95403)設(shè)可導(dǎo)，且滿足條件則曲線在處的切線斜率為( ) 答案 解 記,則有 例14 設(shè),則( ) 答案 解題思路 求高階導(dǎo)數(shù)的一般方法是: 先求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù);找出規(guī)律,即可寫出高階導(dǎo)數(shù)., 例17 (90103) 設(shè)函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù),且,則. 答案 解題思路 這是一個求高階導(dǎo)數(shù)的問題,涉及到求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 由有任意階導(dǎo)數(shù)且

7、,可知,依此由歸納法可知 注意 (1) 當(dāng)時雖然也正確,但當(dāng)就不正確了,所以將排除之; (2) 在求導(dǎo)數(shù)時,可將函數(shù)看成是由與復(fù)合而成的,則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,故.(初學(xué)者可能會這樣做:,后面丟掉一個因子. 例18 (91303) 若曲線和在點(diǎn)處相切，其中是常數(shù),則( ) 答案 解題思路 兩曲線在某點(diǎn)相切就是指兩曲線在此公共點(diǎn)處共一條切線,從而兩曲線的斜率也應(yīng)相等. 解 曲線在點(diǎn)處的斜率是 另一條曲線是由隱函數(shù)確定,該曲線在點(diǎn)處的斜率可以由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到:對于方程兩邊求導(dǎo)得到,解出得到此曲線在點(diǎn)處的斜率為 令,立即得到.再將代入中得出 例19設(shè)定義在，且都在處連續(xù)，若，則( ), 答案

8、解題思路 分析函數(shù)的表達(dá)式,并運(yùn)用在處連續(xù)這一關(guān)鍵條件. 解 既然在處連續(xù),于是必有,于是必有.于是又有. 例 20 (99103) 設(shè) 其中是有界函數(shù),則在處( ) 極限不存在 極限存在,但不連續(xù) 連續(xù),但不可導(dǎo) 可導(dǎo) 答案 解題思路 若能首先判定在處可導(dǎo),則、均可被排除. 解 () （是有界函數(shù)）由于在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù),因而 在處可導(dǎo). 例21 設(shè),則( ) 答案 例 22 設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),則( ) 答案 解題思路 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,利用函數(shù)的奇性. 解 由于,所以因此為偶函數(shù). 例23 設(shè),則( ) 答案 解題思路 運(yùn)用復(fù)合函數(shù)微分法 例 24 設(shè)存在,則( ) 答案 解 由可以知道當(dāng)時,有(參閱第一章1.5的例2)當(dāng)時,與是等價無窮小,與是等價無窮小.于是又因?yàn)榇嬖?所以此式又推出. 例 25 設(shè) 在點(diǎn)可導(dǎo),則( ) 答案 解題思路 先考察函數(shù)在